Köklerin yer eğrisi (İngilizce: Root Locus), kontrol teorisinde, bir transfer fonksiyonunun kutuplarının sistemin kazancına göre değişimini gösteren çizimlerdir.
Giriş
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTg0THpnM0wwZGxibVZ5WVd4ZlkyeHZjMlZrWDJ4dmIzQmZabVZsWkdKaFkydGZjM2x6ZEdWdFgzZHBkR2hmY0hKdmNHOXlkR2x2Ym1Gc1gyTnZiblJ5YjJ4c1pYSXVjM1puTHpJeU1IQjRMVWRsYm1WeVlXeGZZMnh2YzJWa1gyeHZiM0JmWm1WbFpHSmhZMnRmYzNsemRHVnRYM2RwZEdoZmNISnZjRzl5ZEdsdmJtRnNYMk52Ym5SeWIyeHNaWEl1YzNabkxuQnVadz09LnBuZw==.png)
Kapalı çevirim döngüye sahip olan her sistem yandaki blok diyagramdaki gibi ifade edilebilir. Burada açık sistemin transfer fonkisyonunu,
ise geribesleme sisteminin transfer fonksiyonunu ifade etmektedir. Bu durumda bütün sistemin transfer fonksiyonu
olmaktadır. Bu yöntemde K artarken bütün sistemin kutuplarının yani
ifadesinin köklerinin nasıl değiştiği sorusuna cevap aranmaktadır. Görüldüğü üzere K değiştikçe
ifadesi farklı s değerleri için sıfır olur. İşte çizilen bu eğriler K arttıkça değişen köklerin eğrileridir. Bu eğriler sistemin kazancı
sıfırdan sonsuza artarken çizilir. Kural olarak sistemin kazancının negatif olduğu düşününülmez. Kök eğrileri her zaman açık sistemin bir kutubundan başlar ve kazanç arttıkça açık sistemin sıfırlarına ya da asimtotlara doğru hareket eder. Kök eğrileri her zaman reel eksene göre simetriktir.
Sistemin kutupları açısından önemlidir. s-düzleminde bir transfer fonksiyonunun pozitif reel kısımlı kutubu olması sistemin kararlı olmadığı anlamına gelir. Başka bir ifadeyle kararlı bir sistemin s-düzleminin sağ yarısında kutubu bulunmaz. Köklerin eğrileri bize kutupların hareketini gösterdiğinden sistemin artan kazançla ne zaman kararlılığını yitirdiğini bu eğrilere bakarak kolaylıkla anlayabiliriz.
Köklerin yer eğrilerine bakarak sistem tasarımı yapılabilir. Sistemin kutupları kazanca göre hareket ettiği için kazanç değiştirilerek sistemin kutupları hareket ettirilebilir. Bu sistemin karalılık, , gibi birçok özelliğini değiştirir. Birçok kontrolcü tasarım teknikleri (led, lag, PD,PID, PI gibi) kök eğrileri çizimlerine bakılarak yapılabilir.
Köklerin hareketi hakkında bir örnek
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTlrTDJSaEwwVjRZVzF3YkdWc1gyTnNiM05sWkY5c2IyOXdYMlpsWldSaVlXTnJYM041YzNSbGJWOTNhWFJvWDNCeWIzQnZjblJwYjI1aGJGOWpiMjUwY205c2JHVnlMbk4yWnk4eU9UQndlQzFGZUdGdGNHeGxiRjlqYkc5elpXUmZiRzl2Y0Y5bVpXVmtZbUZqYTE5emVYTjBaVzFmZDJsMGFGOXdjbTl3YjNKMGFXOXVZV3hmWTI5dWRISnZiR3hsY2k1emRtY3VjRzVuLnBuZw==.png)
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTgyTHpaa0wwRnVYMlY0WVcxd2JHVmZiMlpmY205dmRGOXNiMk4xY3k1emRtY3ZNamt3Y0hndFFXNWZaWGhoYlhCc1pWOXZabDl5YjI5MFgyeHZZM1Z6TG5OMlp5NXdibWM9LnBuZw==.png)
Açık döngü transfer fonksiyonu olan bir sistemde birim geribesleme uygulandığını düşünelim. Bu durumda bütün sistemin transfer fonksiyonu
olur. bu sistemin tek kutubu vardır o da paydayı sıfır yapan s değeri olan s = (-K-1)/K değeridir. Görüleceği üzere bu s değeri K değiştikçe değişmektedir. K sıfırdayken eksi sonsuza giden kutup, K sonsuza gittiğinde -1 e yaklaşmaktadır. Dolayısıyla bu sistemin kök eğrisi sonsuzdan -1e uzanan doğru parçasıdır.
Prosedür
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTloTDJGaEwxSk1KVEkyV2tGU1RDMGxNamd4WHpNbE1qa3RKVEk0TVY4elh6VmZNU1V5T1M1d2JtY3ZNelV3Y0hndFVrd2xNalphUVZKTUxTVXlPREZmTXlVeU9TMGxNamd4WHpOZk5WOHhKVEk1TG5CdVp3PT0ucG5n.png)
Kök eğrileri çizilirken aşağıdaki yöntem izlenir.
- Açık sistemin transfer fonksiyonuna bakılarak s-düzlemine kutuplar ve sıfırlar yerleştirilir. Reel eksen üzerinde kök eğrilerinin geçebileceği yerler işaretlenir.
Reel eksen üzerinde kök eğrilerinin geçebileceği yerler açı şartını sağlar. Buna göre reel eksen üzerinde kendisinin sağında tek sayıda sıfır ya da kutup bulunduran doğru parçaları kök eğrilerinin geçmesi muhtemel bölgelerdir.
- Asimtotların sayısı ve aralarındaki açılar belirlenir.
Açık sistemin kutup sayısı sıfır sayısı
olmak üzere asimtot sayısı =
ifadesiyle bulunur. Asimtotlar arasındaki açı ise
bağlantısıyla bulunur.
Örneğin 5 kutubu 2 sıfırı olan bir transfer fonksiyonunun pozitif reel eksenle 60,180,300 derece açı yapan üç asimtotu vardır.
- Asimtotların kesiştiği nokta belirlenir.
Asimtotların kesiştiği noktaya sentrioid denir. Reel eksen üzerinde olan bu nokta
formülüyle bulunur.
Buradaki ifadesi bütün-sistemin kutuplarının toplamını,
ifadesi ise bütün-sistemin sıfırlarının toplamını ifade eder. Paydadaki
ve
ise sırasıyla kutup ve sıfırların ‘sayısını’ belirtir.
- Kök eğrilerinin ayrılma ve birleşme noktaları belirlenir.
Kök eğrileri reel eksen üzerindeyken kazancın değişmesiyle reel ekseni terk eder. Bu durumda sistemin kutupları artık sadece reel değil karmaşık sayıdır. Bu noktalar artan kazançla köklerin hareketine göre ayrılma ya da birleşme noktaları olarak adlandırılır.Bu noktalar:
formülüyle bulunur. Bu denklemin bütün çözümleri ayrılma/birleşme noktası değildir. İlk olarak ayrılma birleşme noktaları 1. adımda belirlenebilen kök eğrisi geçirebilecek aralıklar arasında olmalıdır. Bu aralıkta olmayan bir nokta ayrılma/birleşme noktası olamaz. İkinci olarak gerçek ayrılma noktaları transfer fonksiyonuna yazılıp çözüldüğünde pozitif K değeri verirken diğer noktalar negatif K değeri verir.
- Eğer karmaşık kutup/sıfır varsa: Ayrılma ve birleşme açıları belirlenir.
Kök eğrilerinin karmaşık kutup ve sıfırlara yakınlaşırken nasıl bir yörünge çizerek ulaştığı önemlidir. Bunu anlamak için ayrılma ve birleşme açıları incelenir. Eğer kutuplar/sıfırlar reel eksenin üzerinde ise bu açıların önemi yoktur. Çünkü bu durumda kök eğrileri reel ekseni takip ederek kutup/sıfırlara ulaşır. Dolayısıyla ayrılma/birleşme açıları sıfır ya da 180° dir.
- Karmaşık eksenin kesildiği noktalar belirlenir.
Kök eğrileri karmaşık ekseni kesebilir. Bu noktada sistemin kutupları tamamen imajiner hale gelir. Karmaşık düzlemin kesildiği noktada kök eğrisi yarı düzlemler arası geçiş yapar. Bu yüzden karmaşık eksenin kesildiği noktalar sistemin kararlılığı için eşik oluşturur. Karmaşık eksenin kesildiği noktalar ya da transfer fonksiyonunda s yerine jw koyularak bulunabilir.
- Yukarıdaki adımlarda bulunan noktalar göz önünde bulundurularak kök eğrileri çizilir.
Bir Örnek Eşliğinde Kök Eğrisi Çizimi
Transfer fonksiyonu olan bir sistemin kök eğrilerini çizelim.
- Sistemin transfer fonksiyonuna bakılarak s-düzlemine kutuplar ve sıfırlar yerleştirilir.
Bu sistemin sıfırı yoktur. 0, -1, -2+3j ve -2-3j olmak üzere dört kutubu vardır. Bunları noktaları s-düzleminde işaretleriz. -1<s<0 aralığı sağında tek sayıda kutup/sıfır bulundurduğu için kök eğrisi geçirme olasılığı olan bir noktadır.
- Asimtotların sayısı ve aralarındaki açılar belirlenir.
P = 4, Z = 0 dır. Bu durumda asimtotlar 45°, 135°, 225° ve 315° lik açılar yaparlar.
- Asimtotların kesiştiği nokta belirlenir.
Asimtotların kesiştiği nokta: yani -1.25'tir. Bu noktadan geçen asimtotları bir önceki adımda bulduğumuz açıları gözeterek s düzlemine çizeriz.
- Kök eğrilerinin ayrılma ve birleşme noktaları belirlenir.
denkeminin çözümünden üç tane kök elde ederiz. -0.467,-1.642+2.067j ve -1.642-2.067j ayrılma/birleşme noktaları tanımı gereği reel eksen üzerinde bulunmalıdır buna göre ikinci ve üçüncü kökler ayrılma ya da birleşme noktası olamaz. s=-0.467 ise reel eksen üzerinde bulunduğundan ve -1<s<0 aralığında olduğundan ayrılma noktası olabilecek bir adaydır. ilk değeri denkleme koyup K için çözdüğümüzde K = 2.825 buluruz. Bu kök pozitif bir K değerini sağladığı için ayrılma noktasıdır.
- Eğer karmaşık kutup/sıfır varsa: Ayrılma ve birleşme açıları belirlenir.
Sistemimizde bir çift karmaşık kök bulumaktadır. Kök eğrilerinin bu kutuplardan nasıl çıktığını anlamamız için ayrılma açılarını bilmemiz gerekmektedir. Bunun için açı şartını göz önüne alırız.
bu ifadeyi kompleks cebir işlemlerini kullanarak açarsak:
Eğrilerin s= -2+3j kutbundan -142.13 derecelik açıyla ayrıldığını görürüz. Kök eğrileri reel eksene göre simetrik olması gerektiğinden s= -2-3j kutbundan 142.13 derecelik açıyla ayırılmalıdır.
- Karmaşık eksenin kesildiği noktalar belirlenir.
Sıfırımız olmadığı için kutuplarda başlayan kök eğrileri asimtotlarda son bulmak durumundadır. Kök eğrilerinin asimtotları izlediğinde imajiner ekseni keseceğini görürüz. Transfer fonksiyonunda s yerine jw yazdığımızda:
Denklemini elde ederiz. Bu ifadeyi çözüdüğümüzde imajiner eksenin s= +-1.612j noktalarında kesildiğini görürüz.Bu noktada sistemin kazancı K=37.44 tür.
- Yukarıdaki adımlarda bulunan noktalar göz önünde bulundurularak kök eğrileri çizilir.
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTgwTHpSbEwxSnZiM1JmYkc5amRYTmZaSEpoZDJsdVoxOW1iM0pmUzE5dmRtVnlYM011Y3lVeVFqRXVjeklsTWtJMGN5VXlRakV6TG5OMlp5OHlNakJ3ZUMxU2IyOTBYMnh2WTNWelgyUnlZWGRwYm1kZlptOXlYMHRmYjNabGNsOXpMbk1sTWtJeExuTXlKVEpDTkhNbE1rSXhNeTV6ZG1jdWNHNW4ucG5n.png)
Bütün bu adımları geçtikten sonra geriye kök eğrilerini çizmek kalır. Her kutuptan bir tane kök eğrisi çıkar. Zira o kök eğrisi artan kazançla kutubun hareketini gösterir. Bu eğriler daha sonra bu örnekte sıfır olmadığı için asimtotlara hareket edeceklerdir.
-1 ve 0 kutuplarından çıkan kök eğrileri reel ekseni takip edecek ve ayrılma noktası olan -0.467 noktasında reel ekseni terk ederek yukarı doğru hareket edeceklerdir. 6. adımda bulduğumuz üzere +-1.612j noktalarında karmaşık eksen kesilecek ve kök eğrileri bu noktadan sonra tamamen asimtotları takip edecektir
Kompleks kutuplardan çıkan kök eğrileri ise 5. adımda bulunan açılarla çıkış yapacak ve asimtotları takip edecektir. Kompleks kutupların kök eğrilerinin belirleyici özelliği bu çıkış açılarıdır.
Bu örneğin durumunu düşünecek olursak; kutupların sağ yarı düzlemi geçtiği anı göz önüne almamız gerekir. -1 ve 0 kutupları kazanç K=37.44 iken imajiner ekseni keserek diğer yarı düzleme geçmişlerdir. Bu noktadan sonra sistemin sağ yarı düzlemde kutubu olacağından sistem kararsız olur. Diğer bir deyişle sistemin kararlılığını koruyarak kazancı 37.44'e kadar yükseltebiliriz.
Kaynakça
- ^ Ogata, K Modern Control Engineering, 5th edition
Ogata, K Modern Control Engineering, 5th edition
Kocaoğlan, E, Lecture Notes on Feedback Systems
Ayrıca bakınız
Dış bağlantılar
- Kontrol teorisi (İngilizce Vikipedi) 7 Şubat 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Koklerin yer egrisi Ingilizce Root Locus kontrol teorisinde bir transfer fonksiyonunun kutuplarinin sistemin K displaystyle K kazancina gore degisimini gosteren cizimlerdir GirisKapali cevirimli bir sistemin blok diyagrami Kapali cevirim donguye sahip olan her sistem yandaki blok diyagramdaki gibi ifade edilebilir Burada G s displaystyle G s acik sistemin transfer fonkisyonunu H s displaystyle H s ise geribesleme sisteminin transfer fonksiyonunu ifade etmektedir Bu durumda butun sistemin transfer fonksiyonu KG s H s 1 KG s H s displaystyle frac KG s H s 1 KG s H s olmaktadir Bu yontemde K artarken butun sistemin kutuplarinin yani 1 KG s H s 0 displaystyle 1 KG s H s 0 ifadesinin koklerinin nasil degistigi sorusuna cevap aranmaktadir Goruldugu uzere K degistikce 1 KG s H s displaystyle 1 KG s H s ifadesi farkli s degerleri icin sifir olur Iste cizilen bu egriler K arttikca degisen koklerin egrileridir Bu egriler sistemin kazanci K displaystyle K sifirdan sonsuza artarken cizilir Kural olarak sistemin kazancinin negatif oldugu dusununulmez Kok egrileri her zaman acik sistemin bir kutubundan baslar ve kazanc arttikca acik sistemin sifirlarina ya da asimtotlara dogru hareket eder Kok egrileri her zaman reel eksene gore simetriktir Sistemin kutuplari acisindan onemlidir s duzleminde bir transfer fonksiyonunun pozitif reel kisimli kutubu olmasi sistemin kararli olmadigi anlamina gelir Baska bir ifadeyle kararli bir sistemin s duzleminin sag yarisinda kutubu bulunmaz Koklerin egrileri bize kutuplarin hareketini gosterdiginden sistemin artan kazancla ne zaman kararliligini yitirdigini bu egrilere bakarak kolaylikla anlayabiliriz Koklerin yer egrilerine bakarak sistem tasarimi yapilabilir Sistemin kutuplari kazanca gore hareket ettigi icin kazanc degistirilerek sistemin kutuplari hareket ettirilebilir Bu sistemin karalilik gibi bircok ozelligini degistirir Bircok kontrolcu tasarim teknikleri led lag PD PID PI gibi kok egrileri cizimlerine bakilarak yapilabilir Koklerin hareketi hakkinda bir ornekOrnek kontrol sistemiYukardaki ornegin kok egrisi Kokler acik sistemin kutubu olan eksi sonsuzda harekete baslamis ve artan kazancla acik sistemin sifiri olan 1 e hareket etmistir Acik dongu transfer fonksiyonu K s 1 displaystyle K s 1 olan bir sistemde birim geribesleme uygulandigini dusunelim Bu durumda butun sistemin transfer fonksiyonu K s 1 1 K s 1 displaystyle K s 1 1 K s 1 olur bu sistemin tek kutubu vardir o da paydayi sifir yapan s degeri olan s K 1 K degeridir Gorulecegi uzere bu s degeri K degistikce degismektedir K sifirdayken eksi sonsuza giden kutup K sonsuza gittiginde 1 e yaklasmaktadir Dolayisiyla bu sistemin kok egrisi sonsuzdan 1e uzanan dogru parcasidir ProsedurBir bilgisayar yazilimina cizdirilmis koklerin yer egrisi grafigi Kok egrileri cizilirken asagidaki yontem izlenir Acik sistemin transfer fonksiyonuna bakilarak s duzlemine kutuplar ve sifirlar yerlestirilir Reel eksen uzerinde kok egrilerinin gecebilecegi yerler isaretlenir Reel eksen uzerinde kok egrilerinin gecebilecegi yerler aci sartini saglar Buna gore reel eksen uzerinde kendisinin saginda tek sayida sifir ya da kutup bulunduran dogru parcalari kok egrilerinin gecmesi muhtemel bolgelerdir Asimtotlarin sayisi ve aralarindaki acilar belirlenir Acik sistemin kutup sayisi P displaystyle P sifir sayisi Z displaystyle Z olmak uzere asimtot sayisi P Z displaystyle P Z ifadesiyle bulunur Asimtotlar arasindaki aci ise ϕl 180 l 1 360 P Z l 1 2 P Z displaystyle phi l frac 180 circ l 1 360 circ P Z l 1 2 P Z baglantisiyla bulunur Ornegin 5 kutubu 2 sifiri olan bir transfer fonksiyonunun pozitif reel eksenle 60 180 300 derece aci yapan uc asimtotu vardir Asimtotlarin kesistigi nokta belirlenir Asimtotlarin kesistigi noktaya sentrioid denir Reel eksen uzerinde olan bu nokta a P ZP Z displaystyle alpha frac sum P sum Z P Z formuluyle bulunur Buradaki P displaystyle sum P ifadesi butun sistemin kutuplarinin toplamini Z displaystyle sum Z ifadesi ise butun sistemin sifirlarinin toplamini ifade eder Paydadaki P displaystyle P ve Z displaystyle Z ise sirasiyla kutup ve sifirlarin sayisini belirtir Kok egrilerinin ayrilma ve birlesme noktalari belirlenir Kok egrileri reel eksen uzerindeyken kazancin degismesiyle reel ekseni terk eder Bu durumda sistemin kutuplari artik sadece reel degil karmasik sayidir Bu noktalar artan kazancla koklerin hareketine gore ayrilma ya da birlesme noktalari olarak adlandirilir Bu noktalar dG s H s ds 0 displaystyle frac dG s H s ds 0 formuluyle bulunur Bu denklemin butun cozumleri ayrilma birlesme noktasi degildir Ilk olarak ayrilma birlesme noktalari 1 adimda belirlenebilen kok egrisi gecirebilecek araliklar arasinda olmalidir Bu aralikta olmayan bir nokta ayrilma birlesme noktasi olamaz Ikinci olarak gercek ayrilma noktalari transfer fonksiyonuna yazilip cozuldugunde pozitif K degeri verirken diger noktalar negatif K degeri verir Eger karmasik kutup sifir varsa Ayrilma ve birlesme acilari belirlenir Kok egrilerinin karmasik kutup ve sifirlara yakinlasirken nasil bir yorunge cizerek ulastigi onemlidir Bunu anlamak icin ayrilma ve birlesme acilari incelenir Eger kutuplar sifirlar reel eksenin uzerinde ise bu acilarin onemi yoktur Cunku bu durumda kok egrileri reel ekseni takip ederek kutup sifirlara ulasir Dolayisiyla ayrilma birlesme acilari sifir ya da 180 dir Karmasik eksenin kesildigi noktalar belirlenir Kok egrileri karmasik ekseni kesebilir Bu noktada sistemin kutuplari tamamen imajiner hale gelir Karmasik duzlemin kesildigi noktada kok egrisi yari duzlemler arasi gecis yapar Bu yuzden karmasik eksenin kesildigi noktalar sistemin kararliligi icin esik olusturur Karmasik eksenin kesildigi noktalar ya da transfer fonksiyonunda s yerine jw koyularak bulunabilir Yukaridaki adimlarda bulunan noktalar goz onunde bulundurularak kok egrileri cizilir Bir Ornek Esliginde Kok Egrisi CizimiTransfer fonksiyonu G s Ks s 1 s2 4s 13 displaystyle G s frac K s s 1 s 2 4s 13 olan bir sistemin kok egrilerini cizelim Sistemin transfer fonksiyonuna bakilarak s duzlemine kutuplar ve sifirlar yerlestirilir Bu sistemin sifiri yoktur 0 1 2 3j ve 2 3j olmak uzere dort kutubu vardir Bunlari noktalari s duzleminde isaretleriz 1 lt s lt 0 araligi saginda tek sayida kutup sifir bulundurdugu icin kok egrisi gecirme olasiligi olan bir noktadir Asimtotlarin sayisi ve aralarindaki acilar belirlenir ϕ1 180 4 45 displaystyle phi 1 frac 180 circ 4 45 circ ϕ2 180 360 4 135 displaystyle phi 2 frac 180 circ 360 circ 4 135 circ ϕ3 180 2 360 4 225 displaystyle phi 3 frac 180 circ 2 360 circ 4 225 circ ϕ4 180 3 360 4 315 displaystyle phi 4 frac 180 circ 3 360 circ 4 315 circ P 4 Z 0 dir Bu durumda asimtotlar 45 135 225 ve 315 lik acilar yaparlar Asimtotlarin kesistigi nokta belirlenir Asimtotlarin kesistigi nokta 0 1 2 3j 2 3j 0 4 0 54 displaystyle frac 0 1 2 3j 2 3j 0 4 0 frac 5 4 yani 1 25 tir Bu noktadan gecen asimtotlari bir onceki adimda buldugumuz acilari gozeterek s duzlemine cizeriz Kok egrilerinin ayrilma ve birlesme noktalari belirlenir d K ds 4s3 15s2 34s 13 0 displaystyle frac d K ds 4s 3 15s 2 34s 13 0 denkeminin cozumunden uc tane kok elde ederiz 0 467 1 642 2 067j ve 1 642 2 067j ayrilma birlesme noktalari tanimi geregi reel eksen uzerinde bulunmalidir buna gore ikinci ve ucuncu kokler ayrilma ya da birlesme noktasi olamaz s 0 467 ise reel eksen uzerinde bulundugundan ve 1 lt s lt 0 araliginda oldugundan ayrilma noktasi olabilecek bir adaydir ilk degeri denkleme koyup K icin cozdugumuzde K 2 825 buluruz Bu kok pozitif bir K degerini sagladigi icin ayrilma noktasidir Eger karmasik kutup sifir varsa Ayrilma ve birlesme acilari belirlenir Sistemimizde bir cift karmasik kok bulumaktadir Kok egrilerinin bu kutuplardan nasil ciktigini anlamamiz icin ayrilma acilarini bilmemiz gerekmektedir Bunun icin aci sartini goz onune aliriz G s 180 2k 1 displaystyle angle G s 180 2k 1 bu ifadeyi kompleks cebir islemlerini kullanarak acarsak K s s 1 s 2 3j s 2 3j 180 2k 1 displaystyle angle K angle s angle s 1 angle s 2 3j angle s 2 3j 180 circ 2k 1 s 2 3j 180 2k 1 K s s 1 s 2 3j displaystyle angle s 2 3j 180 circ 2k 1 angle K angle s angle s 1 angle s 2 3j s 2 3j 180 2k 1 0 90 123 69 108 43 142 13 displaystyle angle s 2 3j 180 circ 2k 1 0 circ 90 circ 123 69 circ 108 43 circ 142 13 circ Egrilerin s 2 3j kutbundan 142 13 derecelik aciyla ayrildigini goruruz Kok egrileri reel eksene gore simetrik olmasi gerektiginden s 2 3j kutbundan 142 13 derecelik aciyla ayirilmalidir Karmasik eksenin kesildigi noktalar belirlenir Sifirimiz olmadigi icin kutuplarda baslayan kok egrileri asimtotlarda son bulmak durumundadir Kok egrilerinin asimtotlari izlediginde imajiner ekseni kesecegini goruruz Transfer fonksiyonunda s yerine jw yazdigimizda K w4 5w3j 17w2 13wj displaystyle K w 4 5w 3 j 17w 2 13wj Denklemini elde ederiz Bu ifadeyi cozudugumuzde imajiner eksenin s 1 612j noktalarinda kesildigini goruruz Bu noktada sistemin kazanci K 37 44 tur Yukaridaki adimlarda bulunan noktalar goz onunde bulundurularak kok egrileri cizilir Sonuc Butun bu adimlari gectikten sonra geriye kok egrilerini cizmek kalir Her kutuptan bir tane kok egrisi cikar Zira o kok egrisi artan kazancla kutubun hareketini gosterir Bu egriler daha sonra bu ornekte sifir olmadigi icin asimtotlara hareket edeceklerdir 1 ve 0 kutuplarindan cikan kok egrileri reel ekseni takip edecek ve ayrilma noktasi olan 0 467 noktasinda reel ekseni terk ederek yukari dogru hareket edeceklerdir 6 adimda buldugumuz uzere 1 612j noktalarinda karmasik eksen kesilecek ve kok egrileri bu noktadan sonra tamamen asimtotlari takip edecektir Kompleks kutuplardan cikan kok egrileri ise 5 adimda bulunan acilarla cikis yapacak ve asimtotlari takip edecektir Kompleks kutuplarin kok egrilerinin belirleyici ozelligi bu cikis acilaridir Bu ornegin durumunu dusunecek olursak kutuplarin sag yari duzlemi gectigi ani goz onune almamiz gerekir 1 ve 0 kutuplari kazanc K 37 44 iken imajiner ekseni keserek diger yari duzleme gecmislerdir Bu noktadan sonra sistemin sag yari duzlemde kutubu olacagindan sistem kararsiz olur Diger bir deyisle sistemin kararliligini koruyarak kazanci 37 44 e kadar yukseltebiliriz Kaynakca Ogata K Modern Control Engineering 5th edition Ogata K Modern Control Engineering 5th edition Kocaoglan E Lecture Notes on Feedback SystemsAyrica bakinizKontrol Muhendisligi Otomatik Kontrol SistemleriDis baglantilarKontrol teorisi Ingilizce Vikipedi 7 Subat 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arsivlendi