Filtre (olasılık teorisi)

Matematiğin bir alt dalı olan olasılık teorisinde ve , filtre ya da süzgeç azalmayan bir ailesidir. Amerikalı matematikçi tarafından 1953'te literatüre sokulmuştur.

Tanım

${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ bir olasılık uzayı ve ${\displaystyle T\subset \mathbb {R} }$ olsun. Eğer bir σ-cebiri ailesi ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}}$ için ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}\subset {\mathcal {F}}_{t}\subset {\mathcal {F}},\forall s\leq t,\;s,t\in T}$ sağlanıyorsa, ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}}$'ye ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ olasılık uzayının bir filtresi ya da süzgeci denir.

Bir rassal sürecin doğal süzgeci

Bir olasılık uzayı üzerinde tanımlanan ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}}$ rassal süreci için aşağıdaki gibi bir ailesi tanımlansın.

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{X}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t,\;s\in T\},\quad t\in T.}$.

O zaman, ${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}_{t}^{X}\right\}_{t\in T}}$ bir süzgeç olur ve buna ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}}$ rassal sürecinin doğal süzgeci denir.

Süzgeçle ilgili diğer tanımlar

Süreklilik

Bir olasılık uzayının süzgecinin soldan ve sürekli olması kavramı bazen değişik sonuçlarda teknik gereklilik olarak yazılır.

${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ bir olasılık uzayı, ${\displaystyle T=[0,\infty )}$ ve ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\geq 0}}$ de bu olasılık uzayının süzgeçi olsun.

• Her ${\displaystyle t>0}$ için, ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t^{-}}:=\sigma \left(\bigcup _{s<t}{\mathcal {F}}_{s}\right)}$
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0^{-}}:={\mathcal {F}}_{0}}$
• Her ${\displaystyle t\geq 0}$ için, ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t^{+}}:=\sigma \left(\bigcap _{\varepsilon >0}{\mathcal {F}}_{s+\varepsilon }\right)}$

tanımlayalım. O halde, her ${\displaystyle t\geq 0}$ için

• ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t}=\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t^{+}}}$ ise ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\geq 0}}$ süzgeci sağdan sürekli
• ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t}=\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t^{-}}}$ ise ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\geq 0}}$ süzgeci soldan sürekli

denir. Bir süzgeç hem sağdan hem de soldan sürekliyse, o zaman bu süzgeçe sürekli süzgeç denir.

Tam süzgeçler

${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ bir olasılık uzayı ve ${\displaystyle \mathbb {(} {\mathcal {F}}_{t})_{t\in I}}$ bu uzayın bir süzgeci olsun.

${\displaystyle {\mathcal {N}}:=\{N\subset \Omega \mid \exists A\in {\mathcal {F}}:N\subset A\wedge P(A)=0\}}$

tanımlayalım. Yani, ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$, ${\displaystyle P}$- altkümesi olan kümelerin kümsesidir. Her ${\displaystyle t\in T}$ için, ${\displaystyle {\mathcal {N}}\in {\mathcal {F}}_{t}}$ sağlanırsa ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},P)}$ uzayı tam bir ölçü uzayı olur ve ${\displaystyle \mathbb {(} {\mathcal {F}}_{t})_{t\in I}}$ tam süzgeç denir.

Artırılmış süzgeçler

Sağdan sürekli ve tam olan süzgeçlere artırılmış süzgeçler denir. Eğer bir süzgeç artılmış süzgeçse, süzgeç olağan koşulları sağlar kullanımı da vardır.

Ayrıca bakınız

• Martingal

Notlar

1. ^ Doob 1953, s. 294'te (Chapter VII Martingales kısmında) açıkça görülmektedir.
2. ^ Snell 1991
3. ^ Coculescu & Nikeghbali 2010
4. ^ Karatzas & Shreve 1991, s. 4

Kaynakça

• Coculescu, Dalia; Nikeghbali, Ashkan (2010), "Filtrations", Encyclopedia of Quantitative Finance, cilt 2, ss. 683-686, erişim tarihi: 6 Eylül 2024 
• (1953), Stochastic processes, New York: , MR 0058896 
• Karatzas, Ioannis; (1991), Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd, Springer-Verlag, ISBN  
• Snell, J. L. (1997), "A conversation with Joe Doob", Statist. Sci., 12 (4), ss. 301-311, erişim tarihi: 4 Eylül 2024