Bağ İnterpolasyonu

Spline fonksiyonu, farklı parçaların birleştirilmesi ile oluşan sürekli karakterli fonksiyonlara verilen addır. Parçalar farklı eğilimli doğru parçaları olabilecekleri gibi, doğrusal olmayan fonksiyonlar da olabilirler. Fonksiyon parçaların birleşme noktalarında kırılma gösterir. Yapısal değişikliğin incelenmesinde kullanılır.

Kuadratik şerit altı polinomal bölümden oluşmaktadır. 0 ve 1 noktaları arası düz bir çizgidir. 1 ve 2 noktaları arası ikinci türevi 4 olan bir paraboldür. 2 ve 3 noktaları arası ikinci türevi -2 olan bir paraboldür. 3 ve 4 noktaları arası düz bir çizgidir. 4 ve 5 noktaları arası ikinci türevi 6 olan bir paraboldür. 5 ev 6 noktaları arası düz bir noktadır.

Yedi polinomal bölümden oluşan bir kübik şerit.

Bir şeridin ikinci türevi

Kutupsal problemlerde, bağ interpolasyonu genellikle yüksek dereceli polinomlarda Runge'den kaynaklı kararsızlıkları engellerken aynı zamanda birbirine yakın sonuçlar elde edilmesini sağladığı için polinomal kutuplamaya göre daha fazla tercih edilir. Bilgisayar grafiklerinde, koordinatları bağlar tarafından verilen parametrik eğrilerin yapımı basit olması, bunların kolaylığı, değerlendirmelerinin isabetli olması ve kompleks şekillerdeki eğrilerin kapasitelerinin hesaplamasının eğri uydurması ve etkileşimli eğri tasarımının kullanılması yoluyla hesaplanması sebebiyle popülerdir.

En çok kullanılan bağlar kübik bağlardır. Örnek olarak sürekli C2’nin karşılığı olan kompozit Bezier eğrilerine eşit olan kübik B-bağı ya da Bağ interpolasyonunu simule eden düz bağ fonksiyonu.

Bağ terimi teknik ressamlar tarafından eğri çizgiler çizmek için kullanılan esnek metal şeritten esinlenerek ortaya çıkmıştır.

Örnekler

Kuadratik bağın basit bir örneği (2 derecelik bağlar)

Çan şeklindeki Irwin-Hall şeridi

Üstteki şeridin ikinci türevi

${\displaystyle S(t)={\begin{cases}(t+1)^{2}-1&-2\leq t<0\\1-(t-1)^{2}&0\leq t\leq 2\end{cases}}}$

${\displaystyle S'(0)=2}$

Kübik bağın basit bir örneği

${\displaystyle S(t)=\left|t\right|^{3}}$

${\displaystyle S(t)={\begin{cases}t^{3}&t\geq 0\\-t^{3}&t<0\end{cases}}}$

ve

${\displaystyle S'(0)=\ 0}$

${\displaystyle S''(0)=\ 0}$

Çan şeklinde bir eğri elde etmek için kullanılan Irwin-Hall dağılım polinomu kübik bağa bir örnektir.

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{4}}(x+2)^{3}&-2\leq x\leq -1\\{\frac {1}{4}}\left(3|x|^{3}-6x^{2}+4\right)&-1\leq x\leq 1\\{\frac {1}{4}}(2-x)^{3}&1\leq x\leq 2\end{cases}}}$

Tarihçe

Bilgisayarlar kullanılmadan önce, sayısal hespalamalar elle yapılmaktaydı. Adım fonksiyonu gibi fonksiyonlar kullanılırdı fakat polinomal fonksiyonlar genellikle tercih edilirdi. Bilgisayarların gelişmesiyle, şeritler ilk olarak kutuplamadaki polinomları değiştirdi; daha sonra bilgisayar grafiklerinde yumuşak ve esnek şekillerin ortaya çıkarılmasında kullanıldı.

Şerit kelimesi anlam olarak Batı Anglosakson diyalektiğinden gelen ince tahta veya metal çıta anlamına gelmektedir. 1895’ten itibaren, eğrileri çizmek için kullanılan esnek cetvel yerine kullanılmaya başladı. Bu şeritler uçak ve gemi yapımı endüstrilerinde kullanıldı. Yıllar boyunca küçük gövdeler tasarlamak için modelleri kullandı. En başarılı tasarım daha sonra grafik kağıdına çizdirildi ve çizimin anahtar noktaları daha büyük bir grafik kağıdına tam boyut olarak yeniden çizdirildi. İnce tahta şeritler anahtar noktaların yumuşak eğrilere dönüştürülmesini sağladı. İnce şeritler anahtar noktaların yerini alabilirdi ve bu noktalar arasında minimum gerilme enerjisinin yerini tutmaya başladılar. Bartels et al (1987)’in ön sözünde belirtildiği üzere, Robin Forrest tarafından lofting olarak belirtilen Loft tasarımında yerde bulunan noktalardan ince tahta şeritlerin(Şerit) geçirilmesiyle uçak şekillerinin çizilmesini sağlayan İngiliz Uçak Endüstrisi tarafından 2. Dünya savaşı esnasında kullanılmıştır.

1946’da Schoenberg tarafından şeritlere ilk matematiksel referansın verildiği genel olarak kabul edilmiştir. Bu makale, şerit kelimesinin yumuşaklık ve parçalı polinomal fonksiyonlara yaklaşım ile bağlantılı olarak kullanıldığı ilk yerdir. Forrest’a göre, Bu işleme göre yapılan bir uçağın düşman bombası tarafından vurulması kritik tasarım bileşenlerinin kaybına neden olur. Bu konik lofting’in yükselmesini sağlamıştır. Bu terim, konik bölgelerin ducklarla arasında kalan modellenmesini sağlamıştır. Conic lofting 1960’ların ilk zamanlarında J.C. Ferguson’un Boeing’te yaptığı çalışmalar ve M.A Sabin’in İngiliz Uçak Şirketindeki çalışmalar baz alınarak şerit kelimesiyle değiştirilmiştir.

Şeritlerin otomobil tasarımlarında kullanılması birkaç bağımsız başlangıca sebep olmuştur. Bu çalışmaların mimarı Citroen’den de Casteljau, Renault’dan Pierre Bezier, Garabedian’dan Birkhoff ve General Motors’dan de Boor’dur. Bu çalışmalar 1950’lerin sonu ve 1960’ların başlarında gerçekleşmiştir. En azından 1959’da De Casteljau’nun araştırması geniş çapta olmasa da yayınlandıktan sonra. De Boor’un General Motors’daki çalışması 1960’ların ilk zamanlarında araştırmalarının ortaya çıkmasını sağlamıştır. Bu araştırmalar B-şeritlerinin temel çalışmasını da içermektedir. Pratt & Whitney Uçak’ta iki yazar tarafından şeritlerin davranışları üzerine yayınlanan bir kitap boyutundaki araştırmalar ve Feodor Theillheimer tarafından yayınlanan David Taylor Model Basin ile de çalışmaların yapıldığı görülmektedir. General Motors’da yapılan çalışmalar Birkhoff ve Young tarafından detaylandırılmıştır ve Davis bu materyalleri özetlemiştir.

Tanım

Şeritler tarafından [a,b] aralığında tanımlanan ve k alt aralığında oluşan parçalı polinomal reel fonksiyonlardır.

${\displaystyle S:[a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{k-1}<t_{k}=b}$

S’nin aralıktaki sınırı bir polinomal fonksiyondur.

${\displaystyle P_{i}:[t_{i-1},t_{i}]\to \mathbb {R} }$,

Bu yüzden

${\displaystyle S(t)=P_{1}(t){\mbox{, }}t_{0}\leq t<t_{1},}$

${\displaystyle S(t)=P_{2}(t){\mbox{, }}t_{1}\leq t<t_{2},}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle S(t)=P_{k}(t){\mbox{, }}t_{k-1}\leq t\leq t_{k}.}$

Polinomların maksimum sıralaması şeritlerin sıralaması olarak da adlandırılmaktadır. Eğer aynı uzunluktaki uzunluktaki alt aralıklarsa benzersizdir, diğer şekilde benzersiz olmazlar.

Yeterli yumuşaklığı sağlayan S polinomlarının seçilmesi gerekmektedir. Özellikle, n. Dereceden bir şeritte, sürekli ve S, iç noktalarda (n-1). derecede sürekli türevlenebilir olmalıdır. ${\displaystyle t_{i}}$: for ${\displaystyle i=1,\dots ,k-1}$

${\displaystyle j=0,\dots ,n-1}$

${\displaystyle P_{i}^{(j)}(t_{i})=P_{i+1}^{(j)}(t_{i})}$

Noktalar arasında kutuplanan kübik bağın türevlenmesi

Bağ interpolasyonu şeritlerin en genel kullanımlarından birisidir.