Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Bu madde, uygun değildir. (Mayıs 2017) |
Diğer interpolasyon yöntemleri ile aynı olan amacı, belli bir fonksiyonun ayrık parçalarının (noktalarının) bilgilerini kullanarak, aynı fonksiyonun bilinmeyen başka noktaları için bir veri elde etmektir.
Sınırlı bir fonksiyon ya da fonksiyonun belirli sınırları içinde işlem yapılır. Sınır noktaları belirli ve sabittir.Her bir Xi ve Xi+1 değeri arasında kalan bölge S
olarak adlandırılır ve buna kübik spline interpolantı denir. Bu interpolant aşağıdaki koşulları sağlar;
Koşullar
1.S(x) [Tüm S'ler]bir kübik polinomdur ve her bir alt aralık [Xi, Xi+1] için Sk [k=0,1,2.... n-1] olarak gösterilir.
2.Sk(xk)=f(xk) ve Sk(xk+1)=f(xk+1) [k=0,1,2...n-1].
3.Sk+1(xk+1)=Sk(xk+1) [k=0,1,2....n-2] ==>Açıkça görülüyor ki bir herhangi bir aralığın ilk noktası bir önceki aralığın son noktasıdır.
4.S'k+1(xk+1)=S'k(xk+1) [k=0,1,2....n-2]==> 3. eşitlikten bu iki noktanın fonksiyon üzerinde aynı olduğunu göstermiştik. Aynı nokta olduklarından dolayı açıktır ki alınan
eğimler (türevler) de eşittir.
5.Sk+1(xk+1)=S'k(xk+1)[k=0,1,2.....n-2]==>3 ve 4. eşitliğe bakarsak noktaların ve eğimlerin de aynı olduğunu görürüz. Buna bağlı olarak 2. türevleri yani konvekslik veya
konkavlıkları da aynıdır.
6.Aşağıdaki sınır koşullarından bir tanesi doğru olarak kabul edilir. Bunun nedeni bilinmeyen sayısı ile denklem sayısını eşitlemektir. Burada x0 ve xn sınır noktalarıdır.
•S(x0)=S(xn) => Doğal kübik spline. [İlk ve son noktanın 2. türevleri eşit alınır.]
•S'(x0)=f'(x0) ve S'(xn)=f'(xn) => Kenetli kübik spline.
Çıkarım
Sk(x)=ak+bk(x-xk)+ck(x-xk)2+dk(x-xk)3 [k=0,1,2....n-1] {1. denklem}
Sk(xk)=ak=f(xk) [2. koşuldan dolayı]
Sk+1(xk+1)=ak+1=Sk(xk+1) [3. koşuldan dolayı]
ak+1=ak+bk(xk+1-xk)+ck(xk+1-xk)2+dk(xk+1-xk)3 [k=0,1,2.....n-2] {2. denklem}
hk=(xk+1-xk) {3. denklem}
ak+1=ak+bk hk+ck hk2+dk hk3 [k=0,1,2....n-2] {4. denklem}
not: ak=f(xk)
S'k(x)=bk+2ck(x-xk)+3dk(x-xk)2 [k=0,1,2....n-1] {5. denklem}
S'k(xk)=bk [k=0,1,2....n-1] {6. denklem}
S'k+1(xk+1)=S'k(xk+1)=bk+1 [k=0,1,2....n-2][4. koşuldan dolayı]{7. denklem}
not: bk=S'(xk)
Sk(x)= 2ck + 6dk(x-xk) [k=0,1,2...n-1] {8. denklem}
Sk(xk)= 2ck [k=0,1,2.....n-1] {9. denklem}
ck+1= Sk+1(xk+1)/2== Sk (xk+1)/2 [5. koşuldan dolayı]
ck+1=ck+3dkhk [k=0,1,2....n-2] {10. denklem}
not: ck=S(xk)/2
[10. denklemden dolayı]===> dk=(ck+1-ck)/3hk {11. denklem}
[4. ve 11. denklemlerden dolayı] ===> ak+1=ak+bkhk+ckhk2+[(ck+1-ck)/3hk]hk3
=> ak+1 = ak+bkhk+hk2(2ck+ck+1)/3 {12. denklem}
[7. ve 11. denklemlerden dolayı]===> bk+1=bk+2ckhk+3hk2[(ck+1-ck)/3hk]
=> bk+1 = bk+hk(ck+ck+1) {13. denklem}
[12. denklemden dolayı] ===> bk=[(ak+1-ak)/hk] -hk(2ck+ck+1)/3 {14. denklem}
[14. denklemden dolayı] ===> bk-1=[(ak-ak-1)/hk-1] -hk-1(2ck-1+ck)/3 {15. denklem}
[15. denklemden dolayı] ===> bk = bk-1+hk+(ck-1+ck)
[14. ve 15. denklemklerden dolayı] ===>
[(ak+1-ak)/hk] -hk(2ck+ck+1)/3 = [(ak-ak-1)/hk-1] -hk-1(2ck-1+ck)/3 +hk-1(ck-1+ck)
==> [3(ak+1-ak)/hk]-[3(ak-ak-1)/hk-1]=hk(2ck+ck+1)-hk-1(ck-1+ck)+3hk-1(ck-1+ck)
=> hk-1ck-1+2(hk-1+hk)ck+hkck+1 = 3(ak+1-ak)/hk-3(ak-ak-1)/hk-1 {16. denklem}
Bu 16 denklemin sonucu olarak artık sistemde bilinmeyen olarak sadece ck'lar [k=0,1,2....n] kalır ve bk ile dk'lar ck cinsinden yazılır. Bu şekilde ck'ların bulunması ile birlikte 11 ve 14. denklemlerden dk ve bk'lar da bulunur. hk ve ak'lar ise zaten fonksiyon üzerindeki xk'lar ve onların değerlerine bakarak belirlenir. [ak=f(xk) ve hk=xk+1-xk] Bu şekilde tüm a, b, c ve d değerlerinin bulunması ile kübik polinom olan Sk(x)[k=0,1,2..n-1] bulunur. Bu noktadan itibaren tek problem ck'ların bulunmasıdır. 16. denklemden ck'ların ak'lar üzerinden bulunmasının sağlanması için her a ve c değerlerinin tek olması gerekmektedir. 6. koşul göz önüne alındığında ise istenilen şartlar tamamlanmış olunur.
Algoritma
1. x0,x1...xn ve f(x0),f(x1)....f(xn)==> Girilecek değerler.
2. hi=xi+1-xi [i=0,1,2...n]
3. Ri=3(ai+1-ai)/hi-3(ai-ai-1)/hi-1 [i=0,1,2...n]
4. l0=1,M0=0,Z0=0
5. i=1,....n-1 D0
li=2(xi+1-xi-1)-hi-1*Mi-1 Mi=hi/li Zi=(Ri-hi-1*zi-1)/li
6. ln=1,Zn=0, cn=0
7. P=n-1,n-2....0
cj=-Zj-Mj*cj+1 bj=(aj+1-aj)/hj-hj(cj+1+2cj)/3 dj=(cj+1-cj)/3hj
8. S'in yapılanması (construct).
 | Matematik ile ilgili bu madde seviyesindedir. Madde içeriğini genişleterek Vikipedi'ye katkı sağlayabilirsiniz. |
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Bu madde Vikipedi bicem el kitabina uygun degildir Maddeyi Vikipedi standartlarina uygun bicimde duzenleyerek Vikipedi ye katkida bulunabilirsiniz Gerekli duzenleme yapilmadan bu sablon kaldirilmamalidir Mayis 2017 Diger interpolasyon yontemleri ile ayni olan amaci belli bir fonksiyonun ayrik parcalarinin noktalarinin bilgilerini kullanarak ayni fonksiyonun bilinmeyen baska noktalari icin bir veri elde etmektir Sinirli bir fonksiyon ya da fonksiyonun belirli sinirlari icinde islem yapilir Sinir noktalari belirli ve sabittir Her bir Xi ve Xi 1 degeri arasinda kalan bolge S olarak adlandirilir ve buna kubik spline interpolanti denir Bu interpolant asagidaki kosullari saglar Kubik Spline GrafikKosullar1 S x Tum S ler bir kubik polinomdur ve her bir alt aralik Xi Xi 1 icin Sk k 0 1 2 n 1 olarak gosterilir 2 Sk xk f xk ve Sk xk 1 f xk 1 k 0 1 2 n 1 3 Sk 1 xk 1 Sk xk 1 k 0 1 2 n 2 gt Acikca goruluyor ki bir herhangi bir araligin ilk noktasi bir onceki araligin son noktasidir 4 S k 1 xk 1 S k xk 1 k 0 1 2 n 2 gt 3 esitlikten bu iki noktanin fonksiyon uzerinde ayni oldugunu gostermistik Ayni nokta olduklarindan dolayi aciktir ki alinan egimler turevler de esittir 5 Sk 1 xk 1 S k xk 1 k 0 1 2 n 2 gt 3 ve 4 esitlige bakarsak noktalarin ve egimlerin de ayni oldugunu goruruz Buna bagli olarak 2 turevleri yani konvekslik veya konkavliklari da aynidir 6 Asagidaki sinir kosullarindan bir tanesi dogru olarak kabul edilir Bunun nedeni bilinmeyen sayisi ile denklem sayisini esitlemektir Burada x0 ve xn sinir noktalaridir S x0 S xn gt Dogal kubik spline Ilk ve son noktanin 2 turevleri esit alinir S x0 f x0 ve S xn f xn gt Kenetli kubik spline CikarimSk x ak bk x xk ck x xk 2 dk x xk 3 k 0 1 2 n 1 1 denklem Sk xk ak f xk 2 kosuldan dolayi Sk 1 xk 1 ak 1 Sk xk 1 3 kosuldan dolayi ak 1 ak bk xk 1 xk ck xk 1 xk 2 dk xk 1 xk 3 k 0 1 2 n 2 2 denklem hk xk 1 xk 3 denklem ak 1 ak bk hk ck hk2 dk hk3 k 0 1 2 n 2 4 denklem not ak f xk S k x bk 2ck x xk 3dk x xk 2 k 0 1 2 n 1 5 denklem S k xk bk k 0 1 2 n 1 6 denklem S k 1 xk 1 S k xk 1 bk 1 k 0 1 2 n 2 4 kosuldan dolayi 7 denklem not bk S xk Sk x 2ck 6dk x xk k 0 1 2 n 1 8 denklem Sk xk 2ck k 0 1 2 n 1 9 denklem ck 1 Sk 1 xk 1 2 Sk xk 1 2 5 kosuldan dolayi ck 1 ck 3dkhk k 0 1 2 n 2 10 denklem not ck S xk 2 10 denklemden dolayi gt dk ck 1 ck 3hk 11 denklem 4 ve 11 denklemlerden dolayi gt ak 1 ak bkhk ckhk2 ck 1 ck 3hk hk3 gt ak 1 ak bkhk hk2 2ck ck 1 3 12 denklem 7 ve 11 denklemlerden dolayi gt bk 1 bk 2ckhk 3hk2 ck 1 ck 3hk gt bk 1 bk hk ck ck 1 13 denklem 12 denklemden dolayi gt bk ak 1 ak hk hk 2ck ck 1 3 14 denklem 14 denklemden dolayi gt bk 1 ak ak 1 hk 1 hk 1 2ck 1 ck 3 15 denklem 15 denklemden dolayi gt bk bk 1 hk ck 1 ck 14 ve 15 denklemklerden dolayi gt ak 1 ak hk hk 2ck ck 1 3 ak ak 1 hk 1 hk 1 2ck 1 ck 3 hk 1 ck 1 ck gt 3 ak 1 ak hk 3 ak ak 1 hk 1 hk 2ck ck 1 hk 1 ck 1 ck 3hk 1 ck 1 ck gt hk 1ck 1 2 hk 1 hk ck hkck 1 3 ak 1 ak hk 3 ak ak 1 hk 1 16 denklem Bu 16 denklemin sonucu olarak artik sistemde bilinmeyen olarak sadece ck lar k 0 1 2 n kalir ve bk ile dk lar ck cinsinden yazilir Bu sekilde ck larin bulunmasi ile birlikte 11 ve 14 denklemlerden dk ve bk lar da bulunur hk ve ak lar ise zaten fonksiyon uzerindeki xk lar ve onlarin degerlerine bakarak belirlenir ak f xk ve hk xk 1 xk Bu sekilde tum a b c ve d degerlerinin bulunmasi ile kubik polinom olan Sk x k 0 1 2 n 1 bulunur Bu noktadan itibaren tek problem ck larin bulunmasidir 16 denklemden ck larin ak lar uzerinden bulunmasinin saglanmasi icin her a ve c degerlerinin tek olmasi gerekmektedir 6 kosul goz onune alindiginda ise istenilen sartlar tamamlanmis olunur Algoritma1 x0 x1 xn ve f x0 f x1 f xn gt Girilecek degerler 2 hi xi 1 xi i 0 1 2 n 3 Ri 3 ai 1 ai hi 3 ai ai 1 hi 1 i 0 1 2 n 4 l0 1 M0 0 Z0 0 5 i 1 n 1 D0 li 2 xi 1 xi 1 hi 1 Mi 1 Mi hi li Zi Ri hi 1 zi 1 li 6 ln 1 Zn 0 cn 0 7 P n 1 n 2 0 cj Zj Mj cj 1 bj aj 1 aj hj hj cj 1 2cj 3 dj cj 1 cj 3hj 8 S in yapilanmasi construct Matematik ile ilgili bu madde taslak seviyesindedir Madde icerigini genisleterek Vikipedi ye katki saglayabilirsiniz