Abc sanısı

abc sanısı veya abc konjektürü sayılar teorisindeki bir sanı yani konjektürdür. 1985'te ve tarafından ortaya atılmıştır. Biri diğer ikisinin toplamı şeklinde ifade edilen üç tam sayının özellikleri üzerine kurulmuştur. Problemi çözmek için açık bir strateji bulunmadığı halde, sanı bazı ilginç sonuçları sayesinde tanınmıştır.

Formülleştirme

n pozitif tam sayısı için n'in radikali rad(n) ile gösterilir ve n'in asal sayı bölenlerinin çarpımını ifade eder. Örneğin:

• rad(16) = rad(2⁴) = 2,
• rad(17) = 17,
• rad(18) = rad(2·3²) = 2·3 = 6.

a, b ve c aralarında asal pozitif tam sayılarsa ve a + b = c ise (a, b, c) tam sayı üçlüsünün kalitesi q(a, b, c) ile gösterilir ve aşağıdaki formülle tanımlanır:

${\displaystyle q(a,b,c)={\frac {\log(c)}{\log(\operatorname {rad} (abc))}}}$.

Örneğin:

• q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...
• q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...

a + b = c'yi sağlayan tipik bir (a, b, c) aralarında asal tam sayı üçlüsünün kalitesi q(a, b, c) < 0 olacaktır. Birinci örnekteki gibi q > 1 olan üçlüler aslında özellerdir ve küçük asal sayıların büyük üssel katlarını içerirler.

abc sanısı, herhangi bir ε > 0 için, a + b = c 'i sağlayan sonlu sayıda (a, b, c) aralarında asal pozitif tam sayı üçlüsü bulunacağını belirtir; öyle ki, q(a, b, c) > 1 + ε.

a + b = c yi sağlayan, q(a, b, c) > 1 olan sonsuz sayıda (a, b, c) aralarında asal tam sayı üçlülerinin bulundukları bilindiği halde; sanı, bunların sadece sonlu sayıdaki bir kısmının q > 1.01 ya da q > 1.001 ya da q > 1.0001, vs. olduğunu tahmin eder.

Benzer bir formülleştirme; herhangi bir ε > 0 için, bir K vardır ki,

${\displaystyle c<K\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }}$

eşitsizliği sağlanır.

Bazı sonuçlar

abc sanısı henüz kanıtlanmış değil; ama bir takım ilginç sonuçları var. Bunların arasında zaten bilinen sonuçlar olduğu gibi, koşullu kanıt verdiği sanılar da bulunmakta.

• ( tarafından kanıtlandı)
• büyük bileşenler için (Andrew Wiles tarafından kanıtlandı)
• ( tarafından kanıtlandı)
• sonlu sayıda arşıt örenk hariç
• sonsuz sayıda varlığı
• zeyıf formu
• L(s,(-d/.)) ile kurulur, yoktur.
• P(x)'in x tam sayısı için sadece sonlu sayıda tam üssü vardır, öyle ki P en az üç basit sıfırlı bir polinomdur.
• genelleştirilmesi
• Granville-Langevin sanısına eştir
• eştir.
• Dąbrowski (1996) abc sanısının ${\displaystyle n!+A=k^{2}\,}$ı kanıtladığını gösterdi, öyle ki herhangi bir A tam sayısı için sonlu sayıda çözümü vardır.

Notlar

1. ^ (PDF). 5 Şubat 2009 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 3 Mayıs 2009. 
2. ^ Andrzej Dąbrowski (1996). "On the diophantine equation ${\displaystyle x!+A=y^{2}}$". Nieuw Archief voor Wiskunde, IV. Cilt 14. ss. 321-324.