Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Lineer interpolasyon, lineer polinomlar kullanarak, verilerin bilindiği noktalardan yeni verilerin üretilmesini sağlayan bir eğri uydurma metodudur.
Bilinen iki nokta arasında lineer interpolasyon
Koordinatları 
ve 
olan bilinen iki nokta arasındaki düz çizgi, lineer interpolant olarak isimlendirilir. 
aralığındaki bir x değeri için, düz çizgi üzerindeki y değeri aşağıdaki denklem ile verilir:
Bu denklem, geometrik olarak sağdaki figürden türetilebilir. Lineer interpolasyon, n = 1'e ait özel çözümüdür.
Yukarıdaki denklem x'e ait bir bilinmeyen olan y değeri için çözülürse:
Bu formül, aralığı için lineer interpolasyon formülüdür. Aralığın dışında ise, formül formülü haline gelir.
Bu formül, aynı zamanda, ağırlıklı ortalama (İng. "weighted average") olarak düşünülebilir. Ağırlıklar değer aralığı uç noktalarından bilinmeyen noktaya olan uzaklıkla ters orantılıdır. Bir başka deyişle, yakın bir nokta uzak bir noktaya göre daha fazla ağırlığa (etkiye) sahiptir.
Ağırlıklar, 
ve 
olarak ifade edilebilir. Bu terimler, bilinmeyen noktadan, değer aralığı uç noktalarına olan normalize uzaklıktır. Terimlerin toplamı 1'e eşit olduğundan, yukarıda elde edilen lineer interpolasyon formülü şu şekilde türetilebilir:
Bir data setinin interpolasyonu
(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)'den oluşan bir data setinin lineer interpolasyonu, dataya ait nokta çiftlerinden oluşan lineer interpolantların uç uca eklenmesi olarak tanımlanır. Bu, türevi (genellikle) süreksiz, diferansiyellenebilirlik sınıfı 
olan bir üretir.
Yaklaşım (approximation) olarak lineer interpolasyon
Lineer interpolasyon, sıkça, iki noktada değeri bilinen bir f fonksiyonunun bir değerini yaklaşık olarak hesaplamakta kullanılır. Bu yaklaşıma ait hata (İng. "error") aşağıdaki gibi tanımlanır:
Bu denklemde, p lineer interpolasyonun polinomudur:
Hata sınırları, eğer f sürekli bir ikinci türeve sahipse, kullanılarak aşağıdaki gibi hesaplanabilir:
Görüleceği üzere, bir fonksiyona ait iki nokta arasındaki bir yaklaşımın niteliği, fonksiyonun ikinci türevine bağlıdır. Dolayısıyla, sert ve çok kıvrımlara sahip bir fonksiyon, az kıvrımlara sahip bir fonksiyona göre, lineer interpolasyonla, daha az bir nitelikte bir (kötü) yaklaşımı üretilebilir.
Uygulamalar
Lineer interpolasyon, genellikle bir değer tablosundaki ara boşlukları doldurmak için kullanılır. Örneğin, bir ülkenin 1970, 1980, 1990 ve 2000 yılındaki nüfusunu veren bir tablodan, 1994 senesi nüfusunu tahmin etmek, lineer interpolasyon ile mümkün olabilir.
Yanı sıra, bilgisayar grafik uygulamalarında lineer interpolasyon sıklıkla kullanılır. Lineer interpolasyon, bu konunun teknik jargonunda, bazen lerp olarak adlandırılır. Bu terim, İngilizcede fiil ya da isim olarak kullanılabilir: ör. "Bresenham's algorithm lerps incrementally between the two endpoints of the line."
Lerp fonksiyonu, tüm modern bilgisayar grafik işlemcilerinin donanımına yükleniktir. Sıklıkla, bunlar daha karmaşık fonksiyonların yapıtaşı olarak kullanılır: örneğin, bir bilineer interpolasyon üç lerp ile tamamlanır. Bu fonksiyonun kullanılmasına, (kaynakları kullanma seviyesi olarak) ucuz ve kolay olduğu için, sürekli fonksiyonlarda hızlıca arabul için çok fazla maddeye (elemana ya da data noktasına) ihtiyaç duymadan doğruluk seviyesi yüksek bir başvuru çizelgesi yaratılmasında başvurulabilir.
Ek konular
Doğruluk
Eğer bir fonksiyonu yetersiz ise, örneğin 'dan daha çalkantısız data değerleri üreten bir process varsa, lineer interpolasyon çoğunlukla bağ interpolasyonu ile ya da bazı hallerde yer değiştirir.
Çok değişkenlilik
Lineer interpolasyon, buraya kadar sadece bir konumsal boyutlu (İng. "spatial dimension") data noktaları için açıklandı. İki konumsal boyut için (düzlem), lineer interpolasyon bilineer interpolasyona; üç konumsal boyut için (hacim) trilineer interpolasyona evrilir. Dikkat edilmesi gereken husus ise, bu interpolantların artık konumsal koordinatların olmadığıdır. Aksine, lineer fonksiyonların çarpımlarından müteşekkildirler.
Lineer interpolasyonun diğer dönüşmüş tanımlarına, üçgensel ve dörtyüzlü meşlerde, örneğin 'nde rastlanabilir. Bu dönüşümler, çok-boyutlu parçalı lineer fonksiyon olarak adlandırılır (en alt figüre bakınız).
Tarihçe
Antik dönemlerden beri lineer interpolasyon kullanılmaktadır. Başlıca kullanım gereği astronomi data setlerindeki boşlukların doldurulmasıdır.
Babilli astronom ve matematikçilerin Seleukos Mezopotamyası'nda (milattan önce son üç yüzyıl) ve Yunan astronom ve matematikçi Hipparkos'un (M.Ö. 200 civarı) lineer interpolasyon kullanmış olduğu düşünülmektedir.
Lineer interpolasyonun bir tanımı/açıklaması Ptolemy'in Almagest adlı eserinde (M.S. 200 civarı) yer alır.
Programlama dillerinde
Pek çok library, lerp fonksiyonunu içerir: ör. verilen iki girdiden (v0,v1) kapalı birim aralık [0,1] içinde yer alan bir parametre (t) için interpolasyon çıktı edilebilir:
// Imprecise method which does not guarantee v = v1 when t = 1, due to floating-point arithmetic error. // This form may be used when the hardware has a native Fused Multiply-Add instruction. float lerp(float v0, float v1, float t) { return v0 + t*(v1-v0); } // Precise method which guarantees v = v1 when t = 1. float lerp(float v0, float v1, float t) { return (1-t)*v0 + t*v1; } Bu lerp fonksiyonu alpha blending için (parametre t, alpha değeridir) sıklıkla kullanılan bir fonksiyondur. Bu formülasyon, bir vektörün çoklu bileşenlerinin harmanlanması için genişletilebilir (ör. konumsal olarak x, y, z eksenlerinde veyahut r, g, b renk bileşenlerinde).
Ayrıca bakınız
Kaynakça
- Meijering, Erik (2002), "A chronology of interpolation: from ancient astronomy to modern signal and image processing", Proceedings of the IEEE, 90 (3), ss. 319-342, doi:10.1109/5.993400.
Dış bağlantılar
- Lineer İnterpolasyon Çevrimiçi Hesap Makinesi ve Görüntüleme Aracı 29 Ağustos 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- Doğru denklemi 19 Kasım 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Linear interpolation", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN
- Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Finite-increments formula", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN
- CUDA uygulamasının lineer interpolasyonu için bakınız: OrangeOwlSolutions 29 Eylül 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- Kullanılabilir 'nden bir örnek uygulama için:
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Lineer interpolasyon lineer polinomlar kullanarak verilerin bilindigi noktalardan yeni verilerin uretilmesini saglayan bir egri uydurma metodudur Iki kirmizi nokta datanin degerini bildigimiz koordinatlar ve mavi cizgi bu iki koordinat arasindaki lineer dogrudur x y noktasindaki bilmedigimiz data degeri iki kirmizi nokta degerlerinden lineer interpolasyon yontemiyle bulunabilir Bilinen iki nokta arasinda lineer interpolasyonBu geometrik gosterimde yesil noktanin degerinin kirmizi ve mavi noktalar arasi uzaklik ile carpimi kirmizi nokta degerinin yesil ve mavi noktalari arasi uzaklik ile carpimi ila mavi nokta degerinin yesil ve kirmizi noktalari arasi uzaklik ile carpiminin toplamina esittir Koordinatlari x0 y0 displaystyle x 0 y 0 ve x1 y1 displaystyle x 1 y 1 olan bilinen iki nokta arasindaki duz cizgi lineer interpolant olarak isimlendirilir x0 x1 displaystyle x 0 x 1 araligindaki bir x degeri icin duz cizgi uzerindeki y degeri asagidaki denklem ile verilir y y0x x0 y1 y0x1 x0 displaystyle frac y y 0 x x 0 frac y 1 y 0 x 1 x 0 Bu denklem geometrik olarak sagdaki figurden turetilebilir Lineer interpolasyon n 1 e ait ozel cozumudur Yukaridaki denklem x e ait bir bilinmeyen olan y degeri icin cozulurse y y0 x x0 y1 y0x1 x0 displaystyle y y 0 x x 0 frac y 1 y 0 x 1 x 0 Bu formul x0 x1 displaystyle x 0 x 1 araligi icin lineer interpolasyon formuludur Araligin disinda ise formul formulu haline gelir Bu formul ayni zamanda agirlikli ortalama Ing weighted average olarak dusunulebilir Agirliklar deger araligi uc noktalarindan bilinmeyen noktaya olan uzaklikla ters orantilidir Bir baska deyisle yakin bir nokta uzak bir noktaya gore daha fazla agirliga etkiye sahiptir Agirliklar x x0x1 x0 textstyle frac x x 0 x 1 x 0 ve x1 xx1 x0 textstyle frac x 1 x x 1 x 0 olarak ifade edilebilir Bu terimler bilinmeyen noktadan deger araligi uc noktalarina olan normalize uzakliktir Terimlerin toplami 1 e esit oldugundan yukarida elde edilen lineer interpolasyon formulu su sekilde turetilebilir y y0 1 x x0x1 x0 y1 1 x1 xx1 x0 y0 1 x x0x1 x0 y1 x x0x1 x0 displaystyle y y 0 left 1 frac x x 0 x 1 x 0 right y 1 left 1 frac x 1 x x 1 x 0 right y 0 left 1 frac x x 0 x 1 x 0 right y 1 left frac x x 0 x 1 x 0 right Bir data setinin interpolasyonuBir veri seti kirmizi noktalar lineer interpolasyonu lineer interpolant parcalarindan mavi cizgiler olusur x0 y0 x1 y1 xn yn den olusan bir data setinin lineer interpolasyonu dataya ait nokta ciftlerinden olusan lineer interpolantlarin uc uca eklenmesi olarak tanimlanir Bu turevi genellikle sureksiz diferansiyellenebilirlik sinifi C0 displaystyle C 0 olan bir uretir Yaklasim approximation olarak lineer interpolasyonLineer interpolasyon sikca iki noktada degeri bilinen bir f fonksiyonunun bir degerini yaklasik olarak hesaplamakta kullanilir Bu yaklasima ait hata Ing error asagidaki gibi tanimlanir RT f x p x displaystyle R T f x p x Bu denklemde p lineer interpolasyonun polinomudur p x f x0 f x1 f x0 x1 x0 x x0 displaystyle p x f x 0 frac f x 1 f x 0 x 1 x 0 x x 0 Hata sinirlari eger f surekli bir ikinci tureve sahipse kullanilarak asagidaki gibi hesaplanabilir RT x1 x0 28maxx0 x x1 f x displaystyle R T leq frac x 1 x 0 2 8 max x 0 leq x leq x 1 f x Gorulecegi uzere bir fonksiyona ait iki nokta arasindaki bir yaklasimin niteligi fonksiyonun ikinci turevine baglidir Dolayisiyla sert ve cok kivrimlara sahip bir fonksiyon az kivrimlara sahip bir fonksiyona gore lineer interpolasyonla daha az bir nitelikte bir kotu yaklasimi uretilebilir UygulamalarLineer interpolasyon genellikle bir deger tablosundaki ara bosluklari doldurmak icin kullanilir Ornegin bir ulkenin 1970 1980 1990 ve 2000 yilindaki nufusunu veren bir tablodan 1994 senesi nufusunu tahmin etmek lineer interpolasyon ile mumkun olabilir Yani sira bilgisayar grafik uygulamalarinda lineer interpolasyon siklikla kullanilir Lineer interpolasyon bu konunun teknik jargonunda bazen lerp olarak adlandirilir Bu terim Ingilizcede fiil ya da isim olarak kullanilabilir or Bresenham s algorithm lerps incrementally between the two endpoints of the line Lerp fonksiyonu tum modern bilgisayar grafik islemcilerinin donanimina yukleniktir Siklikla bunlar daha karmasik fonksiyonlarin yapitasi olarak kullanilir ornegin bir bilineer interpolasyon uc lerp ile tamamlanir Bu fonksiyonun kullanilmasina kaynaklari kullanma seviyesi olarak ucuz ve kolay oldugu icin surekli fonksiyonlarda hizlica arabul icin cok fazla maddeye elemana ya da data noktasina ihtiyac duymadan dogruluk seviyesi yuksek bir basvuru cizelgesi yaratilmasinda basvurulabilir Ek konularLineer bilineer ve 1 ila 2 boyutlu interpolasyonlarin mukayesesi Sirasi ile siyah ve kirmizi sari yesil mavi noktalar interpole edilmis nokta ile komsu noktalari gostermektedir Yukseklikler noktalarin degerlerini temsil etmektedir Dogruluk Eger bir fonksiyonu yetersiz ise ornegin dan daha calkantisiz data degerleri ureten bir process varsa lineer interpolasyon cogunlukla bag interpolasyonu ile ya da bazi hallerde yer degistirir Cok degiskenlilik Lineer interpolasyon buraya kadar sadece bir konumsal boyutlu Ing spatial dimension data noktalari icin aciklandi Iki konumsal boyut icin duzlem lineer interpolasyon bilineer interpolasyona uc konumsal boyut icin hacim trilineer interpolasyona evrilir Dikkat edilmesi gereken husus ise bu interpolantlarin artik konumsal koordinatlarin olmadigidir Aksine lineer fonksiyonlarin carpimlarindan mutesekkildirler Lineer interpolasyonun diger donusmus tanimlarina ucgensel ve dortyuzlu meslerde ornegin nde rastlanabilir Bu donusumler cok boyutlu parcali lineer fonksiyon olarak adlandirilir en alt figure bakiniz Birim bir kare uzerindeki bir bilineer interpolasyon ornegi z degerleri 0 1 1 ve 0 5 tir Interpolasyon degerleri renkle gosterilmistir Iki boyutta bir parcali lineer fonksiyon ustte ve lineer formda konveks cokgenler altta TarihceAntik donemlerden beri lineer interpolasyon kullanilmaktadir Baslica kullanim geregi astronomi data setlerindeki bosluklarin doldurulmasidir Babilli astronom ve matematikcilerin Seleukos Mezopotamyasi nda milattan once son uc yuzyil ve Yunan astronom ve matematikci Hipparkos un M O 200 civari lineer interpolasyon kullanmis oldugu dusunulmektedir Lineer interpolasyonun bir tanimi aciklamasi Ptolemy in Almagest adli eserinde M S 200 civari yer alir Programlama dillerindePek cok library lerp fonksiyonunu icerir or verilen iki girdiden v0 v1 kapali birim aralik 0 1 icinde yer alan bir parametre t icin interpolasyon cikti edilebilir Imprecise method which does not guarantee v v1 when t 1 due to floating point arithmetic error This form may be used when the hardware has a native Fused Multiply Add instruction float lerp float v0 float v1 float t return v0 t v1 v0 Precise method which guarantees v v1 when t 1 float lerp float v0 float v1 float t return 1 t v0 t v1 Bu lerp fonksiyonu alpha blending icin parametre t alpha degeridir siklikla kullanilan bir fonksiyondur Bu formulasyon bir vektorun coklu bilesenlerinin harmanlanmasi icin genisletilebilir or konumsal olarak x y z eksenlerinde veyahut r g b renk bilesenlerinde Ayrica bakinizBilineer interpolasyon Trilineer interpolasyonKaynakcaMeijering Erik 2002 A chronology of interpolation from ancient astronomy to modern signal and image processing Proceedings of the IEEE 90 3 ss 319 342 doi 10 1109 5 993400 Dis baglantilarLineer Interpolasyon Cevrimici Hesap Makinesi ve Goruntuleme Araci 29 Agustos 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde Dogru denklemi 19 Kasim 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde Hazewinkel Michiel Ed 2001 Linear interpolation Encyclopaedia of Mathematics Kluwer Academic Publishers ISBN 978 1556080104 Hazewinkel Michiel Ed 2001 Finite increments formula Encyclopaedia of Mathematics Kluwer Academic Publishers ISBN 978 1556080104 CUDA uygulamasinin lineer interpolasyonu icin bakiniz OrangeOwlSolutions 29 Eylul 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde Kullanilabilir nden bir ornek uygulama icin