Fizikte akustik dalga denklemi, akustik dalgaların bir ortamda yayılımını düzenler. Denklemin biçimi ikinci dereceden kısmi diferansiyel denklemdir. Denklem, akustik basınç ve parçacık hızı u nun gelişimini, konum r ve zaman türünden fonksiyon olarak ifade eder. Denklemin basitleştirilmiş bir formu akustik dalgaları sadece bir boyutlu uzayda, daha genel formu ise dalgaları üç boyutta tanımlar.
Tek boyutta
Denklem
Sesin madde içerisindeki davranışını tek boyutta tanımlayan dalga denklemi aşağıdaki şekilde ifade edilir,
akustik basıncı(ortam basıncından değişimi), ise ses hızını gösteriyor.
Çözüm
Hızın sabit olduğu düşünüldüğünde, frekansa bağlı olmadan(dağılım olmayan durumda) en genel çözüm;
ve iki kere türevlenebilen fonksiyonlardır. İki hareket eden dalganın üst üste binmesi olarak görülebilir, () pozitif x-ekseninde, () ise negatif x-ekseninde hızıyla hareket eder. Tek bir yönde hareket eden bir sinüs dalgası ise f veya g den birinin sinüsoid ve diğerinin sıfır olması ile elde edilir.
- .
dalganın açısal frekansını, ise dalga sayısını verir.
Elde etme
Dalga denklemi lineerize edilmiş tek boyutlu süreklilik denkleminden, tek boyutlu kuvvet denkleminden ve hal denkleminden elde edilebilir Hal denklemi(ideal gaz yasası):
Adiabatik(ısı almayan) işlemde, basınç P yoğunluğun bir fonksiyonudur ve şu şekilde lineerize edilebilir;
C herhangi bir katsayı. Basınç ve yoğunluğu ortalama ve toplam bileşenlerine ayırırsak:
- .
Akışkanlar için adiabatik hacim modülü;
Şu sonucu verir:
- .
Yoğunlaşma, s, verilen bir akışkan yoğunluğu için yoğunluktaki değişme olarak tanımlanır.
Lineerize edilmiş hal denklemi buna dönüşür:
P akustik basınç (P − P0).
Süreklilik denklemi(kütle korunumu) tek boyutta şöyledir:
- .
Denklem lineerize edilmeli ve değişkenler yine ortalama ve değişen bileşenlerine ayrılmalıdır.
Tekrar düzenleyerek ve ortam yoğunluğunun zamana veya konuma bağlı değişmediğine, aynı zamanda hız ile yoğunluğun çarpımının çok küçük bir sayı olduğuna dikkat ederek şunu yazabiliriz:
Euler’ın Kuvvet yasası(momentum korunumu) gereken sonunsur. Tek boyutta denklem:
ileten, kayda değer veya gerekli türevdir, sabit bir noktadan ziyade ortamla beraber hareket eden bir noktadaki türevdir. Değişkenleri lineerize edersek:
- .
Küçük terimleri yok sayıp yeniden düzenlersek denkem bu hale gelir:
- .
Süreklilik denkleminin zamana göre, kuvvet denkleminin ise konuma göre türevlerini alırsak:
- .
İlk denklemi ile çarpar, birbirlerinden çıkarır ve hal denkleminin lineerize edilmiş formunu yerine koyarsak:
Son hali şu olur:
yayılma hızıdır
Üç boyutta
Denklem
Feynman üç boyutta sesin ortamdaki dalga denklemini şöyle elde etmiştir:
Laplace operatörü, akustik basınç ve sesin hızıdır.
Çözüm
Aşağıdaki çözümler farklı koordinat sistemlerinde değişken ayırma yöntemi ile elde edilmiştir. Bu çözümlerin zamana bağlı açık olmayan bir faktörleri vardır, ,burada açısal frekanstır. Açık zamana-bağlılık şöyle verilir:
burada dalga sayısıdır.
Kartezyen koordinatlarda
Silindirik koordinatlarda
Burada iken Hankel fonksiyonlarına asimptotik yaklaşımlar şöyle verilir;
Küresel koordinatlarda
Seçilen Fourier kuralına bağlı olarak, bunlardan biri dışarı hareket eden, diğeri ise fiziksel olmayan içeri hareket eden dalgayı temsil eder. İçeri hareket eden dalganın fiziksel olmaması sadece r=0 da oluşan tekillikten ileri gelir; içeri hareket eden dalgalar mevcuttur.
Kaynakça
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Fizikte akustik dalga denklemi akustik dalgalarin bir ortamda yayilimini duzenler Denklemin bicimi ikinci dereceden kismi diferansiyel denklemdir Denklem akustik basinc p displaystyle p ve parcacik hizi u nun gelisimini konum r ve zaman t displaystyle t turunden fonksiyon olarak ifade eder Denklemin basitlestirilmis bir formu akustik dalgalari sadece bir boyutlu uzayda daha genel formu ise dalgalari uc boyutta tanimlar Tek boyuttaDenklem Sesin madde icerisindeki davranisini tek boyutta tanimlayan dalga denklemi asagidaki sekilde ifade edilir 2p x2 1c2 2p t2 0 displaystyle partial 2 p over partial x 2 1 over c 2 partial 2 p over partial t 2 0 p displaystyle p akustik basinci ortam basincindan degisimi c displaystyle c ise ses hizini gosteriyor Cozum Hizin c displaystyle c sabit oldugu dusunuldugunde frekansa bagli olmadan dagilim olmayan durumda en genel cozum p f ct x g ct x displaystyle p f ct x g ct x f displaystyle f ve g displaystyle g iki kere turevlenebilen fonksiyonlardir Iki hareket eden dalganin ust uste binmesi olarak gorulebilir f displaystyle f pozitif x ekseninde g displaystyle g ise negatif x ekseninde c displaystyle c hiziyla hareket eder Tek bir yonde hareket eden bir sinus dalgasi ise f veya g den birinin sinusoid ve digerinin sifir olmasi ile elde edilir p p0sin wt kx displaystyle p p 0 sin omega t mp kx w displaystyle omega dalganin acisal frekansini k displaystyle k ise dalga sayisini verir Elde etme Dalga denklemi lineerize edilmis tek boyutlu sureklilik denkleminden tek boyutlu kuvvet denkleminden ve hal denkleminden elde edilebilir Hal denklemi ideal gaz yasasi PV nRT displaystyle PV nRT Adiabatik isi almayan islemde basinc P yogunlugun r displaystyle rho bir fonksiyonudur ve su sekilde lineerize edilebilir P Cr displaystyle P C rho C herhangi bir katsayi Basinc ve yogunlugu ortalama ve toplam bilesenlerine ayirirsak P P0 P r r r0 displaystyle P P 0 left frac partial P partial rho right rho rho 0 Akiskanlar icin adiabatik hacim modulu B r0 P r adiabatic displaystyle B rho 0 left frac partial P partial rho right adiabatic Su sonucu verir P P0 Br r0r0 displaystyle P P 0 B frac rho rho 0 rho 0 Yogunlasma s verilen bir akiskan yogunlugu icin yogunluktaki degisme olarak tanimlanir s r r0r0 displaystyle s frac rho rho 0 rho 0 Lineerize edilmis hal denklemi buna donusur p Bs displaystyle p Bs P akustik basinc P P0 Sureklilik denklemi kutle korunumu tek boyutta soyledir r t x ru 0 displaystyle frac partial rho partial t frac partial partial x rho u 0 dd Denklem lineerize edilmeli ve degiskenler yine ortalama ve degisen bilesenlerine ayrilmalidir t r0 r0s x r0u r0su 0 displaystyle frac partial partial t rho 0 rho 0 s frac partial partial x rho 0 u rho 0 su 0 Tekrar duzenleyerek ve ortam yogunlugunun zamana veya konuma bagli degismedigine ayni zamanda hiz ile yogunlugun carpiminin cok kucuk bir sayi olduguna dikkat ederek sunu yazabiliriz s t xu 0 displaystyle frac partial s partial t frac partial partial x u 0 Euler in Kuvvet yasasi momentum korunumu gereken sonunsur Tek boyutta denklem rDuDt P x 0 displaystyle rho frac Du Dt frac partial P partial x 0 D Dt displaystyle D Dt ileten kayda deger veya gerekli turevdir sabit bir noktadan ziyade ortamla beraber hareket eden bir noktadaki turevdir Degiskenleri lineerize edersek r0 r0s t u x u x P0 p 0 displaystyle rho 0 rho 0 s left frac partial partial t u frac partial partial x right u frac partial partial x P 0 p 0 Kucuk terimleri yok sayip yeniden duzenlersek denkem bu hale gelir r0 u t p x 0 displaystyle rho 0 frac partial u partial t frac partial p partial x 0 Sureklilik denkleminin zamana gore kuvvet denkleminin ise konuma gore turevlerini alirsak 2s t2 2u x t 0 displaystyle frac partial 2 s partial t 2 frac partial 2 u partial x partial t 0 r0 2u x t 2p x2 0 displaystyle rho 0 frac partial 2 u partial x partial t frac partial 2 p partial x 2 0 Ilk denklemi r0 displaystyle rho 0 ile carpar birbirlerinden cikarir ve hal denkleminin lineerize edilmis formunu yerine koyarsak r0B 2p t2 2p x2 0 displaystyle frac rho 0 B frac partial 2 p partial t 2 frac partial 2 p partial x 2 0 Son hali su olur 2p x2 1c2 2p t2 0 displaystyle partial 2 p over partial x 2 1 over c 2 partial 2 p over partial t 2 0 c Br0 displaystyle c sqrt frac B rho 0 yayilma hizidirUc boyuttaDenklem Feynman uc boyutta sesin ortamdaki dalga denklemini soyle elde etmistir 2p 1c2 2p t2 0 displaystyle nabla 2 p 1 over c 2 partial 2 p over partial t 2 0 2 displaystyle nabla 2 Laplace operatoru p displaystyle p akustik basinc ve c displaystyle c sesin hizidir Cozum Asagidaki cozumler farkli koordinat sistemlerinde degisken ayirma yontemi ile elde edilmistir Bu cozumlerin zamana bagli acik olmayan bir faktorleri vardir eiwt displaystyle e i omega t burada w 2pf displaystyle omega 2 pi f acisal frekanstir Acik zamana baglilik soyle verilir p r t k Real p r k eiwt displaystyle p r t k operatorname Real left p r k e i omega t right burada k w c displaystyle k omega c dalga sayisidir Kartezyen koordinatlarda p r k Ae ikr displaystyle p r k Ae pm ikr Silindirik koordinatlarda p r k AH0 1 kr BH0 2 kr displaystyle p r k AH 0 1 kr BH 0 2 kr Burada kr displaystyle kr rightarrow infty iken Hankel fonksiyonlarina asimptotik yaklasimlar soyle verilir H0 1 kr 2pkrei kr p 4 displaystyle H 0 1 kr simeq sqrt frac 2 pi kr e i kr pi 4 H0 2 kr 2pkre i kr p 4 displaystyle H 0 2 kr simeq sqrt frac 2 pi kr e i kr pi 4 Kuresel koordinatlarda p r k Are ikr displaystyle p r k frac A r e pm ikr Secilen Fourier kuralina bagli olarak bunlardan biri disari hareket eden digeri ise fiziksel olmayan iceri hareket eden dalgayi temsil eder Iceri hareket eden dalganin fiziksel olmamasi sadece r 0 da olusan tekillikten ileri gelir iceri hareket eden dalgalar mevcuttur Kaynakca a b Richard Feynman Lectures in Physics Volume 1 1969 Addison Publishing Company Addison