Süper pozisyon ilkesi

Fizikte ve sistem teorisinde, süperpozisyon prensibi, tüm lineer sistemler için bir veya daha fazla uyarılar tarafından oluşan net tepki olarak belirtilen süper pozisyon özelliği olarak da bilinir. Kuantum mekaniğinde iki dolanık parçanın durumuna da süperpoziyon denilir (kuantum dolanıklığı). Bu uyarılar her bir uyarıcı tarafından tek tek meydana gelen uyarıların toplamıdır. Eğer giriş A, X tepkisini üretirse ve giriş B, Y tepkisini üretirse, sonuç olarak giriş (A+B), (X+Y) tepkisini üretir. Homojenlik ve eklenebilirlik özellikleri birlikte süperpozisyon prensibi olarak adlandırılır. Bir lineer fonksiyon süperpozisyon prensibini sağlayanlardan biridir ve şöyle tanımlanır:

Ördeklerin hareket ettiği noktadan uzak bir mesafeye kadar neredeyse düzlem dalgaların süper pozisyonu. Doğrusallık neredeyse sadece suda ve dalga boyuna göre daha küçük genlikli dalgalarda oluşur.

${\displaystyle F(x_{1}+x_{2}+\cdots )=F(x_{1})+F(x_{2})+\cdots \,}$ Eklenebilirlik

${\displaystyle F(ax)=aF(x)\,}$  Homojenlik

skaler a için.

Bu ilke fizikte ve mühendislikte birçok uygulamaya sahiptir çünkü birçok fiziksel sistem lineer sistem olarak modellenebilir. Örneğin, kiriş bir lineer sistem olarak modellenebilir. Kirişteki giriş uyarıcı yüktür ve çıkış tepkisi kirişteki dönüttür. Lineer sistemin önemi matematiksel olarak analizinin kolay olmasıdır. Matematik teknikleri, , gibi frekans bölmesi doğrusal iletim methodlarının büyük bir bölümüdür ve uygulanabilirler. Fiziksel sistemler genellikler yaklaşık doğrusal olduğundan, süperpozisyon prensibi sadece gerçek fiziksel davranışlara bir yaklaşımdır. Süper posizyon ilkesi cebirsel denklemler, lineer diferansiyel denklemler, sistem denklemleri ve bunlar gibi tüm lineer sistemlere uygulanabilir. Uyarıcı ve dönütler numara, fonksiyon, vektör, vektör alanları, zaman sinyalleri ya da belirli aksiyomları sağlayan her türlü konu olabilir. Şu unutulmamalıdır ki vektör ve vektör alanları olduğu zaman, süper pozisyon vektör toplamı olarak yorumlanır.

Fourier analizi ve benzeri yöntemlerle İlişkisi

Lineer sistemde uyaranlar ve dönütler basit, sadeleştirilmiş daha genel bir biçimde yazılırsa hesaplamak çok daha kolaylaşır. Örneğin; Fourier analizinde uyarıcılar birçok sinüzoidlerin süper pozisyonu olarak yazılabilir. Süperpozisyon prensibinden dolayı, bu sinüzoidlerin her biri ayrı ayrı analiz edilebilir ve bireysel dönütleri hesaplanabilir. (Dönütün kendisi aynı frekansla ama genellikle farklı dalga boyu ve fazıyla sinüzoidin kendisidir.) Süperpozisyon prensibine göre, orijinal uyarıcıya dönüt bireysel sinüzoidlerin dönütlerinin toplamına(ya da integraline) eşittir. Diğer bir yaygın örnek ise; Green’in fonksiyon analizinde, uyaranlar birçok dürtü işlevlerinin süper pozisyonu olarak yazılabilir ve dönüt de dürtü dönütlerinin süper pozisyonu olarak yazılabilir. Bilhassa Fourier analizi dalgalar için oldukça yaygın bir analizdir. Örneğin, elektromanyetik teoride, sıradan ışık düzlem dalgaların (sabit frekans, polarizasyon ve yön) süper pozisyonu olarak tanımlanır. Süperpozisyon prensibi uygulanabilir olduğu durumlarda (genellikle uygulanamaz; örneğin doğrusal olmayan optik), her bir ışık dalgasının davranışı düzlem dalgaların davranışlarının süper pozisyonu olarak anlamlandırılabilir.

Dalga süper pozisyonu

Aynı ortam boyunca doğrusal olarak zıt yönlerde hareket eden iki dalga. Bu animasyonda her iki dalga da aynı dalga boyu ve genliklerin toplamına sahip.

Dalgalar genellikle uzay ve zaman boyunca bazı parametrelerin varyasyonları olarak tanımlanır. Örneğin, su dalgasının yüksekliği, ses dalgasının basıncı ya da ışık dalgasının içindeki elektromanyetik alan. Bu parametrelerin değerleri dalganın genliği olarak adlandırılır ve dalganın kendisi genliğinin her noktada tanımlandığı fonksiyondur. Dalgalı her sistemde, belirtilen her andaki dalga kaynağın fonksiyonudur ve sistemin ilk durumudur (örneğin, dış kuvvetler eğer varsa, dalgayı yaratır veya etkiler). Her durumda da (örneğin, klasik dalga denklemleri) denklem dalgayı lineer olarak tanımlar. Bu durumun doğru olduğu zamanlarda süperpozisyon prensibi uygulanabilir. Bu da demek oluyor ki aynı ortamda iki veya daha fazla çapraz dalga geçişi tarafından gerçekleşen net genlik ayrı ayrı üretilen dalgaların genliklerinin toplamına eşittir. Örneğin, birbirine doğru hareket eden iki dalga birbirlerini saptırmadan diğer tarafa geçerler. (Üstteki resme bakınız)

Dalga Girişim – Dalga Kırılma

Richard Feynman dalga süper pozisyonunun önemi için şöyle yazmıştır: Hiç kimse dalga girişimi ve kırınımı arasındaki farkı tatmin edici bir şekilde açıklayamamıştır. Bu fark sadece görünümde bir soru olup aralarında belirli ve önemli bir fark yoktur. Söyleyerek verebileceğimiz en iyi cevap ise sadece birkaç kaynak varken örneğin iki karışan varsa sonuç genel olarak girişim, ancak daha fazla sayıda varsa kullanılan kelime kırınım sözcüğü daha sık olarak kullanılır. Diğer yazarlar ise şöyle detaylandırmışlardır: Farklılık kullanım ve toplanmadır. Eğer dalgalar üst üste tutarlı birkaç dalgadan meydana geliyorsa örneğin iki dalga, buna girişim denir. Diğer taraftan, eğer dalgalar küçük parçalar halinde üst üste meydana geliyorsa buna da kırınım denir. Bu farklılık iki olay arasındaki derece farkıdır ve süper pozisyon efektinin temel olarak belirleyici durumlarıdır. Yine başka kaynaklar şöyle ele alır: Young tarafından gözlendiği kadarıyla girişim saçakları çift yarık kırınım desenidir. Bu bölüm [Fraunhofer kırınımı],8. Bölümün devamı niteliğindedir. Diğer taraftan bazı gözlemciler Michelson girişim aracını kırınımın bir örneği olarak sayarlar. Kırınımın birkaç önemli kategorilerinden biri de dalga bölünmesine eş değer olabilen girişim aracıyla alakalıdır ve buna dayanarak Feynman’ın gözlemleri genlik bölünmesi ve dalga bölünmesi arasındaki farkı görmemizi sağlaması gibi bazı genişletilmiş zorlukları ifade eder.

Dalga Girişim

Dalgalar arasındaki girişim olgusu bu fikre dayanır. İki veya daha fazla dalga aynı ortama çapraz giriş yaptığı zaman, her noktadaki net genlik her bir dalganın bireysel olarak genliğinin toplamına eşittir. Bazı durumlarda, örneğin gürültü önleyici kulaklıklarda, toplam varyasyonlar bileşke varyasyonlarından daha küçük genliğe sahiptir. Buna yıkıcı girişim denir. Diğer bir durum ise, örneğin çizgi dizileri, toplam varyasyonlar her bir bireysel varyasyonların bileşkelerinden büyük genliğe sahip olabilir. Buna ise yapıcı girişim adı verilir.

birleştirilmiş dalgaformu
dalga 1
dalga 2
	İki dalga aşaması	Faz dışında iki dalga

Doğrusallıktan Kalkışlar

En gerçekçi fiziksel durumlarda, dalga yöneten denklem sadece yaklaşık doğrusaldır. Bu durumlarda, süperpozisyon prensibi yaklaşık olarak tutar. Kural olarak, yaklaşımın doğruluğu dalganın genliğini küçültmeye eğilimlidir. Süperpozisyon prensibinin tam olarak uygulanamayacağının ortaya çıktığı durumların örneklerinde doğrusal olmayan optik ve doğrusal olmayan akustik başlıklarını inceleyiniz.

Kuantum Süper pozisyonu

Kuantum mekaniğinde, temel görev belirli dalgaların nasıl yayılıp nasıl davranışta bulunacağını hesaplamaktır. Bu dalga, dalga fonksiyonu olarak adlandırılır ve dalganın davranışını yöneten denklem olarak adlandırılır. Dalga fonksiyonunun davranışını hesaplamak için ilk yaklaşım, başka belirli şekillerdeki dalga fonksiyonlarını-durağan durumlar, davranışları belirli olanlar- süper pozisyon (kuantum süper pozisyonu) şeklinde yazmaktır. Schrödinger’in dalga denklemi doğrusal olduğundan dolayı, orijinal dalganın davranışı süperpozisyon prensibi olarak bu yol ile hesaplanabilir.

Sınır Değer Problemler

Sınır değer problemlerinin yaygın çeşidi bazı denklemleri sağlayan y fonksiyonunu bulmadır.

${\displaystyle F(y)=0}$

Bazı sınırlar belirterek

${\displaystyle G(y)=z}$

Örneğin,Dirichlet sınırlı durumlar ile Laplace denkleminde, F, R bölgesindeki Laplace operatörü olsun, G, y yi R sınırları ile sınırlandıran operatör olsun ve z R’ın sınırlarında y ye eşit olmasını gerektiren fonksiyon olsun. Bu durumda F ve G ikisi de doğrusal operatördür. Bunun üzerine süperpozisyon prensibi ilk denklemdeki çözümlerin süper pozisyonunun ilk denklemdeki başka bir çözüm olduğunu söyler.

${\displaystyle F(y_{1})=F(y_{2})=\cdots =0\ \Rightarrow \ F(y_{1}+y_{2}+\cdots )=0}$

Sınır değerleri üst üste geldiği zaman:

${\displaystyle G(y_{1})+G(y_{2})=G(y_{1}+y_{2})}$

Bu gerçekleri kullanarak, eğer ilk denklemin çözümleri liste olacak şekilde derlenirse, bu çözümler ikinci denklemi sağlayacak şekilde süper pozisyonun içine konabilir. Bu yol sınır değer problemlerinde kullanılan yaygın bir yoldur.

Diğer örnek uygulamaları

•Elektrik mühendisliğinde, doğrusal devrede, giriş (zamanla değişen gerilim sinyalinin uygulandığı) çıkış ile (devre içinde her yerde akım veya gerilim) doğrusal dönüşüm ile bağlantılıdır. Böylece giriş sinyallerinin süper pozisyonu dönüt sinyallerinin süper pozisyonuna yol verecektir. Bu temelde Fourier analizinin kullanımı yaygındır. Diğerleri için, devre analizinde benzer teknikler için süper pozisyon teoremine bakınız. •Fizikte, Maxwell denklemleri, yüklerin dağılımı ve akımlar elektrik ve manyetik alanla doğrusal dönüşümle bağlantılıdır. Böylece süperpozisyon prensibi, yük ve akım dağıtımından ortaya çıkan alanları hesaplamak için kullanılabilir. İlke fizikte ortaya çıkan diğer lineer diferansiyel denklemler için de kullanılabilir. •Makine mühendisliğinde, etkiler doğrusal olduğu zaman(örneğin, yükler diğer yüklerin sonuçlarını etkilemediği zaman ve her bir yükün etkisi yapısal sistemin geometrisini değiştirmediği zaman) kiriş ve yapıların sapmalarını çözmek için kullanılır. Mod süperpozisyon prensibi yöntemi doğal frekansları ve mod şekillerini doğrusal yapıların dinamik tepkilerini nitelendirmek için kullanılır. •Hidrojeolojide iki ya da daha fazla su kuyularının düşümlerinin ideal akifere pompalanması için kullanılır. •İşlem kontrolünde, süperpozisyon prensibi model prediktif kontrol için kullanılır. •Süperpozisyon prensibi bilinen çözümlerin doğrusal olmayan sistemlerinin doğrusallaştırma yapılarak analiz edilmesinde kullanılır. •Müzikte kuramcı Joseph Schillinger, müzikal kompozisyonun Schillingeer sisteminde rithim teorisinin temel ilkesi olarak süperpozisyon prensibinin bir oluşumunu kullanmıştır.

Tarihi

Leon Brillouin’e göre, süperpozisyon prensibi ilk olarak 1753 te Daniel Bernoulli tarafından belirtildi. İlke Leonhard Euler tarafından reddedildi ve daha sonra Joseph Lagrange tarafından da reddedildi. Daha sonra kabul görmeye başladı ve Joseph Fourier tarafından çalışıldı.

Kaynakça

Literatür

• Haberman, Richard (2004). Applied Partial Differential Equations. Prentice Hall. ISBN . 
• Superposition of sound waves 20 Mayıs 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde .

Ayrıca bakınız