Lineer cebirde, özdeğer ayrışımı ya da eigen ayrışımı, bir matrisin özdeğerleri ve özvektörleri cinsinden ifade edilen daha basit matrislere ayrıştırılmasıdır. Sadece kare matrisler özdeğerlerine ayrıştırılabilir.
Tanım
n adet doğrusal olarak bağımsız qi (i = 1, ..., n) özvektörleri olan n × n boyutlu A kare matrisi şu şekilde ayrıştırılabilir:
Burada Q, i numaralı sütunu A'nın qi özvektörü olan n × n boyutlu kare matristir. Λ ise köşegen değerleri bu vektörlere denk gelen özdeğerler (Λii = λi) olan bir köşegen matristir. Sadece bu şekilde ayrıştırılabilir. Örneğin, ayrıştırılamaz.
Özvektörler qi genellikle normaldir, ama bazen Q'nun sütunları olarak normalleştirilmemiş n adet vi özvektörü de kullanılır. Çünkü ayrışımdaki Q−1 ile çarpımın sonucu olarak vektör büyüklükleri kaybolur.
Ayrışım, özvektörlerin temel özelliğinden türetilebilir:
Örnek
2 × 2 boyutlu A matrisi
tekil olmayan B matrisi kullanılarak özdeğerlerine ayrıştırılabilir.
Herhangi bir köşegen matrisi için, özdeşliği:
İki taraf da B ile çarpılırsa:
Yukarıdaki denklem iki ayrılır:
Özdeğerler x ve y ayrıştırılır:
Vektörleri isimlendirirsek:
iki vektör denklemi elde ederiz:
İki çözümlü bir vektör denklemi olarak da gösterilebilir:
burada λ iki özdeğeri (x, y), u ise iki vektörü (a→, b→) içerir.
λu'u sola kaydırıp u'yu ayırırsak:
B tekil olmadığı için u sıfırdan büyüktür. Yani,
Böylece,
A matrisinin özdeğerlerini verir (λ = 1, λ = 3). Sonuç olarak özdeğer ayrışımından elde edilen köşegen matrisi olur.
Çözümleri yukarıdaki denkleme yerleştirirsek
ve bu denklemi çözersek:
B'yi buluruz
ve özdeğer ayrışımını tamamlarız:
Kaynakça
- ^ Zhaoyang, Li (2006). Matris Ayrışımı (PDF) (Yüksek lisans). İstanbul: İstanbul Üniversitesi. Erişim tarihi: 26 Şubat 2021.
- ^ Uçkan, Taner; Cengiz Hark; Ebubekir Seyyarer; Ali Karcı (24 Aralık 2019). "Ağırlıklandırılmış Çizgelerde Tf-Idf ve Eigen Ayrışımı Kullanarak Metin Sınıflandırma". Bitlis Eren Üniversitesi Fen Bilimleri Dergisi. 8 (4). ss. 1349-1362. ISSN 2147-3129.
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Lineer cebirde ozdeger ayrisimi ya da eigen ayrisimi bir matrisin ozdegerleri ve ozvektorleri cinsinden ifade edilen daha basit matrislere ayristirilmasidir Sadece kare matrisler ozdegerlerine ayristirilabilir Tanimn adet dogrusal olarak bagimsiz qi i 1 n ozvektorleri olan n n boyutlu A kare matrisi su sekilde ayristirilabilir A QLQ 1 displaystyle mathbf A mathbf Q mathbf Lambda mathbf Q 1 Burada Q i numarali sutunu A nin qi ozvektoru olan n n boyutlu kare matristir L ise kosegen degerleri bu vektorlere denk gelen ozdegerler Lii li olan bir kosegen matristir Sadece bu sekilde ayristirilabilir Ornegin 1101 displaystyle left begin smallmatrix 1 amp 1 0 amp 1 end smallmatrix right ayristirilamaz Ozvektorler qi genellikle normaldir ama bazen Q nun sutunlari olarak normallestirilmemis n adet vi ozvektoru de kullanilir Cunku ayrisimdaki Q 1 ile carpimin sonucu olarak vektor buyuklukleri kaybolur Ayrisim ozvektorlerin temel ozelliginden turetilebilir Av lvAQ QLA QLQ 1 displaystyle begin aligned mathbf A mathbf v amp lambda mathbf v mathbf A mathbf Q amp mathbf Q mathbf Lambda mathbf A amp mathbf Q mathbf Lambda mathbf Q 1 end aligned Ornek 2 2 boyutlu A matrisi A 1013 displaystyle mathbf A begin bmatrix 1 amp 0 1 amp 3 end bmatrix tekil olmayan B matrisi kullanilarak ozdegerlerine ayristirilabilir B abcd R2 2 displaystyle mathbf B begin bmatrix a amp b c amp d end bmatrix in mathbb R 2 times 2 Herhangi bir kosegen matrisi C x00y displaystyle C left begin smallmatrix x amp 0 0 amp y end smallmatrix right icin B 1AB C displaystyle mathbf B 1 mathbf A mathbf B mathbf C ozdesligi abcd 1 1013 abcd x00y displaystyle begin bmatrix a amp b c amp d end bmatrix 1 begin bmatrix 1 amp 0 1 amp 3 end bmatrix begin bmatrix a amp b c amp d end bmatrix begin bmatrix x amp 0 0 amp y end bmatrix Iki taraf da B ile carpilirsa 1013 abcd abcd x00y displaystyle begin bmatrix 1 amp 0 1 amp 3 end bmatrix begin bmatrix a amp b c amp d end bmatrix begin bmatrix a amp b c amp d end bmatrix begin bmatrix x amp 0 0 amp y end bmatrix Yukaridaki denklem iki ayrilir 1013 ac axcx 1013 bd bydy displaystyle begin cases begin bmatrix 1 amp 0 1 amp 3 end bmatrix begin bmatrix a c end bmatrix begin bmatrix ax cx end bmatrix begin bmatrix 1 amp 0 1 amp 3 end bmatrix begin bmatrix b d end bmatrix begin bmatrix by dy end bmatrix end cases Ozdegerler x ve y ayristirilir 1013 ac x ac 1013 bd y bd displaystyle begin cases begin bmatrix 1 amp 0 1 amp 3 end bmatrix begin bmatrix a c end bmatrix x begin bmatrix a c end bmatrix begin bmatrix 1 amp 0 1 amp 3 end bmatrix begin bmatrix b d end bmatrix y begin bmatrix b d end bmatrix end cases Vektorleri isimlendirirsek a ac b bd displaystyle overrightarrow a begin bmatrix a c end bmatrix quad overrightarrow b begin bmatrix b d end bmatrix iki vektor denklemi elde ederiz Aa xa Ab yb displaystyle begin cases A overrightarrow a x overrightarrow a A overrightarrow b y overrightarrow b end cases Iki cozumlu bir vektor denklemi olarak da gosterilebilir Au lu displaystyle mathbf A mathbf u lambda mathbf u burada l iki ozdegeri x y u ise iki vektoru a b icerir lu u sola kaydirip u yu ayirirsak A lI u 0 displaystyle mathbf A lambda mathbf I mathbf u mathbf 0 B tekil olmadigi icin u sifirdan buyuktur Yani det A lI 0 displaystyle det mathbf A lambda mathbf I 0 Boylece 1 l 3 l 0 displaystyle 1 lambda 3 lambda 0 A matrisinin ozdegerlerini verir l 1 l 3 Sonuc olarak ozdeger ayrisimindan elde edilen kosegen matrisi 1003 displaystyle left begin smallmatrix 1 amp 0 0 amp 3 end smallmatrix right olur Cozumleri yukaridaki denkleme yerlestirirsek 1013 ac 1 ac 1013 bd 3 bd displaystyle begin cases begin bmatrix 1 amp 0 1 amp 3 end bmatrix begin bmatrix a c end bmatrix 1 begin bmatrix a c end bmatrix begin bmatrix 1 amp 0 1 amp 3 end bmatrix begin bmatrix b d end bmatrix 3 begin bmatrix b d end bmatrix end cases ve bu denklemi cozersek a 2candb 0 c d R displaystyle a 2c quad text and quad b 0 qquad c d in mathbb R B yi buluruz B 2c0cd c d R displaystyle mathbf B begin bmatrix 2c amp 0 c amp d end bmatrix qquad c d in mathbb R ve ozdeger ayrisimini tamamlariz 2c0cd 1 1013 2c0cd 1003 c d R displaystyle begin bmatrix 2c amp 0 c amp d end bmatrix 1 begin bmatrix 1 amp 0 1 amp 3 end bmatrix begin bmatrix 2c amp 0 c amp d end bmatrix begin bmatrix 1 amp 0 0 amp 3 end bmatrix qquad c d in mathbb R Kaynakca Zhaoyang Li 2006 Matris Ayrisimi PDF Yuksek lisans Istanbul Istanbul Universitesi Erisim tarihi 26 Subat 2021 Uckan Taner Cengiz Hark Ebubekir Seyyarer Ali Karci 24 Aralik 2019 Agirliklandirilmis Cizgelerde Tf Idf ve Eigen Ayrisimi Kullanarak Metin Siniflandirma Bitlis Eren Universitesi Fen Bilimleri Dergisi 8 4 ss 1349 1362 ISSN 2147 3129