Azərbaycanca
Deutsch
日本語
Lietuvos
සිංහල
Türkçe
Українська
United State
Modüler aritmetik, tam sayılarda kullanılan bir hesap yöntemidir. Saatin her on iki saatte bir yinelenmesi gibi modül denen belli bir değere gelindiğinde yeniden sıfıra dönülmesiyle olur.
Birçok eski kültürde insanlar modüler aritmetikte söz etmişlerdir. buna örnek verilebilir. Çağdaş gösterimi ile tanımını Carl Friedrich Gauss açıklamıştır.
a ve b tam sayıları, verilen bir pozitif m sayısına bölündüğünde aynı kalanı veriyorsa ''a tam sayısı, b tam sayısına, m modülüne göre denktir." denir. a ≡ b mod(m) ile gösterilir. Başka bir söyleniş şekli ise a sayısının m sayısına bölümünden kalanın b olduğudur. Bunu cebirsel bir ifade ile yazarsak a=mk+b (k ∈ Z) olacaktır.
Modüler Aritmetiğin Özellikleri
a, b,c,k ∈ Z ve m, n ∈ Z+, m > 1 için;
1) a ± c ≡ b ± c (mod m) Her iki tarafa istenilen sayı eklenip çıkarılabilir.
2) a . c ≡ b . c (mod m) Her iki taraf istenilen sayı ile çarpılabilir.
3) an ≡ bn (mod m) Her iki tarafın n. dereceden üssü alınabilir.
4) a ± m.k ≡ b (mod m) Tek bir tarafa veya iki tarafa m sayısının k katı eklenip çıkarılabilir.
Örnekler
1) Modüler aritmetikte çok büyük sayıların kalanını bulmak çok kolaydır. Gerekli adımları takip ederek bunu yapmanız çok kolay olacaktır. Örneğin;
7^1881 ≡ ? mod(4)
7^1 ≡ 3 mod(4)
7^2 ≡ 1 mod(4)
7^3 ≡ 3 mod(4)
7^4 ≡ 1 mod(4)
Yukarıdaki ifade belli bir düzene göre gittiğinden (tek sayılı üsler için 3 ; çift sayılı üsler için 1 kalanı veriyor.) 7^1881=3 mod(4) olacaktır.
2) 58 * 17 + 13 ≡ ? mod (11)
3 * 6 + 2 ≡ ? mod(11)
20 ≡ 9 mod(11)
Böylece yukarıdaki toplam ve çarpım içeren ifadenin 11 e bölümünden kalan 9 olacaktır.
3) 444^9 * 2189 - 1999 ≡ ? mod(9) (9 a bölünebilme kuralı ile çözülebilir.)
3^9 * 2 - 1 ≡ ? mod(9)
0 - 1 ≡ ? mod(9)
? = 8 olacaktır.
Kaynakça
- ^ Richard Taylor (2012). "Modular Arithmetic: Driven by Inherent Beauty and Human Curiosity". Institute for Advanced Study. 3 Mart 2016 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 7 Mart 2013.
 | Matematik ile ilgili bu madde seviyesindedir. Madde içeriğini genişleterek Vikipedi'ye katkı sağlayabilirsiniz. |
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Moduler aritmetik tam sayilarda kullanilan bir hesap yontemidir Saatin her on iki saatte bir yinelenmesi gibi modul denen belli bir degere gelindiginde yeniden sifira donulmesiyle olur Analog saatlerin isleyisi moduler aritmetige ornektir 13 un modul 12 de karsiligi 1 oldugu icin saat 9 a 4 saat eklenmesiyle saat 1 olur Bircok eski kulturde insanlar moduler aritmetikte soz etmislerdir buna ornek verilebilir Cagdas gosterimi ile tanimini Carl Friedrich Gauss aciklamistir a ve b tam sayilari verilen bir pozitif m sayisina bolundugunde ayni kalani veriyorsa a tam sayisi b tam sayisina m modulune gore denktir denir a b mod m ile gosterilir Baska bir soylenis sekli ise a sayisinin m sayisina bolumunden kalanin b oldugudur Bunu cebirsel bir ifade ile yazarsak a mk b k Z olacaktir Moduler Aritmetigin Ozellikleri a b c k Z ve m n Z m gt 1 icin 1 a c b c mod m Her iki tarafa istenilen sayi eklenip cikarilabilir 2 a c b c mod m Her iki taraf istenilen sayi ile carpilabilir 3 an bn mod m Her iki tarafin n dereceden ussu alinabilir 4 a m k b mod m Tek bir tarafa veya iki tarafa m sayisinin k kati eklenip cikarilabilir Ornekler 1 Moduler aritmetikte cok buyuk sayilarin kalanini bulmak cok kolaydir Gerekli adimlari takip ederek bunu yapmaniz cok kolay olacaktir Ornegin 7 1881 mod 4 7 1 3 mod 4 7 2 1 mod 4 7 3 3 mod 4 7 4 1 mod 4 Yukaridaki ifade belli bir duzene gore gittiginden tek sayili usler icin 3 cift sayili usler icin 1 kalani veriyor 7 1881 3 mod 4 olacaktir 2 58 17 13 mod 11 3 6 2 mod 11 20 9 mod 11 Boylece yukaridaki toplam ve carpim iceren ifadenin 11 e bolumunden kalan 9 olacaktir 3 444 9 2189 1999 mod 9 9 a bolunebilme kurali ile cozulebilir 3 9 2 1 mod 9 0 1 mod 9 8 olacaktir Kaynakca Richard Taylor 2012 Modular Arithmetic Driven by Inherent Beauty and Human Curiosity Institute for Advanced Study 3 Mart 2016 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 7 Mart 2013 Matematik ile ilgili bu madde taslak seviyesindedir Madde icerigini genisleterek Vikipedi ye katki saglayabilirsiniz