Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Mantık devrelerinde taşma, devrenin sağladığı bit alanının işlem sonucunda ortaya çıkan verinin elde bulunan saklama alanına sığmaması durumunda olur.
Taşma (Overflow)
İkiye tümleyen (two’s complement) biçiminde tutulan tüm sayılarda bir sınır vardır. 4 bitlik bir tam sayıyı ikiye tümleyen biçiminde gösterirken temsil edilebilen en büyük tam sayı değer 7 (0111), en küçük tam sayı değer ise -8 (1000)’dir. Bu şekilde 9’u göstermek mümkün değildir, yani dörder bitlik gösterimde var olan 5 (0101) ve 4 (0100) sayılarının toplamını 4 bitle göstermek mümkün değildir.
0101 + 0100 = 1001
Örnekte de görüldüğü gibi cevap 4 bitlik gösterimde -7 olur. Bu duruma daha birçok örnek verilebilir. Karşılaşılan bu probleme Taşma (Overflow) adı verilir. Taşma, hesaplama sonucunda gösterilebilir alanın dışına bir değerin düşmesiyle ya da işaret bitinin (sign bit) toplama sonucu değişmesiyle meydana gelebilir.
İkiye tümleyeni kullanırken bu durum iki pozitif tam sayıyı ya da iki negatif tam sayıyı kendi aralarında toplarken oluşabilir. İki durumda da sorun sonucun işaret bitini kontrol ederek saptanabilir. Pozitif sayıların toplamının negatif olarak ve negatif sayıların toplamının pozitif olarak ortaya çıkmasından Taşma olduğu anlaşılabilir. Fakat sayı işaretsiz (unsigned) olduğunda bu yöntem kullanılamaz. İşaretsiz tam sayılar genellikle taşmanın yok sayıldığı bellek adreslerinde kullanılır. Bilgisayar tasarımcısı taşmanın hangi durumlarda tespit edilip hangilerinde yok sayılacağını önceden belirlemelidir. MIPS’in bunun için sunduğu iki çözüm vardır:
(MIPS yapısı)
- Add (add), add immediate (addi) ve subtract (sub) taşmaya neden olabilir.
- Add unsigned (addu), add immediate unsigned (addiu) ve subtract unsigned (subu) taşmaya neden olmaz.
C programlama dilinde taşma yok sayıldığından dolayı, MIPS C derleyicileri değişken türleri ne olursa olsun aritmetik işlemlerin işaretsiz versiyonları olan addu, addiu ve subu’yu kullanır. MIPS Fortran derleyicileri ise aritmetik işlemleri işlenenlerin (operands) türüne göre seçer.
Tabii ki günümüzde birçok bilgisayar burada verilen örneklerden çok daha uzun bit örüntüleri (bit pattern) kullandığından daha büyük değerler sorunsuz, taşma olmadan toplanabilir ve saklanabilir. Bugün bilgisayarlarda genellikle kullanılan 32 bitlik örüntülerde ikiye tümleyen biçiminde pozitif değerler için 2.147.483.647’ye kadar değer tutulabilir. (Bilgisayar mimarisi) Eğer daha büyük değerler gerekirse daha uzun bit örüntüleri kullanılabilir veya ölçüm değerleri değiştirilebilir. Örneğin ölçümleri santimetre yerine metre olarak yapmak hem daha küçük değerler kullanılmasını sağlar hem de halen gereken hassaslığı ve isabetliliği sağlar.
Önemli olan nokta bilgisayarların hata yapabilir olduğudur. Bilgisayar kullanıcıları bu tehlikeden haberdar olmalıdır. Bu sorun genellikle, programcılar ve kullanıcılar tarafından bilinmeden kayıtsızlıkla karşılanır ve küçük sayılardan çok büyük sonuçlar ortaya çıkabileceğini görmezden gelinir. Örneğin, bilgisayarların genellikle 16 bitlik oldukları dönemde ikiye tümleyen biçiminde işlem yapan bilgisayarlarda gösterilebilir en büyük değer olan 215 = 32.768’e ve daha büyük değerlere ulaşıldığında taşma meydana gelirdi. 19 Eylül 1989 günü bir hastanenin bilgisayar sistemi uzun süren bir hizmet döneminden sonra beklenmeyen bir hata meydana getirdi. Bunun nedeni arızanın oluştuğu tarihin 1 Ocak 1900 tarihinden 32.768 gün sonrasına denk gelmesiydi ve makinenin tarih hesaplama sistemi 1 Ocaktan başlamak ve geçen gün sayısına göre tarih hesaplamak üzerine tasarlanmıştı. Sonuç olarak 19 Eylül 1989 günü taşma yüzünden negatif bir sonuç ortaya çıktı ve bilgisayar bu sorunu kontrol altına alabilecek şekilde bir donanıma ve yazılıma sahip değildi.
Üstten taşma
Kayan Nokta aritmetiğinde taşma iki türlü meydana gelebilir. Bu türler overflow ve underflow olarak adlandırılır.
Overflow: Pozitif bir üstün üst (exponent) alanına sığmayacak kadar büyük hale gelmesi durumuna verilen isimdir.
Underflow: Negatif bir üstün üst (exponent) alanına sığmayacak kadar büyük bir hale gelmesi durumuna verilen isimdir.
Kırpma (Truncation) Hataları
Rahatsız edici başka bir problemse, 1 baytlık kayan nokta sisteminde örnek olarak 2 5⁄8 ‘in saklanması istendiğinde ortaya bir sorun çıkacaktır. İlk önce 2 5⁄8 ikilik sistemde yazıır; 10,101. Fakat bu ondalık(mantissa) alanına kopyalanırsa kullanılabilir alanın dışına taşmak gerekir. Bu durumda en sağdaki en anlamsız bit (least significant bit) dışarıya atılır ve kaybolur. Bu 1⁄8’lik bir büyüklüğün kaybolması anlamına gelir.
Bu sorun görmezden gelinip üst alanı ve işaret biti doldurulursa elde edilen sonuç 01101010 olur yani 2 5⁄8 yerine 2 1⁄2 elde edilmiş olur. Bu duruma Kırpma (truncation) hatası adı verilir ve sonucunda ondalık alanının yeteri kadar geniş olmamasından kaynaklı olarak değerin bir kısmı kaybolur.
Bu durumda 2 1⁄2 + 1⁄8 + 1⁄8 sonucu bulunmak istendiğinde değerler yazıldığı sırayla toplanırsa 2 1⁄2 + 1⁄8 sonucu olarak 2 5⁄8 yani ikilik sistemde 10.101 elde edilir. Daha önceden de görüldüğü gibi bu değer doğru olarak tutulamaz. Eklenilen 1⁄8 değeri hiç eklenmemiş gibi ortadan kaybolur. Sonuç olarak gelen 2 1⁄2’ye son 1⁄8 de eklediğinde yine aynı sorundan dolayı son sonuç olarak 2 1⁄2 elde edilir. Fakat değerler tersten sıralanıp toplanırsa bu sorun çözülebilir. 1⁄8+ 1⁄8 = 1⁄4, yani ikilik sistemde .01 sonucu elde edilir. İlk aşamanın sonucu bir baytta 00111000 olarak isabetli şekilde saklanır. Bu değer 2 1⁄2 ile toplanırsa 2 3⁄4 sonucu elde edilir. Yani bir baytta isabetli olarak 01101011 bu sefer doğru olan sonuç tutulabilir.
Özetlemek gerekirse kayan nokta biçiminde nümerik değerler eklenirken kullanılan sıralama sonucun doğru olması açısından önemlidir. Bu biçimde çok büyük bir sayıya çok küçük bir sayı eklenirse küçük sayı kırpılmış (truncated) olabilir. Sonuç olarak değerleri birbirine eklemek için genel kural küçük olan değerler büyük değerin yanında kaybolmayacakları umularak bir araya toplanır ve kalan büyük değerle son olarak toplama işlemi yapılır.
Bu tür sorunların önemi daha uzun ondalık alanı kullanılarak azaltılabilir. Aslında bugün birçok bilgisayar burada gösterilen 8 bit yerine 32 bit veya daha fazlasını kullanır. Bu aynı zamanda daha uzun bir üst alanını kullanılabilir hale getirir. Bu uzunluktaki formatlarda bile halen daha isabetli sonuçlara ihtiyaç duyulabilir.
Günümüzde ticari yazılım paketi tasarımcıları bu konuda eğitimsiz kullanıcıları bu durumdan korumak adına iyi işler ortaya koymaktadırlar. Standart bir hesap tablosu (spreadsheet) sisteminde 1016 ve daha fazla farklar olmayan sayılarda doğru cevaplar alınması beklenir. Sonuç olarak, 10.000.000.000.000.000’e 1 ekleme ihtiyacı duyulursa 10.000.000.000.000.001 yerine 10.000.000.000.000.000 cevabı alınabilir.
Bu tür problemler genellikle basit kullanıcılar için büyük sorunlar teşkil etmez fakat hassasiyet uçak ve gemi sistemleri, uzay araştırma araçları gibi sistemler için son derece önemli olabilir.
Başka bir kırpma hatası sebebi ise gündelik hayatta kullanılan on tabanında her zaman ortaya çıkan bir problemdir: örneğin 1⁄3' ün desimal biçimde gösterilmesinde karşılaşılan ondalığın sonsuza gitmesi (nonterminating expansions) problemi. Bazı değerler burada olduğu gibi kaç bit kullanılırsa kullanılsın tam olarak ifade edilemez. On tabanı ve ikilik (binary) gösterim arasındaki fark ikilik gösterimde daha fazla sonsuza giden değer vardır. Örneğin 0,1 ikilik sistemde tam olarak ifade edilemez. Buna sorun teşkil eden bir örnek vermek gerekirse dolar ve sentlerle çalışan, bu durumdan habersiz bir insanın karşılaşacağı birçok sorun vardır. Özellikle dolar genel birim olarak kullanılıyorsa “dime” isabetli olarak saklanamaz. Bu durumda genel birim olarak peni kullanılmasıyla bütün değerlerin tam sayı olması ve daha isabetli sonuçlar elde edilmesi sağlanabilir.
Sonuç
Taşmayla başa çıkmanın birkaç yolunu bir araya toplamak gerekirse:
- Tasarım: uzunluk ve işaret tipi bakımından uygun veri türleri seçmek
- Sakınma: işlem ve işlenenlerin seçiminde elde edilebilecek sonucun asla saklanabilecek sonuçtan daha uzun olmayacağına emin olmak
- Kontrol etme: eğer taşma olacağı önceden tahmin edilirse veya tespit edilirse önce başka bir işlem yapılır. Örneğin önce küçük olan girdiler toplanır arkasından daha büyük değerlerle toplanır. İşlemciler genellikle bir ek özellik olarak bir statü biti kullanarak taşmaları tespit edip önleyebilirler.
- Yayılma: eğer verilen değer tutulmak için çok büyükse taşma olduğu belirtilerek özel bir değere atanabilir. Üzerinde yapılacak işlemler uygulandıktan sonra bu değer döndürülür. Bu yöntem değerin uzun işlemler sonunda her aşamada kontrol edilmesindense bütün işlemler bitince kontrol edilebilmesine olanak sağlar. Bu özellik genellikle FPU adı verilen kayan nokta donanımlarıyla(Floating point hardware) desteklenir.
- Yok sayma: en fazla tercih edilen yoldur fakat yanlış sonuçlar verebilir ve programın güvenilirliğini tehlikeye atabilir.
Sıfıra bölünme bir taşma değildir. Matematiksel olarak sıfıra bölünme tanımsızdır.[1]20 Ekim 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
Kaynakça
1. "Kayan Nokta." Wikipedia, Özgür Ansiklopedi. 23 Aralık 2007, 00:29 UTC. 23 Aralık 2007, 20:19 <http://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Kayan_Nokta&oldid=2562351>.
2. "Bilgisayar mimarisi." Wikipedia, Özgür Ansiklopedi. 23 Aralık 2007, 15:41 UTC. 23 Aralık 2007, 20:23 <http://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilgisayar_mimarisi&oldid=2565041>.
3. "MIPS yapısı." Wikipedia, Özgür Ansiklopedi. 23 Ağu 2007, 17:56 UTC. 23 Aralık 2007, 20:24 <http://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=MIPS_yap%C4%B1s%C4%B1&oldid=2051394>.
4. "Arithmetic overflow." Wikipedia, The Free Encyclopedia. 15 Nov 2007, 06:41 UTC. Wikimedia Foundation, Inc. 23 Dec 2007 <http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Arithmetic_overflow&oldid=171613825>.
5. Patterson, David A. (2005). Computer Organization and Design: The Hardware/Software Interface. San Francisco: Morgan Kaufmann. .
6. Brookshear, J. Glenn (2005). Computer Science: An Overview. Boston: Pearson Education, Inc. .
7. Heuring, Vincent P. (2004). Computer Systems Design and Architecture. Pearson/Prentice Hall. 0131911562.
8. Ergin, Oğuz (2007). "Kayan Nokta İşlemleri" (PDF). Erişim tarihi: 30 Kasım 2007.[]
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Mantik devrelerinde tasma devrenin sagladigi bit alaninin islem sonucunda ortaya cikan verinin elde bulunan saklama alanina sigmamasi durumunda olur Tasma Overflow Ikiye tumleyen two s complement biciminde tutulan tum sayilarda bir sinir vardir 4 bitlik bir tam sayiyi ikiye tumleyen biciminde gosterirken temsil edilebilen en buyuk tam sayi deger 7 0111 en kucuk tam sayi deger ise 8 1000 dir Bu sekilde 9 u gostermek mumkun degildir yani dorder bitlik gosterimde var olan 5 0101 ve 4 0100 sayilarinin toplamini 4 bitle gostermek mumkun degildir 0101 0100 1001 Ornekte de goruldugu gibi cevap 4 bitlik gosterimde 7 olur Bu duruma daha bircok ornek verilebilir Karsilasilan bu probleme Tasma Overflow adi verilir Tasma hesaplama sonucunda gosterilebilir alanin disina bir degerin dusmesiyle ya da isaret bitinin sign bit toplama sonucu degismesiyle meydana gelebilir Ikiye tumleyeni kullanirken bu durum iki pozitif tam sayiyi ya da iki negatif tam sayiyi kendi aralarinda toplarken olusabilir Iki durumda da sorun sonucun isaret bitini kontrol ederek saptanabilir Pozitif sayilarin toplaminin negatif olarak ve negatif sayilarin toplaminin pozitif olarak ortaya cikmasindan Tasma oldugu anlasilabilir Fakat sayi isaretsiz unsigned oldugunda bu yontem kullanilamaz Isaretsiz tam sayilar genellikle tasmanin yok sayildigi bellek adreslerinde kullanilir Bilgisayar tasarimcisi tasmanin hangi durumlarda tespit edilip hangilerinde yok sayilacagini onceden belirlemelidir MIPS in bunun icin sundugu iki cozum vardir MIPS yapisi Add add add immediate addi ve subtract sub tasmaya neden olabilir Add unsigned addu add immediate unsigned addiu ve subtract unsigned subu tasmaya neden olmaz C programlama dilinde tasma yok sayildigindan dolayi MIPS C derleyicileri degisken turleri ne olursa olsun aritmetik islemlerin isaretsiz versiyonlari olan addu addiu ve subu yu kullanir MIPS Fortran derleyicileri ise aritmetik islemleri islenenlerin operands turune gore secer Tabii ki gunumuzde bircok bilgisayar burada verilen orneklerden cok daha uzun bit oruntuleri bit pattern kullandigindan daha buyuk degerler sorunsuz tasma olmadan toplanabilir ve saklanabilir Bugun bilgisayarlarda genellikle kullanilan 32 bitlik oruntulerde ikiye tumleyen biciminde pozitif degerler icin 2 147 483 647 ye kadar deger tutulabilir Bilgisayar mimarisi Eger daha buyuk degerler gerekirse daha uzun bit oruntuleri kullanilabilir veya olcum degerleri degistirilebilir Ornegin olcumleri santimetre yerine metre olarak yapmak hem daha kucuk degerler kullanilmasini saglar hem de halen gereken hassasligi ve isabetliligi saglar Onemli olan nokta bilgisayarlarin hata yapabilir oldugudur Bilgisayar kullanicilari bu tehlikeden haberdar olmalidir Bu sorun genellikle programcilar ve kullanicilar tarafindan bilinmeden kayitsizlikla karsilanir ve kucuk sayilardan cok buyuk sonuclar ortaya cikabilecegini gormezden gelinir Ornegin bilgisayarlarin genellikle 16 bitlik olduklari donemde ikiye tumleyen biciminde islem yapan bilgisayarlarda gosterilebilir en buyuk deger olan 215 32 768 e ve daha buyuk degerlere ulasildiginda tasma meydana gelirdi 19 Eylul 1989 gunu bir hastanenin bilgisayar sistemi uzun suren bir hizmet doneminden sonra beklenmeyen bir hata meydana getirdi Bunun nedeni arizanin olustugu tarihin 1 Ocak 1900 tarihinden 32 768 gun sonrasina denk gelmesiydi ve makinenin tarih hesaplama sistemi 1 Ocaktan baslamak ve gecen gun sayisina gore tarih hesaplamak uzerine tasarlanmisti Sonuc olarak 19 Eylul 1989 gunu tasma yuzunden negatif bir sonuc ortaya cikti ve bilgisayar bu sorunu kontrol altina alabilecek sekilde bir donanima ve yazilima sahip degildi Ustten tasmaKayan Nokta aritmetiginde tasma iki turlu meydana gelebilir Bu turler overflow ve underflow olarak adlandirilir Overflow Pozitif bir ustun ust exponent alanina sigmayacak kadar buyuk hale gelmesi durumuna verilen isimdir Underflow Negatif bir ustun ust exponent alanina sigmayacak kadar buyuk bir hale gelmesi durumuna verilen isimdir Kirpma Truncation HatalariRahatsiz edici baska bir problemse 1 baytlik kayan nokta sisteminde ornek olarak 2 5 8 in saklanmasi istendiginde ortaya bir sorun cikacaktir Ilk once 2 5 8 ikilik sistemde yaziir 10 101 Fakat bu ondalik mantissa alanina kopyalanirsa kullanilabilir alanin disina tasmak gerekir Bu durumda en sagdaki en anlamsiz bit least significant bit disariya atilir ve kaybolur Bu 1 8 lik bir buyuklugun kaybolmasi anlamina gelir Bu sorun gormezden gelinip ust alani ve isaret biti doldurulursa elde edilen sonuc 01101010 olur yani 2 5 8 yerine 2 1 2 elde edilmis olur Bu duruma Kirpma truncation hatasi adi verilir ve sonucunda ondalik alaninin yeteri kadar genis olmamasindan kaynakli olarak degerin bir kismi kaybolur Bu durumda 2 1 2 1 8 1 8 sonucu bulunmak istendiginde degerler yazildigi sirayla toplanirsa 2 1 2 1 8 sonucu olarak 2 5 8 yani ikilik sistemde 10 101 elde edilir Daha onceden de goruldugu gibi bu deger dogru olarak tutulamaz Eklenilen 1 8 degeri hic eklenmemis gibi ortadan kaybolur Sonuc olarak gelen 2 1 2 ye son 1 8 de eklediginde yine ayni sorundan dolayi son sonuc olarak 2 1 2 elde edilir Fakat degerler tersten siralanip toplanirsa bu sorun cozulebilir 1 8 1 8 1 4 yani ikilik sistemde 01 sonucu elde edilir Ilk asamanin sonucu bir baytta 00111000 olarak isabetli sekilde saklanir Bu deger 2 1 2 ile toplanirsa 2 3 4 sonucu elde edilir Yani bir baytta isabetli olarak 01101011 bu sefer dogru olan sonuc tutulabilir Ozetlemek gerekirse kayan nokta biciminde numerik degerler eklenirken kullanilan siralama sonucun dogru olmasi acisindan onemlidir Bu bicimde cok buyuk bir sayiya cok kucuk bir sayi eklenirse kucuk sayi kirpilmis truncated olabilir Sonuc olarak degerleri birbirine eklemek icin genel kural kucuk olan degerler buyuk degerin yaninda kaybolmayacaklari umularak bir araya toplanir ve kalan buyuk degerle son olarak toplama islemi yapilir Bu tur sorunlarin onemi daha uzun ondalik alani kullanilarak azaltilabilir Aslinda bugun bircok bilgisayar burada gosterilen 8 bit yerine 32 bit veya daha fazlasini kullanir Bu ayni zamanda daha uzun bir ust alanini kullanilabilir hale getirir Bu uzunluktaki formatlarda bile halen daha isabetli sonuclara ihtiyac duyulabilir Gunumuzde ticari yazilim paketi tasarimcilari bu konuda egitimsiz kullanicilari bu durumdan korumak adina iyi isler ortaya koymaktadirlar Standart bir hesap tablosu spreadsheet sisteminde 1016 ve daha fazla farklar olmayan sayilarda dogru cevaplar alinmasi beklenir Sonuc olarak 10 000 000 000 000 000 e 1 ekleme ihtiyaci duyulursa 10 000 000 000 000 001 yerine 10 000 000 000 000 000 cevabi alinabilir Bu tur problemler genellikle basit kullanicilar icin buyuk sorunlar teskil etmez fakat hassasiyet ucak ve gemi sistemleri uzay arastirma araclari gibi sistemler icin son derece onemli olabilir Baska bir kirpma hatasi sebebi ise gundelik hayatta kullanilan on tabaninda her zaman ortaya cikan bir problemdir ornegin 1 3 un desimal bicimde gosterilmesinde karsilasilan ondaligin sonsuza gitmesi nonterminating expansions problemi Bazi degerler burada oldugu gibi kac bit kullanilirsa kullanilsin tam olarak ifade edilemez On tabani ve ikilik binary gosterim arasindaki fark ikilik gosterimde daha fazla sonsuza giden deger vardir Ornegin 0 1 ikilik sistemde tam olarak ifade edilemez Buna sorun teskil eden bir ornek vermek gerekirse dolar ve sentlerle calisan bu durumdan habersiz bir insanin karsilasacagi bircok sorun vardir Ozellikle dolar genel birim olarak kullaniliyorsa dime isabetli olarak saklanamaz Bu durumda genel birim olarak peni kullanilmasiyla butun degerlerin tam sayi olmasi ve daha isabetli sonuclar elde edilmesi saglanabilir SonucTasmayla basa cikmanin birkac yolunu bir araya toplamak gerekirse Tasarim uzunluk ve isaret tipi bakimindan uygun veri turleri secmek Sakinma islem ve islenenlerin seciminde elde edilebilecek sonucun asla saklanabilecek sonuctan daha uzun olmayacagina emin olmak Kontrol etme eger tasma olacagi onceden tahmin edilirse veya tespit edilirse once baska bir islem yapilir Ornegin once kucuk olan girdiler toplanir arkasindan daha buyuk degerlerle toplanir Islemciler genellikle bir ek ozellik olarak bir statu biti kullanarak tasmalari tespit edip onleyebilirler Yayilma eger verilen deger tutulmak icin cok buyukse tasma oldugu belirtilerek ozel bir degere atanabilir Uzerinde yapilacak islemler uygulandiktan sonra bu deger dondurulur Bu yontem degerin uzun islemler sonunda her asamada kontrol edilmesindense butun islemler bitince kontrol edilebilmesine olanak saglar Bu ozellik genellikle FPU adi verilen kayan nokta donanimlariyla Floating point hardware desteklenir Yok sayma en fazla tercih edilen yoldur fakat yanlis sonuclar verebilir ve programin guvenilirligini tehlikeye atabilir Sifira bolunme bir tasma degildir Matematiksel olarak sifira bolunme tanimsizdir 1 20 Ekim 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arsivlendi Kaynakca1 Kayan Nokta Wikipedia Ozgur Ansiklopedi 23 Aralik 2007 00 29 UTC 23 Aralik 2007 20 19 lt http tr wikipedia org w index php title Kayan Nokta amp oldid 2562351 gt 2 Bilgisayar mimarisi Wikipedia Ozgur Ansiklopedi 23 Aralik 2007 15 41 UTC 23 Aralik 2007 20 23 lt http tr wikipedia org w index php title Bilgisayar mimarisi amp oldid 2565041 gt 3 MIPS yapisi Wikipedia Ozgur Ansiklopedi 23 Agu 2007 17 56 UTC 23 Aralik 2007 20 24 lt http tr wikipedia org w index php title MIPS yap C4 B1s C4 B1 amp oldid 2051394 gt 4 Arithmetic overflow Wikipedia The Free Encyclopedia 15 Nov 2007 06 41 UTC Wikimedia Foundation Inc 23 Dec 2007 lt http en wikipedia org w index php title Arithmetic overflow amp oldid 171613825 gt 5 Patterson David A 2005 Computer Organization and Design The Hardware Software Interface San Francisco Morgan Kaufmann ISBN 1 55860 604 1 6 Brookshear J Glenn 2005 Computer Science An Overview Boston Pearson Education Inc ISBN 0 321 43445 5 7 Heuring Vincent P 2004 Computer Systems Design and Architecture Pearson Prentice Hall 0131911562 8 Ergin Oguz 2007 Kayan Nokta Islemleri PDF Erisim tarihi 30 Kasim 2007 olu kirik baglanti