Mutlak yakınsama

Matematikte eğer bir serinin terimlerinin mutlak değerlerinin toplamı yakınsak ise bu seri mutlak yakınsak olur. Daha iyi anlatmak gerekirse, gerçek veya karmaşık bir seri olan ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ serisinin terimlerinin mutlak değerlerinden oluşan ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$ serisi yakınsak ise (diğer bir deyişle herhangi bir ${\displaystyle \textstyle L}$ gerçel sayısı için${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=L}$ sağlanıyorsa.) bu seri mutlak yakınsaktır. Benzer şekilde eğer bir fonksiyonun has olmayan integrali,${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx}$, yine bu fonksiyonun mutlak değerinin integrali olan (herhangi bir ${\displaystyle \textstyle L}$ gerçel sayısı için)${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }|f(x)|dx=L}$ sağlanır ise bu integral mutlak yakınsaktır.

Mutlak yakınsaklık, serileri anlamak için önemlidir çünkü her yakınsak seride bulunmayan sonlu toplamların özelliklerini sağlar. Mutlak yakınsak serilerin terimlerinin yerleri değişse bile toplamın değeri değişmez. Mutlak yakınsak olmayan yakınsak serilere ise koşullu yakınsak seriler denir. Koşullu yakınsak serilerde ise terimlerin yerleriyle birlikte toplamın değeri de değişir. Örneğin ${\textstyle {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots }}$ serisi ${\displaystyle \ln 2}$ 'ye yakınsar lakin terimlerin yerleri değiştirildiğinde ${\textstyle 1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{4}}+\cdots }$ (ilk iki pozitif terim hemen ardından bir negatif terim) bu sefer toplam ${\textstyle {\frac {3}{2}}\ln 2}$'ye yakınsar.

Arka plan

Sonlu toplamlarda terimlerin toplanma sırası önemli değildir. 1 + 2 + 3, 3 + 2 + 1 ile aynıdır. Bununla birlikte sonsuz sayıda sayı eklerken bu varsayım bazı bariz paradokslara yol açabilir. Örneğin:

${\displaystyle S=1-1+1-1+1-1...}$

S kaçtır? S'yi bulmanın bir yolu öncelikle birinci ve ikinci olmak üzere ikişer ikişer gruplamaktır.

${\displaystyle S_{1}=(1-1)+(1-1)+(1-1)....=0+0+0...=0}$

Ancak S'yi bulmanın bir diğer yolu ise bu sefer iki ve üçüncüden başlayarak gruplamaktır.

${\displaystyle S_{2}=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)....=1+0+0+0...=1}$

Bu işlemler bariz bir paradoksa yol açıyor: ${\displaystyle S}$ 0'a mı yoksa 1'e mi eşit?

Bu sorunun cevabı ise S mutlak yakınsak olmadığından dolayı terimlerinin yerlerini değiştirmek toplamın da değerini değiştirecektir. Toplamın değeri değişeceğinden ${\displaystyle S_{1}}$ve ${\displaystyle S_{2}}$ birbirlerine eşit değildir. Ayrıca ${\displaystyle 1-1+1-1+...}$ yakınsak bir seri değildir ve en baştan S'nin bir değeri yoktur. Mutlak yakınsak bir seride bu problem ortadan kalkar, terimlerin yerlerini değiştirmek toplamın değerini değiştirmez.