Eşdeğerlik ilişkisi

Bağıntıda yansıma, simetri ve geçişme özelliği varsa bu bağıntı denklik bağıntısıdır.

Tanım ve özellikler

Bir kümede tanımlı yansıyan, simetrik ve geçişken bağıntı. Başka bir deyişle, ${\displaystyle \sim \ \subseteq A\times A}$ bağıntısı her ${\displaystyle x,y,z\in A}$ için

• ${\displaystyle x\sim x}$
• ${\displaystyle x\sim y\Leftrightarrow y\sim x}$
• ${\displaystyle x\sim y,y\sim z\Rightarrow x\sim z}$ özelliklerini sağlamalıdır.

Denklik bağıntısı, tanımlı olduğu kümeyi adı verilen altkümelere ayırır. denklik sınıfı tanım itibarıyla ya eştir ya da kesişimleri boş kümedir.

Örnekler

1. Tam sayılar kümesinde tanımlanmış ${\displaystyle x\sim y:\Leftrightarrow 4\ |\ x-y}$ bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. "İkinci bileşenle birincinin farkı 4'e tam bölünebilir" anlamına gelen bu bağıntı yukarıdaki özellikleri sağlar (her ${\displaystyle x}$ tam sayısı için ${\displaystyle x-x=0}$'dır ve 0, 4'e bölünebilir; ${\displaystyle y-x}$ 4'e bölünebilirse ${\displaystyle x-y}$ de bölünebilir; son olarak ${\displaystyle y-x}$ ve ${\displaystyle z-y}$ 4'e bölünebilirse ${\displaystyle z-x}$'in de 4'e bölünebileceği açıktır). Bu bağıntı tam sayılar kümesini dörde bölümünden kalana göre 4 gruba ayırır.
2. Yönsüz bir çizgede iki düğümün birbirine bağlı olması, yani ${\displaystyle e_{i}=\{v_{i-1},v_{i}\}\in K,v_{i}\in D,n\in \mathbb {(} N)\cup \{0\}}$ olmak üzere ${\displaystyle v\thicksim w:\Leftrightarrow \exists \ v=:v_{0}\ e_{1},\ v_{1},\ ...\ v_{n-1},\ e_{n},\ v_{n}:=w}$, bir denklik bağıntısıdır. Bu bağıntı düğümlerin kümesini ayrık altkümelere ayırır. Bu altkümelere adı verilir.
3. ${\displaystyle [0,1]\subseteq \mathbb {R} }$ kümesinde ${\displaystyle x\thicksim y:\Leftrightarrow x-y\in \mathbb {Q} }$ bir denklik bağıntısıdır. Bu bağıntının ayırdığı her altkümeden yardımıyla bir seçersek adı verilen kümeyi elde ederiz. Bu kümenin özelliği, hiçbir ölçü ile ölçülememesidir.