Knudsen sayısı

Knudsen sayısı, moleküler ortalama serbest yol ile kabaca ölçülebilir uzunluk skalasının oranını veren boyutsuz sayıdır. Bu uzunluk skalası, örneğin, bir sıvının içinde yer alan bir cismin çapı olabilir. Knudsen sayısı adını Danimarkalı fizikçi Martin Knudsen'e (1871-1949) atfen almıştır.

Tanım

Knudsen sayısı aşağıdaki gibi tanımlanır:

${\displaystyle {\mathit {Kn}}={\frac {\lambda }{L}}}$

• ${\displaystyle \lambda }$ = ortalama serbest yol [L¹]
• ${\displaystyle L}$ = kabaca ölçülebilir uzunluk skalası[L¹].

Bir ideal gaz için ortalama serbest yol şu şekilde hesaplanabilir:

${\displaystyle {\mathit {Kn}}={\frac {k_{B}T}{{\sqrt {2}}\pi \sigma ^{2}pL}}}$

• ${\displaystyle k_{B}}$ Boltzmann sabiti (1.3806504(24) × 10⁻²³ J/K), [M¹ L² T⁻² θ⁻¹]
• ${\displaystyle T}$ termodinamik sıcaklık, [θ¹]
• ${\displaystyle \sigma }$ parçacık çapı, [L¹]
• ${\displaystyle p}$ toplam basınç, [M¹ L⁻¹ T⁻²].

Atmosfer içindeki parçaçık dinamiği için (standart basınç ve sıcaklık altında, 25 °C and 1 atm) ortalama serbest yol değeri aşağıdaki gibidir: ${\displaystyle \lambda }$ ≈ 8 × 10⁻⁸ m.

Gazlarda Mach ve Reynolds sayıları ile ilişkisi

Knudsen sayısı Mach sayısı ve Reynolds sayısı ile ilişkilendirilebilir:

Dinamik viskozite,

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{2}}\rho {\bar {c}}\lambda .}$

Ortalama molekül hızı (Maxwell-Boltzmann dağılımından),

${\displaystyle {\bar {c}}={\sqrt {\frac {8k_{B}T}{\pi m}}}}$

dolayısıyla ortalama serbest yol,

${\displaystyle \lambda ={\frac {\mu }{\rho }}{\sqrt {\frac {\pi m}{2k_{B}T}}}}$

herhangi bir uzunluk skalası L ile bölünürse Knudsen sayısı elde edilir:

${\displaystyle {\frac {\lambda }{L}}={\frac {\mu }{\rho L}}{\sqrt {\frac {\pi m}{2k_{B}T}}}}$

• ${\displaystyle {\bar {c}}}$ ortalama moleküler hız (Maxwell–Boltzmann dağılımından), [L¹ T⁻¹]
• T termodinamik sıcaklık, [θ¹]
• μ viskozite, [M¹ L⁻¹ T⁻¹]
• m moleküler ağırlık, [M¹]
• k_B Boltzmann sabiti, [M¹ L² T⁻² θ⁻¹]
• ρ yoğunluk, [M¹ L⁻³].

Boyutsuz Mach numarası:

${\displaystyle {\mathit {Ma}}={\frac {U_{\infty }}{c_{s}}}}$

Ses hızına aşağıdaki gibi ulaşılabilir:

${\displaystyle c_{s}={\sqrt {\frac {\gamma RT}{M}}}={\sqrt {\frac {\gamma k_{B}T}{m}}}}$

• U_∞ serbest akış hızı, [L¹ T⁻¹]
• R evrensel gaz sabiti, (8.314 47215 J K⁻¹ mol⁻¹), [M¹ L² T⁻² θ⁻¹ 'mol'⁻¹]
• M moleküler ağırlık, [M¹ 'mol'⁻¹]
• ${\displaystyle \gamma }$ boyutsuz özgül ısılar oranı.

Boyutsuz Reynolds sayısı:

${\displaystyle {\mathit {Re}}={\frac {\rho U_{\infty }L}{\mu }}.}$

Mach sayısı Reynolds sayısına bölünürse,

${\displaystyle {\frac {Ma}{Re}}={\frac {U_{\infty }\div c_{s}}{\rho U_{\infty }L\div \mu }}={\frac {\mu }{\rho Lc_{s}}}={\frac {\mu }{\rho L{\sqrt {\frac {\gamma k_{B}T}{m}}}}}={\frac {\mu }{\rho L}}{\sqrt {\frac {m}{\gamma k_{B}T}}}}$

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\gamma \pi }{2}}}}$ ifadesi ile çarpılırsa,

${\displaystyle {\frac {\mu }{\rho L}}{\sqrt {\frac {m}{\gamma k_{B}T}}}{\sqrt {\frac {\gamma \pi }{2}}}={\frac {\mu }{\rho L}}{\sqrt {\frac {\pi m}{2k_{B}T}}}}$

${\displaystyle {\mathit {Kn}}={\frac {k_{B}T}{{\sqrt {2}}\pi \sigma ^{2}pL}}}$

Knudsen sayısı elde edilir.

Uygulaması

Knudsen sayısı, istatistiksel mekaniğin mi yoksa akışkanlar dinamiğinin sürekli ortamlar mekaniği formülasyonunun mu kullanılması gerektiğini belirlemede kullanılır:

Eğer ki Knudsen sayısı birim değere (b.b.d. 1) yakın ya da birim değerden fazlaysa, bir molekülün ortalama serbest yol değeri ilgili problemin uzunluk skalası ile yakın değerlerdedir demektir. Bu durumda, akışkanlar dinamiğinin sürekli ortamlar mekaniği varsayımı iyi bir varsayım olmaktan çıkar. Yerine istatistiksel mekanik formülasyonları kullanılmalıdır.

Yüksek değerli Knudsen sayısı problemleri atmosfer içindeki bir toz taneciğinin hareketi ya da bir uydunun eksosfer içindeki hareketi benzeri konuları içerir. Knudsen sayısı için en önemli işlev alanları mikroakışkan ve mikro elektro-mekanik sistemler tasarımı alanlarıdır.

Bir hava taşıtı etrafındaki akışa ait Knudsen sayısı düşüktür ve bu durum, bu ve buna benzer problemleri sürekli ortamlar mekaniği konusu haline getirir.

Knudsen sayısı, ayrıca, Stokes' yasasındaki Cunningham düzeltme faktöründe (küçük parçacıkların ilgili cisim üzerinde kayması nedeniyle oluşan sürükleme katsayısındaki değişiklik)(çapı d_p < 5 µm'den ufak parçacıklar için) düzenleme yapmak için kullanılabilir.