Tümleşik matematikte binom dönüşümü bir dizinin hesaplamaya yarayan bir Kavram binom dönüşümünün Euler dizisine uygulanm

Tümleşik matematikte binom dönüşümü bir dizinin hesaplamaya yarayan bir . Kavram, binom dönüşümünün Euler dizisine uygulanması sonucu oluşan Euler dönüşümüyle yakından ilintilidir.

Tanım

Bir $\{a_{n}\}$ dizisinin binom dönüşümü (T)

s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{k}

olarak tanımlanan $\{s_{n}\}$ dizisidir.

$(Ta)_{n}=s_{n}$ yazımında T bir sonsuz boyutlu göstermektedir. Bu işlecin elemanları şu biçimde gösterilebilir:

s_{n}=(Ta)_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }T_{nk}a_{k}

Bu dönüşüm bir .

TT=1

Bu, farklı bir biçimde de gösterilebilir.

\sum _{k=0}^{\infty }T_{nk}T_{km}=\delta _{nm}

Burada δ göstermektedir.

a_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}s_{k}

işlemiyle özgün diziye geri dönülebilir.

Bir dizinin binom dönüşümü o dizinin n. .

s_{0}=a_{0}

s_{1}=-(\triangle a)_{0}=-a_{1}+a_{0}

s_{2}=(\triangle ^{2}a)_{0}=-(-a_{2}+a_{1})+(-a_{1}+a_{0})=a_{2}-2a_{1}+a_{0}

\dots \,

s_{n}=(-1)^{n}(\triangle ^{n}a)_{0}

Burada Δ simgelemektedir.

Binom dönüşümü zaman zaman ek bir imle gösterilmektedir. Bu gösterimde dönüşüm

t_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}a_{k}

biçiminde ifade edilirken bu ifadenin tersi

a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}t_{k}

olarak yazılır.

Örnek

Binom dönüşümleri fark tablolarında kolaylıkla gözlenebilmektedir.

0		1		10		63		324		1485
	1		9		53		261		1161
		8		44		208		900
			36		164		692
				128		528
					400

0, 1, 10, 63, 324, 1485, … biçimindeki en üst satır ( $(2n^{2}+n)3^{n-2}$ tarafından tanımlanan bir dizi) 0, 1, 8, 36, 128, 400, … köşegeninin ( $n^{2}2^{n-1}$ tarafından tanımlanan bir dizi) binom dönüşümüdür.

Değişim durumları

Binom dönüşümü Bell sayılarının . Başka bir deyişle,

B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}

eşitliği sağlanmaktadır. Burada $B_{n}$ Bell sayılarını göstermektedir.

Olağan üretici işlev

Dönüşüm, diziyle ilişkilendirilmiş birbirine bağlamaktadır. için

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}

ve

g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}

eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. Buradan

g(x)=(Tf)(x)={\frac {1}{1-x}}f\left({\frac {x}{x-1}}\right)

ifadesine ulaşılabilir.

Euler dönüşümü

Olağan üretici işlevler arasındaki ilişki zaman zaman Euler dönüşümü olarak adlandırılmaktadır. İki farklı biçimde var olan dönüşüm, almaşık dizilerin yakınsaklığını hızlandırabilmektedir. Başka bir deyişle,

\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\Delta ^{n}a_{0}}{2^{n+1}}}

ifadesinde x yerine 1/2 konularak 1'e ulaşılabilir. Sağdaki terimler çok hızlı bir biçimde küçüldüklerinden bu toplam kolaylıkla hesaplanabilir.

Euler dönüşümü şu biçimde genellenbilir:

p = 0, 1, 2, … için

\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{n+p \choose n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{n+p \choose n}{\frac {\Delta ^{n}a_{0}}{2^{n+p+1}}}

eşitliği sağlanır.

Euler dönüşümü $\,_{2}F_{1}$ sıklıkla uygulanmkatadır. Bu durumda Euler dönüşümü

\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}\,_{2}F_{1}\left(c-a,b;c;{\frac {z}{z-1}}\right)

olarak ifade edilebilmektedir.

Binom dönüşümü ve bunun farklı bir uyarlaması olan Euler dönüşümü bir sayının olarak ifade edilmesinde büyük önem taşımaktadır. $0<x<1$ sayısının sürekli kesir ifadesinin

x=[0;a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]

olduğu varsayılsın. Buradan

{\frac {x}{1-x}}=[0;a_{1}-1,a_{2},a_{3},\cdots ]

ve

{\frac {x}{1+x}}=[0;a_{1}+1,a_{2},a_{3},\cdots ]

sonuçlarına ulaşılabilmektedir.

Üstel üretici işlev

için

{\overline {f}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}

ve

{\overline {g}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}

eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. Buradan

{\overline {g}}(x)=(T{\overline {f}})(x)=e^{x}{\overline {f}}(-x)

eşitliğine ulaşılır.

, olağan üretici işlevi üstel üretici işleve dönüştürebilmektedir.

İntegral biçimindeki ifadesi

Dizi bir karmaşık çözümleme işleviyle değiştirildiğinde dizinin binom dönüşümü biçiminde ifade edilebilmektedir.

Genellemeler

Prodinger bir dönüşümden söz etmektedir.

u_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}(-c)^{n-k}b_{k}

eşitliğinin sağlandığı varsayıldığında

U(x)={\frac {1}{cx+1}}B\left({\frac {ax}{cx+1}}\right)

ifadesine ulaşılır. Burada U ve B sırasıyla $\{u_{n}\}$ ve $\{b_{n}\}$ dizileriyle ilişkilendirilmiş olağan üretici işlevleri göstermektedir.

Artan k-binom dönüşümü zaman zaman

\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}j^{k}a_{j}

biçiminde, azalan k-binom dönüşümü

\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}j^{n-k}a_{j}

biçiminde tanımlanmaktadır. Her iki dönüşüm de eşittir.

Binom dönüşümü

\sum _{i=0}^{n}(-1)^{n-i}{\binom {n}{i}}a_{i}=b_{n}

olarak tanımlanır, bu ifade

${\mathfrak {J}}(a)_{n}=b_{n}$

işlevine eşitlenir, yeni bir tablosu oluşturulur ve bu tablonun her satırının ilk elemanından $\{b_{n}\}$ gibi yeni bir dizi oluşturulursa özgün dizinin ikinci binom dönüşümü

{\mathfrak {J}}^{2}(a)_{n}=\sum _{i=0}^{n}(-2)^{n-i}{\binom {n}{i}}a_{i}

ifadesine eşit olur.

Aynı işlem k kez yinelendiğinde

{\mathfrak {J}}^{k}(a)_{n}=b_{n}=\sum _{i=0}^{n}(-k)^{n-i}{\binom {n}{i}}a_{i}

eşitliğine ulaşılır. Bu ifadenin tersi

{\mathfrak {J}}^{-k}(b)_{n}=a_{n}=\sum _{i=0}^{n}k^{n-i}{\binom {n}{i}}b_{i}

olarak yazılır.

Bu ifadenin genel biçimi

{\mathfrak {J}}^{k}(a)_{n}=b_{n}=(\mathbf {E} -k)^{n}a_{0}

olarak yazılabilir. Burada $\mathbf {E}$ göstermektedir.

Bu ifadenin tersi

{\mathfrak {J}}^{-k}(b)_{n}=a_{n}=(\mathbf {E} +k)^{n}b_{0}

biçiminde gösterilir.

Ayrıca bakınız

Euler toplamı

Kaynakça

John H. Conway & Richard K. Guy, 1996, The Book of Numbers
Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming Cilt 3, (1973) Addison-Wesley, Reading, MA.
Helmut Prodinger, 1992, Some information about the Binomial transform12 Mart 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
Michael Z. Spivey & Laura L. Steil, 2006, The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform2 Nisan 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
Borisov B. & Shkodrov V., 2007, Divergent Series in the Generalized Binomial Transform, Adv. Stud. Cont. Math., 14 (1): 77-82

Dış bağlantılar

Binom Dönüşümü2 Nisan 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde .