Çokludoğrusal harita

Çokludoğrusal cebir veya daha genel olarak doğrusal cebirde, bir çokludoğrusal harita her değişken içinde ayrı ayrı doğrusal birkaç değişkenin bir fonksiyondur. Daha kesin olarak, çokludoğrusal harita şöyle bir fonksiyondur:

${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$

burada ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}$ ve ${\displaystyle W\!}$, tüm ${\displaystyle v_{i}\!}$ değişkenleri sabit tutulan her ${\displaystyle i\!}$ için, aşağıdaki özellikleri sağlayan vektör uzayları (veya modülleri) oluyorsa, ${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ ifadesi ${\displaystyle v_{i}\!}$'nin bir doğrusal fonksiyonudur.

İki değişkenin bir çokludoğrusal haritası bir . Daha genel bir ifade ile, k değişkeninin bir çokludoğrusal haritası k-doğrusal harita olarak adlandırılır. Eğer bir çokludoğrusal haritanın ko-domeni, skalerin alanı ise o bir çokludoğrusal form olarak adlandırılır. Çokludoğrusal haritalar ve çokludoğrusal formlar çokludoğrusal cebrin çalışmasında temel nesnedir.

Tüm değişkenler aynı alana ait ise, k-doğrusal haritası için, , ve kavramlarından bahsedilebilir.

Örnekler

• Her bir bir çokludoğrusal haritadır. Örneğin, bir vektör uzayındaki herhangi bir bir çokludoğrusal haritadır, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ içinde çapraz çarpım vektörleri elde edilir.
• Bir matrisin determinantı, bir kare matrisin sütunlarının (veya satırlarının) antisimetrik çokludoğrusal fonksiyonudur.
• Eğer ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ bir ise, ${\displaystyle F\!}$'nin her ${\displaystyle p\!}$ noktasındaki ${\displaystyle k\!}$inci türevinde ${\displaystyle k\!}$-doğrusal fonksiyon ${\displaystyle D^{k}\!f(p)\colon \mathbb {R} ^{m}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ simetrik olarak görülebilir.
• de bir çokludoğrusal haritadadır.

Koordinat gösterimi

Diyelimki

${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$

sonlu boyutlu vektör uzayları arasında bir çokludoğrusal haritası olsun. Burada ${\displaystyle V_{i}\!}$ boyutu ${\displaystyle d_{i}\!}$'dir ve ${\displaystyle W\!}$ boyutu ${\displaystyle d\!}$'dir. Her bir ${\displaystyle V_{i}\!}$ için ${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}}$ ve ${\displaystyle W\!}$ için ${\displaystyle \{{\textbf {b}}_{1},\ldots ,{\textbf {b}}_{d}\}}$ seçersek, ${\displaystyle A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}}$ skalerlerini şöyle ifade edebiliriz:

${\displaystyle f({\textbf {e}}_{1j_{1}},\ldots ,{\textbf {e}}_{nj_{n}})=A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{1}\,{\textbf {b}}_{1}+\cdots +A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{d}\,{\textbf {b}}_{d}.}$

Ardından ${\displaystyle \{A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}\mid 1\leq j_{i}\leq d_{i},1\leq k\leq d\}}$ skalerleri, ${\displaystyle f\!}$ çokludoğrusal fonksiyonunu tam olarak tanımlar.

Özel olarak eğer, ${\displaystyle 1\leq i\leq n\!}$ için,

${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{d_{i}}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}\!}$

oluyorsa,

${\displaystyle f({\textbf {v}}_{1},\ldots ,{\textbf {v}}_{n})=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}\cdots \sum _{j_{n}=1}^{d_{n}}\sum _{k=1}^{d}A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}v_{1j_{1}}\cdots v_{nj_{n}}{\textbf {b}}_{k}}$ olur.

Tensör çarpımıyla ilişkisi

Burada, çokludoğrusal haritalar arasında doğal bire-bir karşılaştırma yapılmıştır.

${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$

ve doğrusal haritalar

${\displaystyle F\colon V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\to W{\text{,}}}$

burada ${\displaystyle V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\!}$ ifadesi ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}$ .

${\displaystyle f\!}$ ve ${\displaystyle F\!}$ fonksiyonlar arası ilişki şu formül ile verilir:

${\displaystyle F(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})=f(v_{1},\ldots ,v_{n}).}$

n×n matrislerindeki çokludoğrusal fonksiyonlar

Bir K değişmeli halkasındaki n×n matrisindeki çokludoğrusal fonksiyonlar, matrisin satırları (veya eşdeğer sütunları) olarak ifade edilir. Diyelim ki A gibi bir bir matris ve ${\displaystyle a_{i}}$, Anın 1 ≤ i ≤ n aralığındaki satırları olsun. Bu durumda D çokludoğrusal fonksiyonu şöyle yazılabilir:

${\displaystyle D(A)=D(a_{1},\ldots ,a_{n})\,}$

Daha geniş bir ifade ile;

${\displaystyle D(a_{1},\ldots ,ca_{i}+a_{i}',\ldots ,a_{n})=cD(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})+D(a_{1},\ldots ,a_{i}',\ldots ,a_{n})\,}$

${\displaystyle {\hat {e}}_{j}}$ ifadesini, tanım matrisinin j.inci satırı olarak ele alırsak, her bir ${\displaystyle a_{i}}$ satırını şöyle olur.

${\displaystyle a_{i}=\sum _{j=1}^{n}A(i,j){\hat {e}}_{j}}$

Dnin çokludoğrusallığı kullanılarak D(A) yı yeniden yazalım;

${\displaystyle D(A)=D\left(\sum _{j=1}^{n}A(1,j){\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)=\sum _{j=1}^{n}A(1,j)D({\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n})}$

Her ${\displaystyle a_{i}}$ için 1 ≤ i ≤ aralığında sürekli yerine konulursa,

${\displaystyle D(A)=\sum _{1\leq k_{i}\leq n}A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n})D({\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}})}$

Burada seçtiğimiz ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ aralığında;

${\displaystyle \sum _{1\leq k_{i}\leq n}=\sum _{1\leq k_{1}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{i}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{n}\leq n}\,}$

İç içe toplamlar serisi elde edilir.

Burada, ${\displaystyle {\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}}$ satırlarında ${\displaystyle D}$ fonksiyonu vasıtasıyla D(A)'nın nasıl elde edildiği görüldü.

Örnekler

2×2 matrisleri şöyle yazılır;

${\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{2,1}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})+A_{1,1}A_{2,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})+A_{1,2}A_{2,1}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})+A_{1,2}A_{2,2}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2})\,}$

Burada ${\displaystyle {\hat {e}}_{1}=[1,0]}$ ve ${\displaystyle {\hat {e}}_{2}=[0,1]}$'dir. D'yi bir alternatif fonksiyon olarak sınırlandırırsak;

${\displaystyle D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})=D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2})=0}$ ve ${\displaystyle D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})=-D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})=-D(I)}$ olur. ${\displaystyle D(I)=1}$ olursa, 2×2 matrisinde şu determanant fonksiyonunu elde ederiz:

${\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{2,2}-A_{1,2}A_{2,1}\,}$

Özellikler

Çokludoğrusal haritada bir sıfır değeri varsa, bağımsız değişkenlerden biri sıfır olur.

n>1 için, yalnızca n-doğrusal harita ve . (Çifte doğrusallık#Örneklere) bakınız.

Ayrıca bakınız

• Çokludoğrusal form
• Tensörler

Kaynakça