Bu gelişebilmesi için alakalı konuda uzman kişilere gereksinim duyulmaktadır. |
Matematik ve fizikte Elwin Bruno Christoffel'in adına atfedilen Christoffel sembolleri eğri uzaylardaki metrik farkı düzenler.Daha basit bir biçimde anlatmaya çalışırsak bir vektörü gösterdiğimiz kartezyen koordinat sistemi gibi düz koordinatlarda vektörün bileşenlerini temsil eden baz vektörler kendi eksenlerine dik olduğu için türevleri sıfıra eşittir. Fakat eğri bir uzayda baz vektörler de değişir yani türevlenir. İşte bu türev işlemi Yunan alfabesinden harfi ile temsil edilmektedir. Christoffel sembollerinin fizikte birçok uygulaması vardır. Bunlardan en önemlisi Einstein alan denklemlerinde kullanılmasıdır.
Ön Hazırlık
koordinatlarından oluşan için M üzerine n boyutlu bir manifold verilsin. O halde baz vektörler:
Baz vektörleri tanımladığımıza göre metrik tensörü inşa edebiliriz:
ve onun tersi:
Kovaryant baz vektörünü şu biçimde de yazabiliriz:
Bazı kaynaklarda yerine yazabilir.İkisi de aynı şeyi temsil eder.
Öklit Uzayında Gösterimi
Öklit uzayında Cristoffel sembollerinin genel ifadesi dışında 2. gösterim türü aşağıda verilmiştir:
(Burada Einstein toplama kuralı kullanılmıştır.)
Christoffel sembollerinin ilk türü ise indislerin düşmesi ile açıklanabilir:
Ve şu durumu görebiliriz:
Demek istediğimizi sözlü olarak açıklarsak Christoffel sembolleri tarafından temsil edilen baz vektörlerin noktadan noktaya nasıl değiştiğini izler. 2. türdeki semboller değişimi tek baz vektöre göre ayrıştırırken 1. türdekiler onu iki baz vektöre göre ayrıştırır. 2 tür sembollerde de bir şart dahilinde simetri vardır:
ise
ve olur.
Sebebi:
ve o halde:
Genel Gösterim
ve sebebi.:
Biliyoruz ki ve , o halde:
Baz vektörleri içeri alıp Christoffel sembolünü dışarı çıkartırsak amacımıza ulaşmış oluruz:
ve olduğuna göre
olacaktır.
Aynı şekilde
ve
Fark ettiyseniz her ikisinden birisi birbirinin simetriğidir.
simetrik olduğu için:
= dolayısıyla:
2'yi karşıya attığımızda
Uygulamaları
Genel görelilikte
Christoffel sembolleri Einstein'ın genel görelilik teorisinde kendine sıkça kullanım alanı bulmuştur. Genel görelilikte uzayzaman, 4 boyutlu eğri bir Lorentz manifoldu olarak tasvir edilmiştir. Genel göreliliğin matematiksel kalbi olan Einstein alan denklemleri ise, uzayzamanın geometrisi ile madde arasındaki ilişkiyi göstermektedir. Uzayın geometrisini hesaplamak için Ricci tensörü kullanılır ki,bu tensörü hesaplamak için Christoffel sembollerini hesaba katmak esastır. Bu konuda önce uzayın geometrisi belirlenir, daha sonra madde ve ışığın uzayda nasıl bir yol izleyeceğini, Christoffel sembollerinin de yardım ettiği bir jeodezik denklem ile hesaplanır.
Einstein alan denklemleri şu şekilde yazılır:
Christoffel sembollerini burada göremesekte aslında Riemann eğrilik tensörünün özel bir hali olan Ricci tensörünün içinde mevcuttur:
Silindirik koordinatlar için örneği
denklemi silindirik koordinatların denklemidir.3 boyutlu silindirik koordinat sisteminde kartezyen koordinat cinsinden metrikleri yazdığımızda:
Silindirik koordinatların metrik tensörünü hesaplamak için denklemin birim vektörlerini hesap edersek:
Ana Madde:Metrik Tensör
Metrik tensörü yazdığımızda,
Şimdi bileşenlerini tek tek hesap edelim.
Not=Kartezyen koordinat sisteminde metrik tensör:
Sonunda silindirik koordinatlar için metrik tensörü elde ettik.
Şimdi silindirik koordinatlar için Christoffel sembollerini hesap edeceğiz.
Baştaki kanıtlardan şu özdeşliği hesap etmiştik;
ve baz vektörü sembolün yanına yazıp satır matris formunda gösterdiğimizde:
Christoffel sembollerinin aslında tensör olmadığını sadece baz vektörlerin türevlerinin bileşenleri olduğunu görürüz.
Birim vektörlerin terslerini de şöyle hesap edebiliriz:
Örneğin şöyle hesaplanabilir.
Diğerlerini hesaplamak çok uzun süreceğinden direk diğer değerleri yazalım.
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Bu gelisebilmesi icin alakali konuda uzman kisilere gereksinim duyulmaktadir Ayrintilar icin lutfen tartisma sayfasini inceleyin veya yeni bir tartisma baslatin Konu hakkinda uzman birini bulmaya yardimci olarak ya da maddeye gerekli bilgileri ekleyerek Vikipedi ye katkida bulunabilirsiniz Matematik ve fizikte Elwin Bruno Christoffel in adina atfedilen Christoffel sembolleri egri uzaylardaki metrik farki duzenler Daha basit bir bicimde anlatmaya calisirsak bir vektoru gosterdigimiz kartezyen koordinat sistemi gibi duz koordinatlarda vektorun bilesenlerini temsil eden baz vektorler kendi eksenlerine dik oldugu icin turevleri sifira esittir Fakat egri bir uzayda baz vektorler de degisir yani turevlenir Iste bu turev islemi Yunan alfabesinden G displaystyle Gamma harfi ile temsil edilmektedir Christoffel sembollerinin fizikte bircok uygulamasi vardir Bunlardan en onemlisi Einstein alan denklemlerinde kullanilmasidir On Hazirlikxi displaystyle x i koordinatlarindan olusan i 1 2 3 n displaystyle i 1 2 3 n icin M uzerine n boyutlu bir manifold verilsin O halde baz vektorler ei displaystyle e i xi i i 1 2 n displaystyle partial over partial x i partial i i 1 2 n Baz vektorleri tanimladigimiza gore metrik tensoru insa edebiliriz gij ei ej displaystyle g ij e i otimes e j ve onun tersi gij 1gij displaystyle g ij 1 over g ij Kovaryant baz vektorunu su bicimde de yazabiliriz ej ejgji displaystyle e j e j g ji i 1 2 n displaystyle i 1 2 n Bazi kaynaklarda ei displaystyle e i yerine gi displaystyle g i yazabilir Ikisi de ayni seyi temsil eder Oklit Uzayinda GosterimiOklit uzayinda Cristoffel sembollerinin genel ifadesi disinda 2 gosterim turu asagida verilmistir Gijk ei xjek displaystyle Gamma ij k partial e i over partial x j e k ei xj gkmem displaystyle partial e i over partial x j g km e m Burada Einstein toplama kurali kullanilmistir Christoffel sembollerinin ilk turu ise indislerin dusmesi ile aciklanabilir Gkij Gijmgmk ei xj em gmk displaystyle Gamma kij Gamma ij m g mk partial e i over partial x j e m g mk ei xj ek displaystyle partial e i over partial x j e k Ve su durumu gorebiliriz ei xj Gijk ek Gijk ek displaystyle partial e i over partial x j Gamma ij k e k Gamma ijk e k Demek istedigimizi sozlu olarak aciklarsak Christoffel sembolleri tarafindan temsil edilen baz vektorlerin noktadan noktaya nasil degistigini izler 2 turdeki semboller degisimi tek baz vektore gore ayristirirken 1 turdekiler onu iki baz vektore gore ayristirir 2 tur sembollerde de bir sart dahilinde simetri vardir gij gji displaystyle g ij g ji ise Gijk Gjik displaystyle Gamma ij k Gamma ji k ve Gkij Gkji displaystyle Gamma kij Gamma kji olur Sebebi gij ei ej xi xj displaystyle g ij e i otimes e j partial over partial x i otimes partial over partial x j gji ej ei xj xi displaystyle g ji e j otimes e i partial over partial x j otimes partial over partial x i ej xi xi ej displaystyle partial e j over partial x i partial over partial x i e j xi xj xj displaystyle partial over partial x i partial over partial x j partial over partial x j xi xj ei displaystyle partial over partial x i partial over partial x j e i ei xj displaystyle partial e i over partial x j ej xi Gijkek displaystyle partial e j over partial x i Gamma ij k e k ve ei xj Gjikek displaystyle partial e i over partial x j Gamma ji k e k o halde Gijk Gjik displaystyle Gamma ij k Gamma ji k Genel GosterimGcab gcdGabd displaystyle Gamma cab g cd Gamma ab d ve Gcab 12 gca xb gcb xa displaystyle Gamma cab 1 over 2 partial g ca over partial x b partial g cb over partial x a gab xc displaystyle partial g ab over partial x c sebebi gca xb displaystyle partial g ca over partial x b xb ec ea ec xbea displaystyle partial over partial x b e c otimes e a partial e c over partial x b e a ec ea xb displaystyle e c partial e a over partial x b Biliyoruz ki ec xb Gcbd ed displaystyle partial e c over partial x b Gamma cb d e d ve ea xb Gabd ed displaystyle partial e a over partial x b Gamma ab d e d o halde gca xb Gcbd ed ea ec Gabd ed displaystyle partial g ca over partial x b Gamma cb d e d e a e c Gamma ab d e d Baz vektorleri iceri alip Christoffel sembolunu disari cikartirsak amacimiza ulasmis oluruz gca xb ea ed Gcbd ec ed Gabd displaystyle partial g ca over partial x b e a e d Gamma cb d e c e d Gamma ab d ea ed gad displaystyle e a e d g ad ve ec ed gcd displaystyle e c e d g cd olduguna gore gca xb gadGcbd gcdGabd displaystyle partial g ca over partial x b g ad Gamma cb d g cd Gamma ab d olacaktir Ayni sekilde ve gcb xa Gcadgbd Gbadgdc displaystyle partial g cb over partial x a Gamma ca d g bd Gamma ba d g dc gab xc Gacdgdb Gbcdgad displaystyle partial g ab over partial x c Gamma ac d g db Gamma bc d g ad Fark ettiyseniz her ikisinden birisi birbirinin simetrigidir gca xb gbc xa displaystyle partial g ca over partial x b partial g bc over partial x a gab xc displaystyle partial g ab over partial x c gadGcbd gcdGabd displaystyle g ad Gamma cb d g cd Gamma ab d Gcadgbd Gbadgdc displaystyle Gamma ca d g bd Gamma ba d g dc Gacdgdb Gbcdgad displaystyle Gamma ac d g db Gamma bc d g ad simetrik oldugu icin Gbadgdc Gabdgdc 2Gbadgdc displaystyle Gamma ba d g dc Gamma ab d g dc 2 Gamma ba d g dc dolayisiyla gca xb gbc xa displaystyle partial g ca over partial x b partial g bc over partial x a gab xc displaystyle partial g ab over partial x c 2Gabdgcd displaystyle 2 Gamma ab d g cd 2 yi karsiya attigimizda 12 gca xb gcb xa displaystyle 1 over 2 partial g ca over partial x b partial g cb over partial x a gab xc Gabdgcd Gcab displaystyle partial g ab over partial x c Gamma ab d g cd Gamma cab UygulamalariGenel gorelilikte Christoffel sembolleri Einstein in genel gorelilik teorisinde kendine sikca kullanim alani bulmustur Genel gorelilikte uzayzaman 4 boyutlu egri bir Lorentz manifoldu olarak tasvir edilmistir Genel goreliligin matematiksel kalbi olan Einstein alan denklemleri ise uzayzamanin geometrisi ile madde arasindaki iliskiyi gostermektedir Uzayin geometrisini hesaplamak icin Ricci tensoru kullanilir ki bu tensoru hesaplamak icin Christoffel sembollerini hesaba katmak esastir Bu konuda once uzayin geometrisi belirlenir daha sonra madde ve isigin uzayda nasil bir yol izleyecegini Christoffel sembollerinin de yardim ettigi bir jeodezik denklem ile hesaplanir Einstein alan denklemleri su sekilde yazilir Rij Rgij2 gijL 8pGc4Tij displaystyle R ij Rg ij over 2 g ij Lambda 8 pi G over c 4 T ij Christoffel sembollerini burada goremesekte aslinda Riemann egrilik tensorunun ozel bir hali olan Ricci tensorunun icinde mevcuttur Rij xjGill xlGijl displaystyle R ij partial over partial x j Gamma il l partial over partial x l Gamma ij l GjplGilp GlplGijp displaystyle Gamma jp l Gamma il p Gamma lp l Gamma ij p Silindirik koordinatlar icin ornegi Y r 8 z r cos 8 e1 r sin 8 e2 z e3 displaystyle Upsilon r theta z r cos theta e 1 r sin theta e 2 z e 3 denklemi silindirik koordinatlarin denklemidir 3 boyutlu silindirik koordinat sisteminde kartezyen koordinat cinsinden metrikleri yazdigimizda x r cos 8 displaystyle x r cos theta y r sin 8 displaystyle y r sin theta z z displaystyle z z Silindirik koordinatlarin metrik tensorunu hesaplamak icin denklemin birim vektorlerini hesap edersek Y r er cos 8 e1 sin 8 e2 displaystyle partial Upsilon over partial r e r cos theta e 1 sin theta e 2 Y 8 e8 r sin 8 e1 r cos 8 e2 displaystyle partial Upsilon over partial theta e theta r sin theta e 1 r cos theta e 2 Y z ez e3 displaystyle partial Upsilon over partial z e z e 3 Ana Madde Metrik Tensor gij Y xi Y xj ei ej displaystyle g ij partial Upsilon over partial x i otimes partial Upsilon over partial x j e i otimes e j i j r 8 z displaystyle i j r theta z Metrik tensoru yazdigimizda gij grrgr8grzg8rg88g8zgzrgz8gzz displaystyle g ij begin bmatrix g rr amp g r theta amp g rz g theta r amp g theta theta amp g theta z g zr amp g z theta amp g zz end bmatrix Simdi bilesenlerini tek tek hesap edelim Not Kartezyen koordinat sisteminde metrik tensor gij 1 eger i j0 eger i j displaystyle g ij begin cases 1 amp text eger i j 0 amp text eger i neq j end cases grr er er cos 8 e1 sin 8 e2 cos 8 e1 sin 8 e2 cos2 8 sin2 8 1 displaystyle g rr e r e r cos theta e 1 sin theta e 2 cos theta e 1 sin theta e 2 cos 2 theta sin 2 theta 1 gr8 er e8 cos 8 e1 sin 8 e2 r sin 8 e1 r cos 8 e2 cos 8 rsin 8 displaystyle g r theta e r e theta cos theta e 1 sin theta e 2 r sin theta e 1 r cos theta e 2 cos theta rsin theta cos 8 r sin 8 0 displaystyle cos theta r sin theta 0 grz er ez cos 8 e1 sin 8 e2 e3 0 displaystyle g rz e r e z cos theta e 1 sin theta e 2 e 3 0 g8r e8 er r sin 8 e1 r cos 8 e2 cos 8 e1 sin 8 e2 0 displaystyle g theta r e theta e r r sin theta e 1 r cos theta e 2 cos theta e 1 sin theta e 2 0 g88 r sin 8 e1 r cos 8 e2 rsin 8 e1 r cos 8 e2 r2 sin2 8 cos2 8 r2 displaystyle g theta theta r sin theta e 1 r cos theta e 2 rsin theta e 1 r cos theta e 2 r 2 sin 2 theta cos 2 theta r 2 g8z e8 ez r sin 8 e1 r cos 8 e2 e3 0 displaystyle g theta z e theta e z r sin theta e 1 r cos theta e 2 e 3 0 gzr ez er cos 8 e1 sin 8 e2 e3 0 displaystyle g zr e z e r cos theta e 1 sin theta e 2 e 3 0 gz8 ez e8 r sin 8 e1 r cos 8 e2 e3 0 displaystyle g z theta e z e theta r sin theta e 1 r cos theta e 2 e 3 0 gzz ez ez e3 e3 1 displaystyle g zz e z e z e 3 e 3 1 Sonunda silindirik koordinatlar icin metrik tensoru elde ettik gij 1000r20001 displaystyle g ij begin bmatrix 1 amp 0 amp 0 0 amp r 2 amp 0 0 amp 0 amp 1 end bmatrix Simdi silindirik koordinatlar icin Christoffel sembollerini hesap edecegiz Bastaki kanitlardan su ozdesligi hesap etmistik Gijk ei xjek displaystyle Gamma ij k partial e i over partial x j e k ve baz vektoru sembolun yanina yazip satir matris formunda gosterdigimizde ei xj Gijk ek Gijr Gij8 Gijz displaystyle partial e i over partial x j Gamma ij k e k Gamma ij r Gamma ij theta Gamma ij z Christoffel sembollerinin aslinda tensor olmadigini sadece baz vektorlerin turevlerinin bilesenleri oldugunu goruruz Birim vektorlerin terslerini de soyle hesap edebiliriz er 1 er 1 cos 8 e1 sin 8 e2 displaystyle e r 1 e r 1 cos theta e 1 sin theta e 2 Ornegin G88r displaystyle Gamma theta theta r soyle hesaplanabilir G88r e8 x8 er x8 r cos 8 e1 r sin 8 e2 displaystyle Gamma theta theta r partial e theta over partial x theta e r partial over partial x theta r cos theta e 1 r sin theta e 2 G88r r cos 8 e1 r sin 8 e2 cos 8 e1 sin 8 e2 r displaystyle Gamma theta theta r r cos theta e 1 r sin theta e 2 cos theta e 1 sin theta e 2 r Digerlerini hesaplamak cok uzun sureceginden direk diger degerleri yazalim GrrrG8rrGzrrGrr8G8r8Gzr8GrrzG8rzGzrz displaystyle begin bmatrix Gamma rr r amp Gamma theta r r amp Gamma zr r Gamma rr theta amp Gamma theta r theta amp Gamma zr theta Gamma rr z amp Gamma theta r z amp Gamma zr z end bmatrix 0000r0000 displaystyle begin bmatrix 0 amp 0 amp 0 0 amp r amp 0 0 amp 0 amp 0 end bmatrix Gr8rG88rGzrrGr88G888Gz88Gr8zG88zGz8z displaystyle begin bmatrix Gamma r theta r amp Gamma theta theta r amp Gamma zr r Gamma r theta theta amp Gamma theta theta theta amp Gamma z theta theta Gamma r theta z amp Gamma theta theta z amp Gamma z theta z end bmatrix 1 r01 r10000 displaystyle begin bmatrix 1 amp r amp 0 1 r amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 0 end bmatrix GrzrG8zrGzzrGrz8G8z8Gzz8GrzzG8zzGzzz displaystyle begin bmatrix Gamma rz r amp Gamma theta z r amp Gamma zz r Gamma rz theta amp Gamma theta z theta amp Gamma zz theta Gamma rz z amp Gamma theta z z amp Gamma zz z end bmatrix 000000000 displaystyle begin bmatrix 0 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 0 end bmatrix