
Cauchy dizisi tanımı
bir gerçel sayı dizisi olsun. Eğer her
için,
eşitsizliğinin her
(
) için sağlandığı bir
göstergeci varsa,
dizisine Cauchy dizisi denir.
Cauchy dizisi ile ilgili teoremler
Her yakınsak dizi Cauchy dizisidir
İspat:
yakınsak bir gerçel sayı dizisi ve
herhangi bir pozitif gerçel sayı olsun. Dizinin limitine
diyelim. Demek ki, öyle bir
doğal sayısı vardır ki, her
için,
olur. Dolayısıyla,
için,
olur ve kanıt biter
.
Her Cauchy dizisi sınırlıdır
İspat:
bir Cauchy dizisi olsun. Tanımdaki
'u,
seçelim. Demek ki, öyle bir
göstergeci vardır ki, her
için,
olur. Demek ki, her
için,
olur; bir başka deyişle,
olur.
ve
diye tanımlayalım.
O zaman, her için, olur ve ispat biter
.
Bir Cauchy dizisinin her altdizisi Cauchy'dir
İspat:
, bir Cauchy dizisi,
dizisi de bu dizinin altdizisi olsun.
herhangi bir sayı olsun.Öyle bir
var ki, her
için,
dir.
Eğer ise
ve
olduğundan,
olur.
.
Bir Cauchy dizisinin bir altdizisi yakınsaksa dizinin kendisi de yakınsaktır ve her iki dizi de aynı limite yakınsar
İspat:
Cauchy dizisi olsun ve
bu dizinin altdizisi olsun. Teoremde belirtildiği üzere bu altdizi yakınsakmış (diyelim ki "
" ya yakınsasın), tanımı yazarsak,
ve
için
önermesi doğrudur. Kanıtlamak istediğimiz
için
önermesi olduğundan bu önermeyi açalım;
2. ifade altdizinin tanımından dolayı 'den küçüktür,
1. ifade ise, olduğundan bir Cauchy dizisidir ve
olarak doğrudur.
İspatlamak istediğimiz ifadeyi tekrar yazarsak,
ve
için
ve ispat biter .
Her Cauchy dizisinin
'de bir limiti vardır
İspat: verilmiş bir Cauchy dizisi olsun.(Yukarıdaki teoremleri ve verilen kaynaklardaki teoremleri kullanarak.)
'nin monoton bir
altdizisi bulunur.
bir Cauchy dizisi olduğundan sınırlıdır. Demek ki
altdizisi de sınırlıdır.
- Monoton ve sınırlı olduğundan,
dizisi yakınsaktır.
maddelerden,
dizisinin yakınsak olduğu görülür.
Dolayısıyla, tamdır ve ispat biter.
.
Formal ispat:
'de (hatta metrik uzaylarda) yakınsak her dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu göstermek kolay. Bu yüzden
'deki herhangi bir Cauchy dizisinin yakınsak olduğunu gösterirsek ispat biter. Burada gerçel sayılar kümesi üzerinde alışılmış metriğin olduğunu varsayıyoruz. Farklı metrikler söz konusu olduğunda iddia doğru olmayabilir.
'de bir Cauchy dizisi ve
olsun.
Kaynakça
- ^ Analiz I - Ali Nesin,7.bölüm 10. teorem (7.10)http://www.acikders.org.tr/course/view.php?id=22 11 Ocak 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- ^ Analiz I - Ali Nesin,7.bölüm Sonuç 4 (7.4)http://www.acikders.org.tr/course/view.php?id=22 11 Ocak 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- ^ Analiz I - Ali Nesin,8.bölüm 4. teorem (8.4)http://www.acikders.org.tr/pluginfile.php/4194/mod_resource/content/2/hafta_7.pdf 25 Mart 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
Dipnotlar
Apostol-Mathematical_Analysis[Tom_M.Apostol] Second_Edition.
Temel Analiz(Analiz I(Bir))-[Ali Nesin]
http://matkafasi.com/20940/ustten-sinirli-ve-artan-bir-dizinin-limiti-vardir 16 Nisan 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
http://matkafasi.com/106636/dizisinin-mathbb-limiti-vardir-yakinsak-cauchy-dizisidir 31 Temmuz 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Augustin CauchyCauchy dizisi tanimi xn n displaystyle x n n bir gercel sayi dizisi olsun Eger her ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 icin xn xm lt ϵ displaystyle x n x m lt epsilon esitsizliginin her n m gt N displaystyle n m gt N N N displaystyle N in mathbb N icin saglandigi bir N displaystyle N gostergeci varsa xn n displaystyle x n n dizisine Cauchy dizisi denir Cauchy dizisi ile ilgili teoremlerHer yakinsak dizi Cauchy dizisidir Ispat xn n displaystyle x n n yakinsak bir gercel sayi dizisi ve ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 herhangi bir pozitif gercel sayi olsun Dizinin limitine a displaystyle a diyelim Demek ki oyle bir N displaystyle N dogal sayisi vardir ki her n gt N displaystyle n gt N icin xn a lt ϵ2 displaystyle x n a lt dfrac epsilon 2 olur Dolayisiyla n m gt N displaystyle n m gt N icin xn xm xn a xm a xn a xm a lt ϵ2 ϵ2 ϵ displaystyle x n x m x n a x m a leq x n a x m a lt dfrac epsilon 2 dfrac epsilon 2 epsilon olur ve kanit biter displaystyle Box Her Cauchy dizisi sinirlidir Ispat xn n displaystyle x n n bir Cauchy dizisi olsun Tanimdaki ϵ displaystyle epsilon u ϵ 1 displaystyle epsilon 1 secelim Demek ki oyle bir N displaystyle N gostergeci vardir ki her n m gt N displaystyle n m gt N icin xn xm lt 1 displaystyle x n x m lt 1 olur Demek ki her n gt N displaystyle n gt N icin xn xN 1 displaystyle x n x N 1 olur bir baska deyisle xN 1 1 lt xn lt xN 1 1 displaystyle x N 1 1 lt x n lt x N 1 1 olur b max x0 x1 xN xN 1 1 displaystyle b max x 0 x 1 x N x N 1 1 ve a min x0 x1 xN xN 1 1 displaystyle a min x 0 x 1 x N x N 1 1 diye tanimlayalim O zaman her icin a lt xn lt b displaystyle a lt x n lt b olur ve ispat biter displaystyle Box Bir Cauchy dizisinin her altdizisi Cauchy dir Ispat xn n displaystyle x n n bir Cauchy dizisi xnk k displaystyle x n k k dizisi de bu dizinin altdizisi olsun ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 herhangi bir sayi olsun Oyle bir N displaystyle N var ki her n m gt N displaystyle n m gt N icin xn xm lt ϵ displaystyle x n x m lt epsilon dir Eger k l gt N displaystyle k l gt N ise N lt k nk displaystyle N lt k leq n k ve N lt l nl displaystyle N lt l leq n l oldugundan xnk xnl lt ϵ displaystyle x n k x n l lt epsilon olur displaystyle Box Bir Cauchy dizisinin bir altdizisi yakinsaksa dizinin kendisi de yakinsaktir ve her iki dizi de ayni limite yakinsar Ispat xn n displaystyle x n n Cauchy dizisi olsun ve xnk k displaystyle x n k k bu dizinin altdizisi olsun Teoremde belirtildigi uzere bu altdizi yakinsakmis diyelim ki a R displaystyle a in mathbb R ya yakinsasin tanimi yazarsak nk k gt N displaystyle n k k gt N ve ϵ gt 0 displaystyle forall epsilon gt 0 icin xnk a lt ϵ 2 displaystyle x n k a lt epsilon 2 onermesi dogrudur Kanitlamak istedigimiz ϵ gt 0 displaystyle forall epsilon gt 0 icin xn a lt ϵ displaystyle x n a lt epsilon onermesi oldugundan bu onermeyi acalim xn a xn xnk xnk a xn xnk 1 xnk a 2 displaystyle x n a x n x n k x n k a leq underbrace x n x n k 1 underbrace x n k a 2 2 ifade altdizinin tanimindan dolayi ϵ 2 displaystyle epsilon 2 den kucuktur 1 ifade ise nk gt n gt N displaystyle n k gt n gt N oldugundan bir Cauchy dizisidir ve xn xnk lt ϵ 2 displaystyle x n x n k lt epsilon 2 olarak dogrudur Ispatlamak istedigimiz ifadeyi tekrar yazarsak nk gt n gt N displaystyle n k gt n gt N ve ϵ gt 0 displaystyle forall epsilon gt 0 icin xn a xn xnk xnk a lt ϵ 2 ϵ 2 ϵ displaystyle x n a leq x n x n k x n k a lt epsilon 2 epsilon 2 epsilon ve ispat biter displaystyle Box Her Cauchy dizisinin R displaystyle mathbb R de bir limiti vardir Ispat xn n displaystyle x n n verilmis bir Cauchy dizisi olsun Yukaridaki teoremleri ve verilen kaynaklardaki teoremleri kullanarak xn n displaystyle x n n nin monoton bir yn n displaystyle y n n altdizisi bulunur xn n displaystyle x n n bir Cauchy dizisi oldugundan sinirlidir Demek ki yn n displaystyle y n n altdizisi de sinirlidir Monoton ve sinirli oldugundan yn n displaystyle y n n dizisi yakinsaktir 1 2 3 displaystyle 1 2 3 maddelerden xn n displaystyle x n n dizisinin yakinsak oldugu gorulur Dolayisiyla R displaystyle mathbb R tamdir ve ispat biter displaystyle Box Formal ispat R displaystyle mathbb R de hatta metrik uzaylarda yakinsak her dizinin bir Cauchy dizisi oldugunu gostermek kolay Bu yuzden R displaystyle mathbb R deki herhangi bir Cauchy dizisinin yakinsak oldugunu gosterirsek ispat biter Burada gercel sayilar kumesi uzerinde alisilmis metrigin oldugunu varsayiyoruz Farkli metrikler soz konusu oldugunda iddia dogru olmayabilir xn n R displaystyle x n n mathbb R de bir Cauchy dizisi ve ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 olsun xn n RN Cauchy dizisiϵ gt 0 N ϵ N n m N ϵ xn xm lt ϵ2 displaystyle left begin array rr x n n in mathbb R N text Cauchy dizisi epsilon gt 0 end array right Rightarrow exists N epsilon in mathbb N forall n m geq N epsilon left x n x m lt frac epsilon 2 right N ϵ N n N ϵ xn xN ϵ lt ϵ2 displaystyle Rightarrow exists N epsilon in mathbb N forall n geq N epsilon left x n x N epsilon lt dfrac epsilon 2 right N ϵ N n N ϵ xN ϵ ϵ2 lt xn lt xN ϵ ϵ2 displaystyle Rightarrow exists N epsilon in mathbb N forall n geq N epsilon left x N epsilon dfrac epsilon 2 lt x n lt x N epsilon dfrac epsilon 2 right N ϵ N n N ϵ xn A xN ϵ ϵ2 xN ϵ ϵ2 displaystyle Rightarrow exists N epsilon in mathbb N forall n geq N epsilon left x n in A left x N epsilon dfrac epsilon 2 x N epsilon dfrac epsilon 2 right right N ϵ N n N ϵ xn BN xN ϵ xN ϵ 1 xN ϵ 2 A displaystyle Rightarrow exists N epsilon in mathbb N forall n geq N epsilon left x n in B N left x N epsilon x N epsilon 1 x N epsilon 2 right subseteq A right N ϵ N n N ϵ BN ℵ0 xN ϵ ϵ2 BNl xN ϵ ϵ2 BNu displaystyle Rightarrow exists N epsilon in mathbb N forall n geq N epsilon B N leq aleph 0 left x N epsilon dfrac epsilon 2 in B N l neq emptyset right left x N epsilon dfrac epsilon 2 in B N u neq emptyset right N ϵ N n N ϵ x R x supBN xN ϵ ϵ2 x xN ϵ ϵ2 displaystyle Rightarrow exists N epsilon in mathbb N forall n geq N epsilon exists x in mathbb R x sup B N left x N epsilon dfrac epsilon 2 leq x leq x N epsilon dfrac epsilon 2 right N ϵ N n N ϵ x xN ϵ ϵ2 displaystyle Rightarrow exists N epsilon in mathbb N forall n geq N epsilon left x x N epsilon leq dfrac epsilon 2 right N ϵ N n N ϵ xn x xn xN ϵ xN ϵ x lt ϵ2 ϵ2 ϵ displaystyle Rightarrow exists N epsilon in mathbb N forall n geq N epsilon left x n x leq x n x N epsilon x N epsilon x lt dfrac epsilon 2 dfrac epsilon 2 epsilon right displaystyle Box Kaynakca Analiz I Ali Nesin 7 bolum 10 teorem 7 10 http www acikders org tr course view php id 22 11 Ocak 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde Analiz I Ali Nesin 7 bolum Sonuc 4 7 4 http www acikders org tr course view php id 22 11 Ocak 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde Analiz I Ali Nesin 8 bolum 4 teorem 8 4 http www acikders org tr pluginfile php 4194 mod resource content 2 hafta 7 pdf 25 Mart 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde DipnotlarApostol Mathematical Analysis Tom M Apostol Second Edition Temel Analiz Analiz I Bir Ali Nesin http matkafasi com 20940 ustten sinirli ve artan bir dizinin limiti vardir 16 Nisan 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde http matkafasi com 106636 dizisinin mathbb limiti vardir yakinsak cauchy dizisidir 31 Temmuz 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde