Bottema teoremi, Hollandalı matematikçi (Groningen, 1901–1992) tarafından matematik literatürüne kazandırılmış olan düzlem geometride bir teoremdir.
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTgzTHpka0wwSnZkSFJsYldGZmRHaGxiM0psYlM1emRtY3ZNelV3Y0hndFFtOTBkR1Z0WVY5MGFHVnZjbVZ0TG5OMlp5NXdibWM9LnBuZw==.png)
Teoremin Açıklaması
Teorem şu şekilde ifade edilebilir; verilen herhangi bir üçgeninde, herhangi iki bitişik kenarda,
ve
, kareler oluşturulsun. Üçgenin iki kenarının ortak tepe noktası olan
’nin karşısındaki karelerin köşelerini birbirine bağlayan doğru parçasının ,
'nin konumundan bağımsızdır.
Teorem, kareler aşağıdaki yollardan biriyle oluşturulduğunda doğrudur:
- Şekle bakarak, sol alt köşe
'dan başlayarak, üçgen köşelerini saat yönünde takip edin ve üçgenin kenarlarının solundaki kareleri oluşturun.
- Üçgeni aynı şekilde takip edin ve üçgenin kenarlarının sağındaki kareleri oluşturun.
Teoremin İspatı
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTg1THprM0wwSnZkSFJsYldGZmRHaGxiM0psYlY5d2NtOXZaaTV3Ym1jdk16VXdjSGd0UW05MGRHVnRZVjkwYUdWdmNtVnRYM0J5YjI5bUxuQnVadz09LnBuZw==.png)
Benzerlikleri kullanarak ispat
olsun.
doğru parçası üzerine
,
,
ve
diklerini indirelim.
,
yamuğunun orta tabanıdır, bu nedenle;
'dir.
- Ayrıca,
dik olduğundan
ve
tümler açılardır ve bu da
ve
dik üçgenlerini benzer yapar.
- Benzerlikten faydalanarak;
ve
yazılabilir.
- Bu üç özdeşliği de dikkate alarak aşağıdaki eşitlik elde edilebilir:
- Buradan da
'den bağımsız olduğu görülür.
ve
olduğundan;
yazılabilir.
- Orta taban (midline) teoremine göre
'dir.
- Bu nedenle,
'dir.
- Bu,
'nin sabit olduğunu, çünkü
doğru parçasının orta noktasının "üstünde" sabit bir mesafede olduğunu gösterir.
- Bu,
Vektörler yoluyla ispat
- Orijinal şekli kullanalım ve
,
'nin orta noktası olsun.
olsun. Buna göre
olur.
olsun.
- Bu nedenle;
ve
'dir.
- Buradan kolayca,
ve
olduğunu gösterebiliriz.
olsun.
ve
eşitliklerine sahibiz.
- Sonuç olarak:
bulunur.
- Bu da
ve
uzunluğunun sadece
ve
'ye, yani
'nin uzunluğuna ve
oranına bağlı olduğunu, dolayısıyla
'nin yerinin gerçekten sabit olduğunu gösterir.
Konuyla ilgili yayınlar
- Sashalmi, É., & Hoffmann, M. (2004). Generalizations of Bottema’s theorem on pedal points. Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae, 31, Makale, ss. 25-31.
- Zvonko Cerin. (2009). Rings of Squares Around Orthologic Triangles. Makale 14 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., s. 1
- Nguyen Ngoc Giang. (2018). A New Proof and Some Generalizations of the Bottema Theorem. International Journal of Computer Discovered Mathematics (IJCDM), ISSN 2367-7775, Volume 3, 2018, Makale 25 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., ss. 49-54
Dış bağlantılar
- Bottema Teoremi: Nedir? 10 Ağustos 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
- Wolfram Gösterimleri Projesi - Bottema Teoremi 30 Eylül 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
- Geogebra - Bottema Teoremi 11 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
- Dynamic mathematics learning (Java Applet) 11 Şubat 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
- GoGeometry - Bottema Teoremi 29 Nisan 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
Ayrıca bakınız
Kaynaklar
- ^ Ceccarelli, M., (Ed.) (2007). "Oene Bottema (1901–1992)". Distinguished Figures in Mechanism and Machine Science. History of Mechanism and Machine Science. 1. Dordrecht: . ss. 61-68. doi:10.1007/978-1-4020-6366-4_3. ISBN .
- ^ Shriki (2011), Back to Treasure Island (İngilizce), 104 (9), ss. 658-664.
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Bottema teoremi Hollandali matematikci Groningen 1901 1992 tarafindan matematik literaturune kazandirilmis olan duzlem geometride bir teoremdir Bottema nin teoremi su sekildedir ABC textstyle ABC C textstyle C noktasinin degisken oldugu bir ucgen olsun Kareler AC textstyle AC ve BC textstyle BC ye disa dogru ilistirilirse bu karelerin C textstyle C nin zit noktalarinin segmentinin orta noktasi M textstyle M sabit bir nokta olacaktir Ozellikle bu AB textstyle AB ye ice dogru ilistirilmis karenin orta noktasidir Teoremin AciklamasiTeorem su sekilde ifade edilebilir verilen herhangi bir ABC textstyle ABC ucgeninde herhangi iki bitisik kenarda AC textstyle AC ve BC textstyle BC kareler olusturulsun Ucgenin iki kenarinin ortak tepe noktasi olan C textstyle C nin karsisindaki karelerin koselerini birbirine baglayan dogru parcasinin C textstyle C nin konumundan bagimsizdir Teorem kareler asagidaki yollardan biriyle olusturuldugunda dogrudur Sekle bakarak sol alt kose A textstyle A dan baslayarak ucgen koselerini saat yonunde takip edin ve ucgenin kenarlarinin solundaki kareleri olusturun Ucgeni ayni sekilde takip edin ve ucgenin kenarlarinin sagindaki kareleri olusturun Teoremin IspatiTeoremin ucgende benzerlikler kullanilarak ispati Benzerlikleri kullanarak ispat AHAG BIBD a textstyle frac AH AG frac BI BD alpha olsun AB textstyle AB dogru parcasi uzerine HL textstyle HL CX textstyle CX JK textstyle JK ve IM textstyle IM diklerini indirelim JK textstyle JK HLMI textstyle HLMI yamugunun orta tabanidir bu nedenle JK HL IM 2 textstyle JK frac HL IM 2 dir dd Ayrica HAC textstyle angle HAC dik oldugundan HAL textstyle angle HAL ve CAX textstyle angle CAX tumler acilardir ve bu da HAL textstyle triangle HAL ve ACX textstyle triangle ACX dik ucgenlerini benzer yapar Benzerlikten faydalanarak HL aAX textstyle HL alpha AX ve IM aBX textstyle IM alpha BX yazilabilir dd Bu uc ozdesligi de dikkate alarak asagidaki esitlik elde edilebilir JK HL IM 2 a2 AX BX a2AB aAK textstyle JK frac HL IM 2 frac alpha 2 AX BX frac alpha 2 AB alpha AK Buradan da C textstyle C den bagimsiz oldugu gorulur dd HAL ACX textstyle triangle HAL sim ACX ve IBM BCX textstyle triangle IBM sim triangle BCX oldugundan AL CX BM textstyle AL CX BM yazilabilir dd Orta taban midline teoremine gore LK KM textstyle LK KM dir Bu nedenle AK LK AL KM BM KB textstyle AK LK AL KM BM KB dir Bu J textstyle J nin sabit oldugunu cunku AB textstyle AB dogru parcasinin orta noktasinin ustunde sabit bir mesafede oldugunu gosterir dd Vektorler yoluyla ispat Orijinal sekli kullanalim ve O textstyle O AB textstyle AB nin orta noktasi olsun OB ai textstyle overrightarrow OB a hat i olsun Buna gore OA ai textstyle overrightarrow OA a hat i olur OC bi cj textstyle overrightarrow OC b hat i c hat j olsun Bu nedenle AC a b i cj textstyle overrightarrow AC a b hat i c hat j ve BC a b i cj textstyle overrightarrow BC a b hat i c hat j dir Buradan kolayca AE ci a b j textstyle overrightarrow AE c hat i a b hat j ve BD ci a b j textstyle overrightarrow BD c hat i a b hat j oldugunu gosterebiliriz AFAE BGBD k textstyle frac AF AE frac BG BD k olsun AF kci k a b j textstyle overrightarrow AF kc hat i k a b hat j ve BG kci k a b j textstyle overrightarrow BG kc hat i k a b hat j esitliklerine sahibiz Sonuc olarak OH 12 OF OG textstyle overrightarrow OH frac 1 2 overrightarrow OF overrightarrow OG 12 OA AF OB BG textstyle frac 1 2 overrightarrow OA overrightarrow AF overrightarrow OB overrightarrow BG 12 ai kci k a b j ai kci k a b j textstyle frac 1 2 a hat i kc hat i k a b hat j a hat i kc hat i k a b hat j k2 a b a b j textstyle frac k 2 a b a b hat j kaj textstyle ka hat j bulunur dd Bu da OH AB textstyle OH perp AB ve OH textstyle OH uzunlugunun sadece a textstyle a ve k textstyle k ye yani AB textstyle AB nin uzunluguna ve k textstyle k oranina bagli oldugunu dolayisiyla H textstyle H nin yerinin gercekten sabit oldugunu gosterir Konuyla ilgili yayinlarSashalmi E amp Hoffmann M 2004 Generalizations of Bottema s theorem on pedal points Acta Acad Paed Agriensis Sectio Mathematicae 31 Makale ss 25 31 Zvonko Cerin 2009 Rings of Squares Around Orthologic Triangles Makale 14 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arsivlendi s 1 Nguyen Ngoc Giang 2018 A New Proof and Some Generalizations of the Bottema Theorem International Journal of Computer Discovered Mathematics IJCDM ISSN 2367 7775 Volume 3 2018 Makale 25 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arsivlendi ss 49 54Dis baglantilarBottema Teoremi Nedir 10 Agustos 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arsivlendi Wolfram Gosterimleri Projesi Bottema Teoremi 30 Eylul 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arsivlendi Geogebra Bottema Teoremi 11 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arsivlendi Dynamic mathematics learning Java Applet 11 Subat 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arsivlendi GoGeometry Bottema Teoremi 29 Nisan 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arsivlendi Ayrica bakinizNapoleon teoremiKaynaklar Ceccarelli M Ed 2007 Oene Bottema 1901 1992 Distinguished Figures in Mechanism and Machine Science History of Mechanism and Machine Science 1 Dordrecht Springer ss 61 68 doi 10 1007 978 1 4020 6366 4 3 ISBN 978 1 4020 6365 7 Shriki 2011 Back to Treasure Island Ingilizce 104 9 ss 658 664