Abel eşitsizliği

Matematikte Abel eşitsizliği özel bir durumda iki vektörün mutlak değeri için basit bir veren önemli bir eşitsizliktir. Eşitsizlik Niels Henrik Abel'in adını taşımaktatdır.

Eşitsizliğin ifadesi

{a₁, a₂,...} gerçel sayılardan oluşan ve artmayan ya da azalmayan bir dizi olsun. {b₁, b₂,...} sayı dizisi ise gerçel ya da karmaşık sayılardan oluşsun.

${\displaystyle B_{k}=b_{1}+\cdots +b_{k}}$

olmak üzere,

• {a_n} ise

${\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right|\leq \operatorname {max} _{k=1,\dots ,n}|B_{k}|(|a_{n}|+a_{n}-a_{1}),}$

• {a_n} ise

${\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right|\leq \operatorname {max} _{k=1,\dots ,n}|B_{k}|(|a_{n}|-a_{n}+a_{1}),}$

eşitsizlikleri vardır.

Özellikle, {a_n} dizisi artmayan ve negatif olmayan bir sayı dizisi ise,

${\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right|\leq \operatorname {max} _{k=1,\dots ,n}|B_{k}|a_{1},}$

eşitsizliği vardır.

Abel dönüşümü ile bağlantısı

Abel eşitsizliği, ayrık versiyonu olan kolayca çıkar:
{a₁, a₂, ...} ve {b₁, b₂, ...} sayı dizileri ise gerçel ya da karmaşık sayılardan oluşuyorsa

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=a_{n}B_{n}-\sum _{k=1}^{n-1}B_{k}(a_{k+1}-a_{k}).}$

eşitliği vardır.

Kaynakça

1. ^ "Abel inequality", Matematik Ansiklopedisi, Avrupa Matematik Topluluğu, 2001