Küresel kapak

Küresel kapak veya küresel kubbe geometride bir terimdir. Bir kürenin bir kısmı ve bir ile kesilir. Eğer düzlem kürenin merkezinden geçer, böylece kapağın yüksekliği kürenin yarıçapına eşittir, küresel kapağa bir denir.

Dairesel kapak mor kesittir.

Hacim ve yüzey alanı

Eğer kapağın tabanının yarıçapı ${\displaystyle a}$ ve kapağın yüksekliği ${\displaystyle h}$ ise küresel kapağın hacimi

${\displaystyle V={\frac {\pi h}{6}}(3a^{2}+h^{2}),}$ dir

ve küresel kapağın eğri yüzey bölgesidir

${\displaystyle A=2\pi rh.}$

${\displaystyle h}$ ve ${\displaystyle r}$ arası ilişki sürece ilgisizdir ${\displaystyle h>0}$ ve ${\displaystyle h<2r}$. Açıklamada mavi bölüm ayrıca küresel bir başlıktır..

Parametreler ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle h}$ ve ${\displaystyle r}$ bağımsız değildir:

${\displaystyle r^{2}=(r-h)^{2}+a^{2}=r^{2}+h^{2}-2rh+a^{2},}$

${\displaystyle r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}}$.

Bu bölge formülü içinde yerine konarak verilirse:

${\displaystyle A=2\pi {\frac {(a^{2}+h^{2})}{2h}}h=\pi (a^{2}+h^{2}).}$

Ayrıca diyagramın üst yarıküre içinde, ${\displaystyle \scriptstyle h=r-{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}}$ ve in the alt yarıküre ${\displaystyle \scriptstyle h=r+{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}}$; bundan dolayı in ya da yarıküre ${\displaystyle \scriptstyle a={\sqrt {h(2r-h)}}}$ ve böylece hacim için bir alternatif bağıntı

${\displaystyle V={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)}$.

Uygulamalar

buradaki tüm noktaların hacmi kesişen iki küreler r₁ ve r₂ yarıçaplarının en az birindedir

${\displaystyle V=V^{(1)}-V^{(2)}}$,

burada

${\displaystyle V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r_{2}^{3}}$

iki yalıtılmış kürenin toplamıdır ve

${\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi h_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-h_{1})+{\frac {\pi h_{2}^{2}}{3}}(3r_{2}-h_{2})}$

kesişmiş iki küresel kapakların toplamıdır. Eğer d <r₁+r₂ iki küre merkezleri arası uzunluk, değikenlerin eliminasyonu h₁ ve h₂ yoluyla

${\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi }{12d}}(r_{1}+r_{2}-d)^{2}[d^{2}+2d(r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}].}$

Genelleştirme

Diğer katı kesitleri

küresel kubbe bir kapalı bölgesi ile elde edilir böylece the resulting kubbe is rotasyonun bir ekseni var) ve elipsoide kubbeye benzer türetilir.

Hiperküresel kapak

Genel olarak,${\displaystyle h}$ yüksekliğinin bir hiperküresel kapağın ve yarıçapı ${\displaystyle n}$-boyutlu hacmi ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n}$-boyutlu Öklidyen uzay içinde:${\displaystyle V={\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}\,r^{n}}{\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}}\int \limits _{0}^{\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)}\sin ^{n}(t)\,\mathrm {d} t}$ ile verilir. burada ${\displaystyle \Gamma }$ (gama fonksiyonu) ile ${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t}$ verilir.

formül için ${\displaystyle V}$ birim hacim terimlerinin içinde ifade edilebilir ${\displaystyle C_{n}={\scriptstyle \pi ^{n/2}/\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}}$ ve hipergeometrik fonksiyon ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$ veya ${\displaystyle I_{x}(a,b)}$as

${\displaystyle V=C_{n}\,r^{n}\left({\frac {1}{2}}\,-\,{\frac {r-h}{r}}\,{\frac {\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma [{\frac {n+1}{2}}]}}{\,\,}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1-n}{2}};{\tfrac {3}{2}};\left({\tfrac {r-h}{r}}\right)^{2}\right)\right)={\frac {1}{2}}C_{n}\,r^{n}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$ ,

ve ${\displaystyle A}$ bölge formülü birim bölgenin terimleri içinde ifade edilebilir ${\displaystyle A_{n}={\scriptstyle 2\pi ^{n/2}/\Gamma [{\frac {n}{2}}]}}$ nin bölgenin as

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}A_{n}\,r^{n-1}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n-1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$ ,

burada ${\displaystyle \scriptstyle 0\leq h\leq r}$.

Ayrıca bakınız

• -benzer 2D nesne.
• -n-küre kapaklar için formül içerir

Kaynakça

1. ^ Connolly, Michael L. (1985). "Computation of molecular volume". J. Am. Chem. Soc. ss. 1118-1124. doi:10.1021/ja00291a006. 
2. ^ Pavani, R.; Ranghino, G. (1982). "A method to compute the volume of a molecule". Comput. Chem. doi:10.1016/0097-8485(82)80006-5. 
3. ^ Bondi, A. (1964). "van der Waals volumes and radii". J. Phys. Chem., 68. ss. 441-451. doi:10.1021/j100785a001. 
4. ^ Li, S. (2011). "Concise Formulas for the Area and Volume of a Hyperspherical Cap". Asian J. Math. Stat. 4 (1): 66–70. doi:10.3923/ajms.2011.66.70

• Richmond, Timothy J. (1984). "Solvent accessible surface area and excluded volume in proteins: Analytical equation for overlapping spheres and implications for the hydrophobic effect". J. Molec. Biol. 178 (1). ss. 63-89. doi:10.1016/0022-2836(84)90231-6. 
• Lustig, Rolf (1986). "Geometry of four hard fused spheres in an arbitrary spatial configuration". Mol. Phys. 59 (2). ss. 195-207. Bibcode:1986MolPh..59..195L. doi:10.1080/00268978600102011. 
• Gibson, K. D.; Scheraga, Harold A. (1987). "Volume of the intersection of three spheres of unequal size: a simplified formula". J. Phys. Chem. 91 (15). ss. 4121-4122. 
• Gibson, K. D.; Scheraga, Harold A. (1987). "Exact calculation of the volume and surface area of fused hard-sphere molecules with unequal atomic radii". Mol. Phys. 62 (5). ss. 1247-1265. Bibcode:1987MolPh..62.1247G. doi:10.1080/00268978700102951. 
• Petitjean, Michel (1994). "On the analytical calculation of van der Waals surfaces and volumes: some numerical aspects". Int. J. Quant. Chem. 15 (5). ss. 507-523. 
• Grant, J. A.; Pickup, B. T. (1995). "A Gaussian description of molecular shape". J. Phys. Chem. 99 (11). ss. 3503-3510. doi:10.1021/j100011a016. 
• Busa, Jan; Dzurina, Jozef; Hayryan, Edik; Hayryan, Shura (2005). "ARVO: A fortran package for computing the solvent accessible surface area and the excluded volume of overlapping spheres via analytic equations". Comp. Phys. Commun. Cilt 165. ss. 59-96. Bibcode:2005CoPhC.165...59B. doi:10.1016/j.cpc.2004.08.002. 
• Li, S. (2011). "Concise Formulas for the Area and Volume of a Hyperspherical Cap". Asian J. Math. Stat. 4 (1). ss. 66-70. doi:10.3923/ajms.2011.66.70. .

Dış bağlantılar

Wikimedia Commons'ta Küresel kapak ile ilgili ortam dosyaları bulunmaktadır.

• , derivation and some additional formulas
• Online calculator for spherical cap volume and area 9 Temmuz 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Summary of spherical formulas 3 Şubat 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.