Fatou-Bieberbach bölgesi

Matematiğin bir dalı olan çok değişkenli karmaşık analizde, Fatou-Bieberbach bölgesi, ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$e ile denk olan ve ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$'in özalt kümesi olan bölgelere verilen addır. Diğer deyişle,

• ${\displaystyle \Omega \subsetneq \mathbb {C} ^{n}}$ ise,
• birebir, örten ve holomorf ${\displaystyle f:\Omega \rightarrow \mathbb {C} ^{n}}$ fonksiyonu varsa,
• ${\displaystyle f^{-1}:\mathbb {C} ^{n}\rightarrow \Omega }$ de yine holomorfsa,

o zaman ${\displaystyle \Omega }$ bir Fatou-Biebarbach bölgesidir.

Bu bölgeler, Riemann dönüşüm teoremi sebebiyle karmaşık düzlemde (yani ${\displaystyle n=1}$ iken) bulunmaz. O yüzden, bu bölgelerin varlığı, çok değişkenli karmaşık analizi bir değişkenli karmaşık analizden ayıran özelliklerden biridir.

Fatou-Biebarbach bölgesi adını bu tip bölgeleri 1920lerde araştırmış olan Fransız matematikçi ve Alman matematikçi Ludwig Bieberbach'dan almaktadır. Bu tip bölgelerin araştırması uzun süre kenarda kalmıştır.1980li yıllarda ve 'in makalesi, dikkatleri bu bölgelerin tekrardan araştırılmasına çekmiştir.

Fatou-Bieberbach örnekleri genelde bir ${\displaystyle p\in \mathbb {C} ^{n}}$ noktasını sabitleyen bir ve bu dönüşümün bu ${\displaystyle p}$ noktasındaki aracılığıyla verilir. Burada çekim havzası şu şekilde tanımlanabilir: ${\displaystyle F:\mathbb {C} ^{n}\mapsto \mathbb {C} ^{n}}$ bir ${\displaystyle p\in \mathbb {C} ^{n}}$ noktasını sabitleyen (yani ${\displaystyle F(p)=p}$) bir , ${\displaystyle F^{1}:=F}$ ve ${\displaystyle j\geq 2}$ tam sayıları için ${\displaystyle F^{j}:=F\circ F^{j-1}}$ tanımları altında

${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} ^{n}:\lim _{j\to \infty }F^{j}(z)=p\}}$

kümesine ${\displaystyle F}$'nin ${\displaystyle p}$ noktasındaki çekim havzası denir. Eğer böyle bir özdönüşümün türevinin ${\displaystyle p}$ noktasındaki her özdeğerinin modülüsü 1"den küçükse, o zaman ${\displaystyle p}$ noktasındaki bir Fatou-Bieberbach bölgesi olur.

Ayrıca bakınız

• Hartogs teoremi
• Poincaré teoremi (karmaşık analiz)

Kaynakça

1. ^ Fatou, Pierre: "Sur les fonctions méromorphes de deux variables. Sur certains fonctions uniformes de deux variables." C.R. Paris 175 (1922)
2. ^ Bieberbach, Ludwig: "Beispiel zweier ganzer Funktionen zweier komplexer Variablen, welche eine schlichte volumtreue Abbildung des ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{4}}$ auf einen Teil seiner selbst vermitteln". Preussische Akademie der Wissenschaften. Sitzungsberichte (1933)
3. ^ Rosay, J.-P. and Rudin, W: "Holomorphic maps from ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ to ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$". Trans. Amer. Math. Soc. 310 (1988) [1] 3 Eylül 2024 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.