1 − 1 + 1 − 1 + … sonsuz serisi ya da
Grandi serisi olarak adlandırılır. Seri; İtalyan matematikçi, filozof ve papaz Guido Grandi'ye 1703 yılında yaptığı özgün çalışmalardan ötürü adanmıştır. Genel anlamda toplamı olmayan bir ıraksak seri olarak tanımlanan ifadenin Cesàro toplamı ½'dir.
Buluşsal yöntem
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + … toplamını hesaplamanın en basit yolu onu bir olarak algılamak ve çıkarma işlemlerini doğrudan gerçekleştirmektir.
- (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0
Öte yandan, terimler farklı bir yolla öbeklendirildiğinde toplam, yukarıda elde edilen sonuçla çelişmektedir.
- 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1
Grandi serisini ayraçlar yardımıyla öbeklere ayırma yoluyla ulaşılabilen "değerler" 0 ve 1'dir. olarak adlandırılan benzer bir yöntem düğüm kuramı ve cebirinde zaman zaman kullanılmaktadır.
Grandi serisi bir olarak ele alındığında ise yakınsak geometrik serilere uygulanan yöntemler bu seriye uyarlanarak farklı bir değer bulunabilmektedir.
- S = 1 − 1 + 1 − 1 + … ve
- 1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 - 1 + 1 - 1 + … = S
- S = 1⁄2
Aynı sonuca −S hesaplanıp sonuç S'den çıkarıldıktan sonra 2S = 1 çözümüyle de ulaşılabilmektedir.
Seri üzerinde yapılan bu oynamalar bir serinin toplamının tam olarak ne ifade ettiği konusuna odaklanmamaktadır. Serileri isteğe göre öbeklere ayırmak ve bunlar üzerinde dört işlem uygulaması yapmak her ne kadar önemliyse de şu iki sonuca ulaşmak olasıdır:
- 1 − 1 + 1 − 1 + … serisinin bir toplamı yoktur.
- ...ancak toplam 1⁄2 olmalıdır.
Her iki ifade doğrulanabilir ve kanıtlanabilir ancak bunu gerçekleştirmek için 19. yüzyılda bulunan matematiksel kavramlara gerek duyulmaktadır. 18. yüzyılın sonuna dek geçen süre matematikçiler arasında bu konuda yaşanan "bitmeyen" ve "sert" tartışmalara tanıklık etmiştir.
Geçmişi
Iraksaklığı
Çağdaş matematikte bir sonsuz serinin toplamı onun serisinin limiti olarak tanımlanmaktadır. Grandi serisinin kısmi toplamlar kümesi hiçbir sayıya yaklaşmayan 1, 0, 1, 0, … serisidir (0 ve 1 noktalarındaki birikim sayılmazsa). Bu, Grandi serisinin ıraksak olduğunu göstermektedir.
Seri üzerinde yapılan küçük oynamalar (terimlerin yerlerinin değiştirilmesi gibi) seri olmadıkça geçerli işlemler değillerdir çünkü bu tür oynamalar toplam değerini değiştirmektedir. Grandi serisine uygulanan bu tür yöntemlerin yalnızca 0 ve 1 değil, farklı toplam değerlerine yol açtığı bilinmektedir.
Eğitimdeki yeri
Toplanabilirliği
Ayrıca bakınız
Notlar
Kaynakça
- Davis, Harry F. (Mayıs 1989). Fourier Series and Orthogonal Functions (İngilizce). Dover. ISBN .
- Devlin, Keith (1994). Mathematics, the science of patterns: the search for order in life, mind, and the universe (İngilizce). Scientific American Library. ISBN .
- Kline, Morris (Kasım 1983). "Euler and Infinite Series". Mathematics Magazine. 56 (5). ss. 307-314. 21 Ağustos 2019 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 26 Ağustos 2009.
- Knopp, Konrad (1990). Theory and Application of Infinite Series (İngilizce). Dover. ISBN .
Dış bağlantılar
- E. W. Hobson, The theory of functions of a real variable and the theory of Fourier's series (Cambridge University Press, 1907), 331. The University of Michigan Historical Mathematics Collection 29 Ağustos 2006 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- E. T. Whittaker, G. N. Watson, A course of modern analysis, 4. baskı, (Cambridge University Press, 1962), 2.1
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
1 1 1 1 sonsuz serisi ya da n 0 1 n displaystyle sum n 0 infty 1 n Grandi serisi olarak adlandirilir Seri Italyan matematikci filozof ve papaz Guido Grandi ye 1703 yilinda yaptigi ozgun calismalardan oturu adanmistir Genel anlamda toplami olmayan bir iraksak seri olarak tanimlanan ifadenin Cesaro toplami dir Bulussal yontem1 1 1 1 1 1 1 1 toplamini hesaplamanin en basit yolu onu bir olarak algilamak ve cikarma islemlerini dogrudan gerceklestirmektir 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 Ote yandan terimler farkli bir yolla obeklendirildiginde toplam yukarida elde edilen sonucla celismektedir 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 Grandi serisini ayraclar yardimiyla obeklere ayirma yoluyla ulasilabilen degerler 0 ve 1 dir olarak adlandirilan benzer bir yontem dugum kurami ve cebirinde zaman zaman kullanilmaktadir Grandi serisi bir olarak ele alindiginda ise yakinsak geometrik serilere uygulanan yontemler bu seriye uyarlanarak farkli bir deger bulunabilmektedir S 1 1 1 1 ve 1 S 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S S 1 2 Ayni sonuca S hesaplanip sonuc S den cikarildiktan sonra 2S 1 cozumuyle de ulasilabilmektedir Seri uzerinde yapilan bu oynamalar bir serinin toplaminin tam olarak ne ifade ettigi konusuna odaklanmamaktadir Serileri istege gore obeklere ayirmak ve bunlar uzerinde dort islem uygulamasi yapmak her ne kadar onemliyse de su iki sonuca ulasmak olasidir 1 1 1 1 serisinin bir toplami yoktur ancak toplam 1 2 olmalidir Her iki ifade dogrulanabilir ve kanitlanabilir ancak bunu gerceklestirmek icin 19 yuzyilda bulunan matematiksel kavramlara gerek duyulmaktadir 18 yuzyilin sonuna dek gecen sure matematikciler arasinda bu konuda yasanan bitmeyen ve sert tartismalara taniklik etmistir GecmisiIraksakligiCagdas matematikte bir sonsuz serinin toplami onun serisinin limiti olarak tanimlanmaktadir Grandi serisinin kismi toplamlar kumesi hicbir sayiya yaklasmayan 1 0 1 0 serisidir 0 ve 1 noktalarindaki birikim sayilmazsa Bu Grandi serisinin iraksak oldugunu gostermektedir Seri uzerinde yapilan kucuk oynamalar terimlerin yerlerinin degistirilmesi gibi seri olmadikca gecerli islemler degillerdir cunku bu tur oynamalar toplam degerini degistirmektedir Grandi serisine uygulanan bu tur yontemlerin yalnizca 0 ve 1 degil farkli toplam degerlerine yol actigi bilinmektedir Egitimdeki yeriToplanabilirligiAyrica bakinizGuido GrandiNotlar a b Devlin s 77 a b Davis s 152 Kline 1983 s 307 Knopp s 457KaynakcaDavis Harry F Mayis 1989 Fourier Series and Orthogonal Functions Ingilizce Dover ISBN 0 486 65973 9 Devlin Keith 1994 Mathematics the science of patterns the search for order in life mind and the universe Ingilizce Scientific American Library ISBN 0 7167 6022 3 Kline Morris Kasim 1983 Euler and Infinite Series Mathematics Magazine 56 5 ss 307 314 21 Agustos 2019 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 26 Agustos 2009 Knopp Konrad 1990 Theory and Application of Infinite Series Ingilizce Dover ISBN 0 486 66165 2 Dis baglantilarE W Hobson The theory of functions of a real variable and the theory of Fourier s series Cambridge University Press 1907 331 The University of Michigan Historical Mathematics Collection 29 Agustos 2006 tarihinde Wayback Machine sitesinde E T Whittaker G N Watson A course of modern analysis 4 baski Cambridge University Press 1962 2 1