Karmaşık koordinat uzayı

Matematikte, n boyutlu karmaşık koordinat uzayı, kompleks uzay ya da karmaşık uzay, sıralı ${\displaystyle n}$ tane karmaşık sayıdan oluşan uzaya verilen addır. Bu uzayın elemanlarına karmaşık (kompleks) vektör adı verilir.

Uzay, ${\displaystyle n}$ tane karmaşık düzlemin Kartezyen çarpımıdır ve ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ile gösterilir; yani, $${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\left\{(z_{1},\dots ,z_{n})\mid z_{i}\in \mathbb {C} \right\}}$$ veya $${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\underbrace {\mathbb {C} \times \mathbb {C} \times \cdots \times \mathbb {C} } _{n}.}$$ ${\displaystyle z_{i}}$ değişkenlerinin her birine karmaşık (kompleks) koordinat denir.

Vektör uzayı

Karmaşık koordinat uzayı karmaşık sayılar üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayıdır ve bu haliyle ${\displaystyle n}$ boyutludur. Vektör uzayındaki toplama işlemi ve skaler çarpım her bir koordinat için ayrı ayrı yapılır. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$deki vektörlerin gerçel ve sanal kısımları, ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ile ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ile birebir ve örten bir ilişki kurar. Bu yüzden, olağan aracılığıyla ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ de olur.

Koordinattan bağımsız olarak, karmaşık sayılar üzerindeki herhangi bir vektör uzayı, boyutun iki katına çıktığı gerçel bir vektör uzayı olarak düşünülebilir. Buradaki , sanal sayı ${\displaystyle i}$ ile çarpmayı tanımlayan ve ${\displaystyle J^{2}=-I}$ özelliğine sahip doğrusal bir ${\displaystyle J}$ operatörü tarafından belirlenir.

Böylesine tanımlanmış herhangi bir uzay, gerçel bir uzay olarak, yönlendirilmiş uzaydır. Karmaşık düzlem Kartezyen düzlem olarak ele alınırsa, ${\displaystyle w=u+iv}$ karmaşık sayısıyla çarpma, ${\displaystyle u^{2}+v^{2}=|w|^{2}}$ determinantına sahip

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&-v\\v&u\end{pmatrix}}}$

gerçel matrisiyle temsil edilebilir.

Özel hâl olarak Cⁿ

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ üzerinde holomorf koordinat fonksiyonları olduğu için olarak da görülebilir. Daha genel olarak, ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, bir ve hatta olarak düşünülebilir. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, ayrıca , bir vb. olarak da kabul edilebilir.

Holomorfluk kavramı

Çok değişkenli karmaşık analiz birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonları inceleyen bir matematik dalıdır. ${\displaystyle n}$ boyutlu karmaşık koordinat uzayındaki açık kümeler üzerinde tanımlı bir fonksiyonun holomorf olması için her bir karmaşık değişkende ayrı ayrı holomorf olması yeterli ve gereklidir.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

1. ^ Ohsawa, Takeo (1984). "Vanishing theorems on complete Kähler manifolds". Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences. 20: 21-38. doi:10.2977/prims/1195181825. 

Diğer kaynaklar

• ; Hugo Rossi, Analytic functions of several complex variables