Çokludoğrusal cebir veya daha genel olarak doğrusal cebirde, bir çokludoğrusal harita her değişken içinde ayrı ayrı doğrusal birkaç değişkenin bir fonksiyondur. Daha kesin olarak, çokludoğrusal harita şöyle bir fonksiyondur:
burada ve , tüm değişkenleri sabit tutulan her için, aşağıdaki özellikleri sağlayan vektör uzayları (veya modülleri) oluyorsa, ifadesi 'nin bir doğrusal fonksiyonudur.
İki değişkenin bir çokludoğrusal haritası bir . Daha genel bir ifade ile, k değişkeninin bir çokludoğrusal haritası k-doğrusal harita olarak adlandırılır. Eğer bir çokludoğrusal haritanın ko-domeni, skalerin alanı ise o bir çokludoğrusal form olarak adlandırılır. Çokludoğrusal haritalar ve çokludoğrusal formlar çokludoğrusal cebrin çalışmasında temel nesnedir.
Tüm değişkenler aynı alana ait ise, k-doğrusal haritası için, , ve kavramlarından bahsedilebilir.
Örnekler
- Her bir bir çokludoğrusal haritadır. Örneğin, bir vektör uzayındaki herhangi bir bir çokludoğrusal haritadır,
içinde çapraz çarpım vektörleri elde edilir.
- Bir matrisin determinantı, bir kare matrisin sütunlarının (veya satırlarının) antisimetrik çokludoğrusal fonksiyonudur.
- Eğer
bir ise,
'nin her
noktasındaki
inci türevinde
-doğrusal fonksiyon
simetrik olarak görülebilir.
- de bir çokludoğrusal haritadadır.
Koordinat gösterimi
Diyelimki
sonlu boyutlu vektör uzayları arasında bir çokludoğrusal haritası olsun. Burada boyutu
'dir ve
boyutu
'dir. Her bir
için
ve
için
seçersek,
skalerlerini şöyle ifade edebiliriz:
Ardından skalerleri,
çokludoğrusal fonksiyonunu tam olarak tanımlar.
Özel olarak eğer, için,
oluyorsa,
olur.
Tensör çarpımıyla ilişkisi
Burada, çokludoğrusal haritalar arasında doğal bire-bir karşılaştırma yapılmıştır.
ve doğrusal haritalar
burada ifadesi
.
ve
fonksiyonlar arası ilişki şu formül ile verilir:
n×n matrislerindeki çokludoğrusal fonksiyonlar
Bir K değişmeli halkasındaki n×n matrisindeki çokludoğrusal fonksiyonlar, matrisin satırları (veya eşdeğer sütunları) olarak ifade edilir. Diyelim ki A gibi bir bir matris ve , Anın 1 ≤ i ≤ n aralığındaki satırları olsun. Bu durumda D çokludoğrusal fonksiyonu şöyle yazılabilir:
Daha geniş bir ifade ile;
ifadesini, tanım matrisinin j.inci satırı olarak ele alırsak, her bir
satırını şöyle olur.
Dnin çokludoğrusallığı kullanılarak D(A) yı yeniden yazalım;
Her için 1 ≤ i ≤ aralığında sürekli yerine konulursa,
Burada seçtiğimiz aralığında;
İç içe toplamlar serisi elde edilir.
Burada, satırlarında
fonksiyonu vasıtasıyla D(A)'nın nasıl elde edildiği görüldü.
Örnekler
2×2 matrisleri şöyle yazılır;
Burada ve
'dir. D'yi bir alternatif fonksiyon olarak sınırlandırırsak;
ve
olur.
olursa, 2×2 matrisinde şu determanant fonksiyonunu elde ederiz:
Özellikler
Çokludoğrusal haritada bir sıfır değeri varsa, bağımsız değişkenlerden biri sıfır olur.
n>1 için, yalnızca n-doğrusal harita ve . (Çifte doğrusallık#Örneklere) bakınız.
Ayrıca bakınız
Kaynakça
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Cokludogrusal cebir veya daha genel olarak dogrusal cebirde bir cokludogrusal harita her degisken icinde ayri ayri dogrusal birkac degiskenin bir fonksiyondur Daha kesin olarak cokludogrusal harita soyle bir fonksiyondur f V1 Vn W displaystyle f colon V 1 times cdots times V n to W text burada V1 Vn displaystyle V 1 ldots V n ve W displaystyle W tum vi displaystyle v i degiskenleri sabit tutulan her i displaystyle i icin asagidaki ozellikleri saglayan vektor uzaylari veya modulleri oluyorsa f v1 vn displaystyle f v 1 ldots v n ifadesi vi displaystyle v i nin bir dogrusal fonksiyonudur Iki degiskenin bir cokludogrusal haritasi bir Daha genel bir ifade ile k degiskeninin bir cokludogrusal haritasi k dogrusal harita olarak adlandirilir Eger bir cokludogrusal haritanin ko domeni skalerin alani ise o bir cokludogrusal form olarak adlandirilir Cokludogrusal haritalar ve cokludogrusal formlar cokludogrusal cebrin calismasinda temel nesnedir Tum degiskenler ayni alana ait ise k dogrusal haritasi icin ve kavramlarindan bahsedilebilir OrneklerHer bir bir cokludogrusal haritadir Ornegin bir vektor uzayindaki herhangi bir bir cokludogrusal haritadir R3 displaystyle mathbb R 3 icinde capraz carpim vektorleri elde edilir Bir matrisin determinanti bir kare matrisin sutunlarinin veya satirlarinin antisimetrik cokludogrusal fonksiyonudur Eger F Rm Rn displaystyle F colon mathbb R m to mathbb R n bir ise F displaystyle F nin her p displaystyle p noktasindaki k displaystyle k inci turevinde k displaystyle k dogrusal fonksiyon Dkf p Rm Rm Rn displaystyle D k f p colon mathbb R m times cdots times mathbb R m to mathbb R n simetrik olarak gorulebilir de bir cokludogrusal haritadadir Koordinat gosterimiDiyelimki f V1 Vn W displaystyle f colon V 1 times cdots times V n to W text sonlu boyutlu vektor uzaylari arasinda bir cokludogrusal haritasi olsun Burada Vi displaystyle V i boyutu di displaystyle d i dir ve W displaystyle W boyutu d displaystyle d dir Her bir Vi displaystyle V i icin ei1 eidi displaystyle textbf e i1 ldots textbf e id i ve W displaystyle W icin b1 bd displaystyle textbf b 1 ldots textbf b d secersek Aj1 jnk displaystyle A j 1 cdots j n k skalerlerini soyle ifade edebiliriz f e1j1 enjn Aj1 jn1b1 Aj1 jndbd displaystyle f textbf e 1j 1 ldots textbf e nj n A j 1 cdots j n 1 textbf b 1 cdots A j 1 cdots j n d textbf b d Ardindan Aj1 jnk 1 ji di 1 k d displaystyle A j 1 cdots j n k mid 1 leq j i leq d i 1 leq k leq d skalerleri f displaystyle f cokludogrusal fonksiyonunu tam olarak tanimlar Ozel olarak eger 1 i n displaystyle 1 leq i leq n icin vi j 1divijeij displaystyle textbf v i sum j 1 d i v ij textbf e ij oluyorsa f v1 vn j1 1d1 jn 1dn k 1dAj1 jnkv1j1 vnjnbk displaystyle f textbf v 1 ldots textbf v n sum j 1 1 d 1 cdots sum j n 1 d n sum k 1 d A j 1 cdots j n k v 1j 1 cdots v nj n textbf b k olur Tensor carpimiyla iliskisiBurada cokludogrusal haritalar arasinda dogal bire bir karsilastirma yapilmistir f V1 Vn W displaystyle f colon V 1 times cdots times V n to W text ve dogrusal haritalar F V1 Vn W displaystyle F colon V 1 otimes cdots otimes V n to W text burada V1 Vn displaystyle V 1 otimes cdots otimes V n ifadesi V1 Vn displaystyle V 1 ldots V n f displaystyle f ve F displaystyle F fonksiyonlar arasi iliski su formul ile verilir F v1 vn f v1 vn displaystyle F v 1 otimes cdots otimes v n f v 1 ldots v n n n matrislerindeki cokludogrusal fonksiyonlarBir K degismeli halkasindaki n n matrisindeki cokludogrusal fonksiyonlar matrisin satirlari veya esdeger sutunlari olarak ifade edilir Diyelim ki A gibi bir bir matris ve ai displaystyle a i Anin 1 i n araligindaki satirlari olsun Bu durumda D cokludogrusal fonksiyonu soyle yazilabilir D A D a1 an displaystyle D A D a 1 ldots a n Daha genis bir ifade ile D a1 cai ai an cD a1 ai an D a1 ai an displaystyle D a 1 ldots ca i a i ldots a n cD a 1 ldots a i ldots a n D a 1 ldots a i ldots a n e j displaystyle hat e j ifadesini tanim matrisinin j inci satiri olarak ele alirsak her bir ai displaystyle a i satirini soyle olur ai j 1nA i j e j displaystyle a i sum j 1 n A i j hat e j Dnin cokludogrusalligi kullanilarak D A yi yeniden yazalim D A D j 1nA 1 j e j a2 an j 1nA 1 j D e j a2 an displaystyle D A D left sum j 1 n A 1 j hat e j a 2 ldots a n right sum j 1 n A 1 j D hat e j a 2 ldots a n Her ai displaystyle a i icin 1 i araliginda surekli yerine konulursa D A 1 ki nA 1 k1 A 2 k2 A n kn D e k1 e kn displaystyle D A sum 1 leq k i leq n A 1 k 1 A 2 k 2 dots A n k n D hat e k 1 dots hat e k n Burada sectigimiz 1 i n displaystyle 1 leq i leq n araliginda 1 ki n 1 k1 n 1 ki n 1 kn n displaystyle sum 1 leq k i leq n sum 1 leq k 1 leq n ldots sum 1 leq k i leq n ldots sum 1 leq k n leq n Ic ice toplamlar serisi elde edilir Burada e k1 e kn displaystyle hat e k 1 dots hat e k n satirlarinda D displaystyle D fonksiyonu vasitasiyla D A nin nasil elde edildigi goruldu Ornekler2 2 matrisleri soyle yazilir D A A1 1A2 1D e 1 e 1 A1 1A2 2D e 1 e 2 A1 2A2 1D e 2 e 1 A1 2A2 2D e 2 e 2 displaystyle D A A 1 1 A 2 1 D hat e 1 hat e 1 A 1 1 A 2 2 D hat e 1 hat e 2 A 1 2 A 2 1 D hat e 2 hat e 1 A 1 2 A 2 2 D hat e 2 hat e 2 Burada e 1 1 0 displaystyle hat e 1 1 0 ve e 2 0 1 displaystyle hat e 2 0 1 dir D yi bir alternatif fonksiyon olarak sinirlandirirsak D e 1 e 1 D e 2 e 2 0 displaystyle D hat e 1 hat e 1 D hat e 2 hat e 2 0 ve D e 2 e 1 D e 1 e 2 D I displaystyle D hat e 2 hat e 1 D hat e 1 hat e 2 D I olur D I 1 displaystyle D I 1 olursa 2 2 matrisinde su determanant fonksiyonunu elde ederiz D A A1 1A2 2 A1 2A2 1 displaystyle D A A 1 1 A 2 2 A 1 2 A 2 1 OzelliklerCokludogrusal haritada bir sifir degeri varsa bagimsiz degiskenlerden biri sifir olur n gt 1 icin yalnizca n dogrusal harita ve Cifte dogrusallik Orneklere bakiniz Ayrica bakinizCokludogrusal form TensorlerKaynakca