Geometride Descartes teoremi, her dört öpüşen veya karşılıklı teğet çember için, çemberlerin yarıçaplarının belirli bir ikinci dereceden denklemi sağladığını belirtir. Bu denklemi çözerek, verilen üç karşılıklı teğet çembere teğet olan dördüncü bir çember oluşturulabilir. Teorem adını, 1643'te teoremi tanımlayan René Descartes'tan almıştır.
Tarihçe
Teğet çemberleri içeren geometrik problemler üzerinde bin yıldır düşünülmüştür. MÖ 3. yüzyılın antik Yunanistan'ında, Pergalı Apollonius günümüze ulaşmamış olan "De tactionibus (On tangencies)" adlı bütün bir kitabı bu konuya ayırdı.
René Descartes, 1643'te Pfalz Prensesi Elisabeth'e yazdığı bir mektupta problemi kısaca tartıştı. Aşağıdaki denklem (1)'de verilenle aynı çözümü buldu ve böylece adını teoreme verdi.
Frederick Soddy, denklemi 1936'da yeniden keşfetti. Bu problemdeki öpüşen çemberler bazen Soddy çemberleri olarak da bilinir, muhtemelen Soddy teoremin kendi versiyonunu The Nature'da (20 Haziran 1936) basılan The Kiss Precise adlı bir şiir şeklinde yayınlamayı seçtiği için. Soddy ayrıca teoremi kürelere genişletti; teoremi keyfi boyutlara genişletti.
Eğriliğin tanımı
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTg0THpnM0wwUmxjMk5oY25SbGMxOURhWEpqYkdWekxuTjJaeTh5TWpCd2VDMUVaWE5qWVhKMFpYTmZRMmx5WTJ4bGN5NXpkbWN1Y0c1bi5wbmc=.png)
Descartes teoremi, çemberlerin eğriliği açısından en kolay şekilde ifade edilir. Bir çemberin eğriliği (veya eğimi) k= ±1/r olarak tanımlanır, burada r çemberin yarıçapıdır. Bir çember ne kadar büyükse, eğriliği o kadar küçüktür ve bunun tersi de geçerlidir.
k = ±1/r ifadesindeki artı işareti, görüntüdeki üç siyah çember gibi, diğer çemberlere dıştan teğet olan bir çembere uygulanır. Diğer çemberleri çevreleyen büyük kırmızı çember gibi içten teğet bir çember için ise eksi işareti geçerlidir.
Düz bir çizgi, sıfır eğriliği (ve dolayısıyla sonsuz yarıçapı) olan dejenere bir çember olarak kabul edilirse, Descartes teoremi, bir doğru ve üçü karşılıklı teğet olan iki çembere de uygulanır, diğer iki çembere ve çizgiye teğet olan üçüncü bir çemberin yarıçapını verir.
Dört çember altı farklı noktada birbirine teğet ise ve çemberlerin eğrilikleri ki (i = 1, ..., 4) varsa, Descartes teoremi şöyle der:
-
(1)
Verilen üç öpüşen çembere teğet dördüncü bir çemberin yarıçapını bulmaya çalışırken, denklem en iyi şekilde şöyle yazılır:
-
(2)
± işareti, genel olarak iki çözüm olduğu gerçeğini yansıtır. Düz bir çizginin dejenere durumu göz ardı edilirse, bir çözüm pozitiftir ve diğeri pozitif veya negatiftir; negatifse, (yukarıdaki diyagramda gösterildiği gibi) ilk üçünü çevreleyen bir çemberi temsil eder.
Probleme özgü kriterler, herhangi bir problemde bir çözümü diğerine tercih edebilir.
Özel durumlar
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTloTDJFMEwwdHBjM05wYm1kRGFYSmpiR1Z6TWk1d2JtY3ZNakl3Y0hndFMybHpjMmx1WjBOcGNtTnNaWE15TG5CdVp3PT0ucG5n.png)
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTgwTHpRMEwxUm9jbVZsWHlVeU1rdHBjM05wYm1jbE1qSmZRMmx5WTJ4bGMxOTNhWFJvYjNWMFgwRndjRzlzYjI1cFlXNWZRMmx5WTJ4bGMxOVFUa2N1Y0c1bkx6SXlNSEI0TFZSb2NtVmxYeVV5TWt0cGMzTnBibWNsTWpKZlEybHlZMnhsYzE5M2FYUm9iM1YwWDBGd2NHOXNiMjVwWVc1ZlEybHlZMnhsYzE5UVRrY3VjRzVuLnBuZw==.png)
Üç çemberden biri düz bir çizgiyle değiştirilirse, o zaman bir ki, diyelim k3, sıfırdır ve denklem (1) 'den elenir. Denklem (2) daha sonra çok daha basit hale gelir:
-
(3)
İki çemberin yerini doğrular alırsa, değiştirilen iki çember arasındaki teğet, iki değiştirme doğrusu arasında bir paralellik haline gelir. Dört eğrinin hepsinin karşılıklı olarak teğet kalması için, diğer iki çemberin kesişmesi gerekir. Bu durumda k2 = k3 = 0 ile, denklem (2) değersiz hale gelir.
Üç doğru ve bir çemberin karşılıklı teğet olması mümkün olmadığından, üç çemberi doğrularla değiştirmek mümkün değildir. Descartes teoremi, dört çemberin tümü aynı noktada birbirine teğet olduğunda geçerli değildir.
Diğer bir özel durum, ki'nin tam kare olduğu durumdur,
Euler, bunun Pisagor üçlülerinin eşzamanlı üçlüsüne eşdeğer olduğunu gösterdi.
ve parametrik bir çözüm verilebilir. Eğriliğin eksi işareti seçildiğinde,
bu şu şekilde çözülebilir:
burada,
olup iyi bilinen parametrik çözümlerdir.
Kompleks Descartes teoremi
Bir çemberi tam olarak belirlemek için, sadece yarıçapı (veya eğriliği) değil, aynı zamanda merkezi de bilinmelidir. İlgili denklem, koordinatlar (x, y) olarak gösterilmek üzere z = x + iy şeklinde karmaşık bir sayı olarak yorumlanır. Denklem daha sonra Descartes teoremine benzer görünür ve bu nedenle kompleks Descartes teoremi olarak adlandırılır.
Eğriliği ki ve merkezleri zi olan dört çember verildiğinde (i = 1 ... 4), denklem (1)'e ilave olarak aşağıdaki eşitlik geçerlidir:
-
(4)
Denklem (2) kullanılarak k4 bulunduktan sonra, denklem (4), denklem (2)'ye benzer biçimde tekrar yazılarak z4 hesaplanabilir:
Yine genel olarak, k4'ün iki çözümüne karşılık gelen z4 için iki çözüm vardır. Yukarıdaki z formülündeki artı/eksi işaretinin, k formülündeki artı/eksi işaretine karşılık gelmesi gerekmediğini unutmayın.
Genellemeler
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTgyTHpZMkwwZGxibVZ5WVd4cGVtVmtYMk5wY21Oc1pYTmZhVzVmZEdobFgyaDVjR1Z5WW05c2FXTmZjR3hoYm1VdWNHNW5Mekl5TUhCNExVZGxibVZ5WVd4cGVtVmtYMk5wY21Oc1pYTmZhVzVmZEdobFgyaDVjR1Z5WW05c2FXTmZjR3hoYm1VdWNHNW4ucG5n.png)
1886'da R. Lachlan tarafından gösterilmiş olmasına rağmen n boyuta genelleme bazen Soddy-Gosset teoremi olarak anılır. n -boyutlu Öklid uzayında, karşılıklı teğet (n−1)-kürelerin maksimum sayısı n + 2'dir. Örneğin, 3 boyutlu uzayda, beş küre karşılıklı olarak teğet olabilir. Hiper kürelerin eğrilikleri aşağıdaki eşitliği sağlar:
teoremin 2 boyutlu versiyonuna tam benzer şekilde, düz bir hiper düzleme karşılık gelen ki = 0 durumu ile.
Karmaşık sayıların 3 boyutlu bir analojisi olmamasına rağmen, merkezlerin konumları arasındaki ilişki bir matris denklemi olarak yeniden ifade edilebilir ve bu da n boyuta genellenir.
Ayrıca bakınız
- ("çember teğetlikleri")
Notlar
Konuyla ilgili yayınlar
- Levrie, P. (2019), A Straightforward Proof of Descartes’s Circle Theorem. Math Intelligencer 41, ss. 24–27. https://doi.org/10.1007/s00283-019-09883-x
- Lagarias, Jeffrey & Mallows, Colin & Wilks, Allan. (2001). Beyond the Descartes Circle Theorem. The American Mathematical Monthly. 109. 10.2307/2695498.
- Jeff L’Heureux & Guthrie Scarr & Yasin Shtiui & Yang Tian. (2013). Descartes and the Apollonian Gasket, Makale 30 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- J. B. Wilker. (1969). Four Proofs of a Generalization of the Descartes Circle Theorem, The American Mathematical Monthly, 76:3, ss. 278-282, DOI: 10.1080/00029890.1969.12000194
- Mara Holloway, (2015). Generalizations and Relationships of the Descartes Circle Theorem, Makale
Dış bağlantılar
- Cut-the-knot'da karşılıklı olarak dört teğet çemberi gösteren etkileşimli uygulama 27 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- Jeffrey C. Lagarias, Colin L. Mallows, Allan R. Wilks: Beyond The Descartes Circle Theorem
- Descartes Circle Theorem @Wolfram MathWorld 27 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- Descartes Circle Theorem @Theorem of the day 26 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- Descartes' Circle Formula @artofproblemsolving 20 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- Soddy Circles and Descartes Theorem, Three Tangent Circles. Inscribed and Circumscribed Circles, Radii. 26 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- Descartes Complex Circle Theorem @geogebra 26 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- Descartes' Circle Theorem - Example and Formula 27 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde . (Video, 5:00 dk)
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Geometride Descartes teoremi her dort opusen veya karsilikli teget cember icin cemberlerin yaricaplarinin belirli bir ikinci dereceden denklemi sagladigini belirtir Bu denklemi cozerek verilen uc karsilikli teget cembere teget olan dorduncu bir cember olusturulabilir Teorem adini 1643 te teoremi tanimlayan Rene Descartes tan almistir TarihceTeget cemberleri iceren geometrik problemler uzerinde bin yildir dusunulmustur MO 3 yuzyilin antik Yunanistan inda Pergali Apollonius gunumuze ulasmamis olan De tactionibus On tangencies adli butun bir kitabi bu konuya ayirdi Rene Descartes 1643 te Pfalz Prensesi Elisabeth e yazdigi bir mektupta problemi kisaca tartisti Asagidaki denklem 1 de verilenle ayni cozumu buldu ve boylece adini teoreme verdi Frederick Soddy denklemi 1936 da yeniden kesfetti Bu problemdeki opusen cemberler bazen Soddy cemberleri olarak da bilinir muhtemelen Soddy teoremin kendi versiyonunu The Nature da 20 Haziran 1936 basilanThe Kiss Preciseadli bir siir seklinde yayinlamayi sectigi icin Soddy ayrica teoremi kurelere genisletti teoremi keyfi boyutlara genisletti Egriligin tanimiOpusen cemberler Uc adet karsilikli teget cember siyah verildiginde dorduncu bir teget cemberin yaricapi ne olabilir Genel olarak iki olasi cevap vardir kirmizi Descartes teoremi cemberlerin egriligi acisindan en kolay sekilde ifade edilir Bir cemberin egriligi veya egimi k 1 r olarak tanimlanir burada r cemberin yaricapidir Bir cember ne kadar buyukse egriligi o kadar kucuktur ve bunun tersi de gecerlidir k 1 r ifadesindeki arti isareti goruntudeki uc siyah cember gibi diger cemberlere distan teget olan bir cembere uygulanir Diger cemberleri cevreleyen buyuk kirmizi cember gibi icten teget bir cember icin ise eksi isareti gecerlidir Duz bir cizgi sifir egriligi ve dolayisiyla sonsuz yaricapi olan dejenere bir cember olarak kabul edilirse Descartes teoremi bir dogru ve ucu karsilikli teget olan iki cembere de uygulanir diger iki cembere ve cizgiye teget olan ucuncu bir cemberin yaricapini verir Dort cember alti farkli noktada birbirine teget ise ve cemberlerin egrilikleri ki i 1 4 varsa Descartes teoremi soyle der k1 k2 k3 k4 2 2 k12 k22 k32 k42 displaystyle k 1 k 2 k 3 k 4 2 2 k 1 2 k 2 2 k 3 2 k 4 2 1 Verilen uc opusen cembere teget dorduncu bir cemberin yaricapini bulmaya calisirken denklem en iyi sekilde soyle yazilir k4 k1 k2 k3 2k1k2 k2k3 k3k1 displaystyle k 4 k 1 k 2 k 3 pm 2 sqrt k 1 k 2 k 2 k 3 k 3 k 1 2 isareti genel olarak iki cozum oldugu gercegini yansitir Duz bir cizginin dejenere durumu goz ardi edilirse bir cozum pozitiftir ve digeri pozitif veya negatiftir negatifse yukaridaki diyagramda gosterildigi gibi ilk ucunu cevreleyen bir cemberi temsil eder Probleme ozgu kriterler herhangi bir problemde bir cozumu digerine tercih edebilir Ozel durumlarCemberlerden biri sifir egrili duz bir dogru ile degistirilir Descartes teoremi hala gecerlidir Burada uc cemberin hepsi ayni noktada birbirine teget oldugundan Descartes teoremi gecerli degildir Uc cemberden biri duz bir cizgiyle degistirilirse o zaman bir ki diyelim k3 sifirdir ve denklem 1 den elenir Denklem 2 daha sonra cok daha basit hale gelir k4 k1 k2 2k1k2 displaystyle k 4 k 1 k 2 pm 2 sqrt k 1 k 2 3 Iki cemberin yerini dogrular alirsa degistirilen iki cember arasindaki teget iki degistirme dogrusu arasinda bir paralellik haline gelir Dort egrinin hepsinin karsilikli olarak teget kalmasi icin diger iki cemberin kesismesi gerekir Bu durumda k2 k3 0 ile denklem 2 degersiz hale gelir k4 k1 displaystyle displaystyle k 4 k 1 Uc dogru ve bir cemberin karsilikli teget olmasi mumkun olmadigindan uc cemberi dogrularla degistirmek mumkun degildir Descartes teoremi dort cemberin tumu ayni noktada birbirine teget oldugunda gecerli degildir Diger bir ozel durum ki nin tam kare oldugu durumdur v2 x2 y2 z2 2 2 v4 x4 y4 z4 displaystyle v 2 x 2 y 2 z 2 2 2 v 4 x 4 y 4 z 4 Euler bunun Pisagor uclulerinin eszamanli uclusune esdeger oldugunu gosterdi 2vx 2 2yz 2 v2 x2 y2 z2 2 displaystyle 2vx 2 2yz 2 v 2 x 2 y 2 z 2 2 2vy 2 2xz 2 v2 x2 y2 z2 2 displaystyle 2vy 2 2xz 2 v 2 x 2 y 2 z 2 2 2vz 2 2xy 2 v2 x2 y2 z2 2 displaystyle 2vz 2 2xy 2 v 2 x 2 y 2 z 2 2 ve parametrik bir cozum verilebilir Egriligin eksi isareti secildiginde v2 x2 y2 z2 2 2 v4 x4 y4 z4 displaystyle v 2 x 2 y 2 z 2 2 2 v 4 x 4 y 4 z 4 bu su sekilde cozulebilir v x y z 2 ab cd ab cd a2 b2 c2 d2 a2 b2 c2 d2 2 ac bd a2 c2 2 ac bd b2 d2 displaystyle begin aligned amp v x y z 6pt Big amp 2 ab cd ab cd a 2 b 2 c 2 d 2 a 2 b 2 c 2 d 2 amp qquad 2 ac bd a 2 c 2 2 ac bd b 2 d 2 Big end aligned burada a4 b4 c4 d4 displaystyle a 4 b 4 c 4 d 4 olup iyi bilinen parametrik cozumlerdir Kompleks Descartes teoremiBir cemberi tam olarak belirlemek icin sadece yaricapi veya egriligi degil ayni zamanda merkezi de bilinmelidir Ilgili denklem koordinatlar x y olarak gosterilmek uzere z x iy seklinde karmasik bir sayi olarak yorumlanir Denklem daha sonra Descartes teoremine benzer gorunur ve bu nedenle kompleks Descartes teoremi olarak adlandirilir Egriligi ki ve merkezleri zi olan dort cember verildiginde i 1 4 denklem 1 e ilave olarak asagidaki esitlik gecerlidir k1z1 k2z2 k3z3 k4z4 2 2 k12z12 k22z22 k32z32 k42z42 displaystyle k 1 z 1 k 2 z 2 k 3 z 3 k 4 z 4 2 2 k 1 2 z 1 2 k 2 2 z 2 2 k 3 2 z 3 2 k 4 2 z 4 2 4 Denklem 2 kullanilarak k4 bulunduktan sonra denklem 4 denklem 2 ye benzer bicimde tekrar yazilarak z4 hesaplanabilir z4 z1k1 z2k2 z3k3 2k1k2z1z2 k2k3z2z3 k1k3z1z3k4 displaystyle z 4 frac z 1 k 1 z 2 k 2 z 3 k 3 pm 2 sqrt k 1 k 2 z 1 z 2 k 2 k 3 z 2 z 3 k 1 k 3 z 1 z 3 k 4 Yine genel olarak k4 un iki cozumune karsilik gelen z4 icin iki cozum vardir Yukaridaki z formulundeki arti eksi isaretinin k formulundeki arti eksi isaretine karsilik gelmesi gerekmedigini unutmayin GenellemelerHiperbolik duzlemde genellestirilmis daireler 1886 da R Lachlan tarafindan gosterilmis olmasina ragmen n boyuta genelleme bazen Soddy Gosset teoremi olarak anilir n boyutlu Oklid uzayinda karsilikli teget n 1 kurelerin maksimum sayisi n 2 dir Ornegin 3 boyutlu uzayda bes kure karsilikli olarak teget olabilir Hiper kurelerin egrilikleri asagidaki esitligi saglar i 1n 2ki 2 n i 1n 2ki2 displaystyle left sum i 1 n 2 k i right 2 n sum i 1 n 2 k i 2 teoremin 2 boyutlu versiyonuna tam benzer sekilde duz bir hiper duzleme karsilik gelen ki 0 durumu ile Karmasik sayilarin 3 boyutlu bir analojisi olmamasina ragmen merkezlerin konumlari arasindaki iliski bir matris denklemi olarak yeniden ifade edilebilir ve bu da n boyuta genellenir Ayrica bakiniz cember tegetlikleri Notlar A Collection of Algebraic Identities Sums of Three or More 4th Powers 17 Nisan 2018 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 23 Ekim 2020 Jeffrey C Lagarias Nisan 2002 Beyond the Descartes Circle Theorem The American Mathematical Monthly 109 4 338 361 doi 10 2307 2695498 Konuyla ilgili yayinlarLevrie P 2019 A Straightforward Proof of Descartes s Circle Theorem Math Intelligencer 41 ss 24 27 https doi org 10 1007 s00283 019 09883 x Lagarias Jeffrey amp Mallows Colin amp Wilks Allan 2001 Beyond the Descartes Circle Theorem The American Mathematical Monthly 109 10 2307 2695498 Jeff L Heureux amp Guthrie Scarr amp Yasin Shtiui amp Yang Tian 2013 Descartes and the Apollonian Gasket Makale 30 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde J B Wilker 1969 Four Proofs of a Generalization of the Descartes Circle Theorem The American Mathematical Monthly 76 3 ss 278 282 DOI 10 1080 00029890 1969 12000194 Mara Holloway 2015 Generalizations and Relationships of the Descartes Circle Theorem MakaleDis baglantilarCut the knot da karsilikli olarak dort teget cemberi gosteren etkilesimli uygulama 27 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde Jeffrey C Lagarias Colin L Mallows Allan R Wilks Beyond The Descartes Circle Theorem Descartes Circle Theorem Wolfram MathWorld 27 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde Descartes Circle Theorem Theorem of the day 26 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde Descartes Circle Formula artofproblemsolving 20 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde Soddy Circles and Descartes Theorem Three Tangent Circles Inscribed and Circumscribed Circles Radii 26 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde Descartes Complex Circle Theorem geogebra 26 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde Descartes Circle Theorem Example and Formula 27 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde Video 5 00 dk