Potansiyel kuyusu

Potansiyel kuyusu, bir parçacığın bağlı olması durumunu modelleyen sistemdir. Tek boyutta uygulanan potansiyel,

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0,&0<x<a\\\infty ,&{\mbox{diger }}\end{cases}}}$

şeklinde verilir. Burada parçacık görüldüğü üzere a genişlikli sonsuz kuyunun içine hapsolmuştur. Parçacık için Schrödinger denklemi yazılırsa:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=-{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+k^{2}\psi =0{\mbox{ , (I)}}}$

${\displaystyle k^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}{\mbox{ , (II)}}}$

${\displaystyle {\mbox{(I)}}\,}$ denklemin çözümü ise ${\displaystyle {\psi }_{\mbox{ic}}(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx)\,}$ olarak elde edilir. Bu, parçacığı kuyu içinde temsil eden dalga fonksiyonudur. Uygulanan potansiyel sonsuz olduğu için parçacığın dışarıda bulunması olasılığı sıfır olacağından, dışarıdaki dalga fonksiyonu ${\displaystyle {\psi }_{\mbox{dis}}(x)=0\,}$ olur. Sınırlarda iki dalga fonksiyonunun değerlerinin alacağı değerler birbirine eşit olmak zorunda olduğundan sınır koşulları ortaya çıkar.

• ${\displaystyle {\psi }_{\mbox{ic}}(0)={\psi }_{\mbox{dis}}(0)=0\,}$

${\displaystyle A\sin 0+B\cos 0=0\ {\mbox{ , }}B=0\,}$

${\displaystyle {\psi }_{\mbox{ic}}(x)=A\sin(kx)\,}$

• ${\displaystyle {\psi }_{\mbox{ic}}(a)={\psi }_{\mbox{dis}}(a)=0\,}$

${\displaystyle A\sin(ka)=0\,}$

${\displaystyle A\neq 0{\mbox{ , }}}$${\displaystyle \sin(ka)=0\,}$

${\displaystyle ka=n\pi \ {\mbox{ , }}k={\frac {n\pi }{a}}}$

${\displaystyle {\mbox{(II)}}\,}$ denklemi ile karşılaştırılırsa

${\displaystyle {\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}=k^{2}={\frac {n^{2}\pi ^{2}}{a^{2}}}}$

${\displaystyle E_{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}{\mbox{ , }}n=1,2,3...}$

elde edilir. Böylece bağlı durumdaki parçacıkların enerjilerinin kuantalandığı gösterilmiş olur zira parçacığın enerji seviyeleri ${\displaystyle E_{0}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}}$ olmak üzere bu enerjinin tam katlarıdır. ${\displaystyle E_{n}=n^{2}E_{0}{\mbox{ , }}n=1,2,3...\,}$

Diğer bir deyişle kuyudaki parçacığın enerjisi iki enerji seviyesi arasındaki enerjiyi alamaz. Bu yüzden enerjide süreksizlik vardır, bu duruma enerjinin kuantalanması denir.