Üreteç fonksiyonu

Matematikte üreteç fonksiyonu ya da üreteç fonksiyon verilen bir dizinin her bir elemanını katsayılarıyla temsil eden biçimsel bir kuvvet serisidir.

Kullanım ve uygulama olanaklarına göre çeşitli üreteç fonksiyonları vardır. En yagın örnekleri arasında, sıradan üreteç fonksiyonu, üstel üreteç fonksiyonu, Lambert serisi, Bell serisi ve Dirichlet serisi vardır.

Tarihçe

Üreteç fonksiyonları ilk defa 1730 yılında Abraham de Moivre tarafından genel doğrusal yineleme problemlerini çözmek amacıyla tanımlanmıştır. Bu tip fonksiyonlara ilk defa üreteç fonksiyonları adını veren ise George Polya'ya göre Laplacetır;ancak, Euler Laplace'tan daha önce bu fonksiyonları kullanıp kombinatorik analiz ve saylar teoreisindeki problemlere uygulamıştır.

Tanım

Bir a_n, ${\displaystyle n=0,1,2,\cdots }$ dizisine denk düşen (sıradan) üreteç fonksiyonu şöyle tanımlanır:

${\displaystyle G(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}.}$

Örneğin, tam kare dizisi için üreteç fonksiyonu a_n = n² dir ve bu halde sıradan üreteç fonksiyonu,

${\displaystyle G(n^{2};x)=\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}x^{n}={\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}}$

olur.

Yakınsaklık

Bir üreteç fonksiyonu, yalnızca biçimsel olarak bir kuvvet serisi olduğundan, her x değeri için yakınsak olmak zorunda değildir. Üreteç fonksiyonunun kullanıldığı bağlam ve örneğe göre kimi zaman uygun düşen x değerleri için yakınsaklığı incelenebilir ve bu x değerleri için eşit olduğu fonksiyon yazılabilir. Örneğin, ${\displaystyle 1,1,1,\ldots }$ dizisine karşılık gelen

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x^{n}}$

üreteç fonksiyonu, ${\displaystyle |x|<1}$ için ${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}}$ fonksiyonuna eşittir.

Üreteç fonksiyon türleri

Üstel üreteç fonksiyonu

Bir a_n dizisi için üstel üreteç fonksiyonu ise şöyledir:

${\displaystyle EG(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n!}}x^{n}.}$

Örneğin,

${\displaystyle EG(n^{2};x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n^{2}x^{n}}{n!}}=x(x+1)e^{x}}$

Olasılık üreteç fonksiyonu

Bir U üzerinde negatif olmayan bir rassal değişken X için (yani her ${\displaystyle u\in U}$ için ${\displaystyle X(u)\geq 0}$)

${\displaystyle G_{X}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }p(X(u)=n)x^{n}}$

serisine olasılık üreteç fonksiyonu ya da olasılık çıkaran fonksiyon denir. Burada p gösterimi ile olasılık dağılım fonksiyonudur. Örneğin, ${\displaystyle a\in \mathbb {N} }$ olmak üzere, ${\displaystyle p(X(u)=n)={\frac {1}{a}}}$, ${\displaystyle n=1,\cdots ,a}$ olsun. Bu durumda, düzgün dağılım üreteç fonksiyonu

${\displaystyle G_{X}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }p(X(u)=n)x^{n}=\sum _{n=1}^{a}p(X(s)=n)x^{n}={\frac {1}{a}}(x+x^{2}+\cdots +x^{a})={\frac {1}{a}}\left({\frac {x-x^{a+1}}{1-x}}\right)}$

olarak elde edilir.

Bell serisi

Bir p asal sayısı ve bir a_n, ${\displaystyle n=0,1,2,\cdots }$ dizisine denk düşen Bell serisi

${\displaystyle BG_{p}(a_{n},x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{p^{n}}x^{n}={\frac {1}{1-p^{2}x}}}$

olarak verilir.$${\displaystyle \operatorname {BG} _{p}(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{p^{n}}x^{n}.}$$

Dirichlet serisi üreteç fonksiyonu

Bir a_n, ${\displaystyle n=0,1,2,\cdots }$ dizisine denk düşen Dirichlet serisi

${\displaystyle DG(a_{n};s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

olarak tanımlanır.$${\displaystyle \operatorname {DG} (a_{n};s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$$

Kaynakça

1. ^ Knuth, Donald E. (1997). "§1.2.9 Generating Functions". Fundamental Algorithms. The Art of Computer Programming. 1 (3. bas.). Addison-Wesley. ISBN . 
2. ^ Polya, George (1954). Mathematics and Plausible Reasoning Volume I: Induction and Analogy in Mathematics. Princeton University Press. 
3. ^ Polya, George (1954). Mathematics and Plausible Reasoning Volume II: Patterns of Plausible Inference. Princeton University Press. 
4. ^ ^{a b} Ümit Işlak (2022), "Stirling Sayıları, Üreteç Fonksiyonlar ve Kupon Toplama Problemi", Matematik Dünyası, 2 (112), 28 Mayıs 2023 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 18 Aralık 2024 
5. ^ Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, , MR 0434929, Zbl 0335.10001 ss. 42–43
6. ^ , Generatingfunctionology (Second Edition)11 Şubat 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (1994) Academic Press. .

Dış bağlantılar

• Generating Functions, Power Indices and Coin Change29 Nisan 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. at Cut-the-Knot
• Generatingfunctionology PDF download page11 Şubat 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• 1031 Generating Functions
• Ignacio Larrosa Cañestro, León-Sotelo, Marko Riedel, Georges Zeller, Suma de números equilibrados29 Mayıs 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., newsgroup es.ciencia.matematicas
• Frederick Lecue; Riedel, Marko, et al., Permutation, Les-Mathematiques.net, in French, title somewhat misleading.
• "Generating Functions"1 Haziran 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. by , , 2007.