Bir üçgen düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimidir. Üçgene müselles ve üçbucak da denir.
Bir üçgen | |
Kenarlar ve Köşeler | 3 |
---|---|
{3} (eşkenar için) | |
Alan | farklı yöntemlerle; aşağı bkz. |
() | 60° (eşkenar için) |
Çevre | Üç kenar uzunluğunun toplamı |
Düzlem geometrisinin temel şekillerinden biridir. Bir üçgenin üç köşesi ve bu köşeleri birleştiren doğru parçalarından oluşan üç kenarı vardır. Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180°, dış açılarının toplamı 360°'dir.
Burada;
A, B ve C noktaları üçgenin köşeleri ve doğru parçaları üçgenin kenarlarıdır. , ve üçgenin iç açılarıdır.
Matematiksel tanım
Yukarıda anlatılan biçimiyle (Öklit düzleminde) üçgen, Riemann geometrisinde daha genel bir nesnenin özel bir durumudur. X bir Riemann uzayı ve A, B ve C de bu uzayın birbirine doğrusal olmayan üç noktası olsun. Bu üç noktanın her bir çifti arasında birer kesel (jeodezik) seçilsin. Bu üç keselin birleşimine ABC üçgeni denir. Örneğin bir Riemann yüzeyi olarak Dünya yüzeyinde, kuzey kutbundan 0 meridyeniyle ekvatora, ekvator boyunca 90. doğu meridyenine, bu meridyen boyunca geri kuzey kutbuna çıkan eğri bir üçgen oluşturur. Bu üçgenin iç açılarının toplamı 270°'dir.
Daha genel olarak, bir topolojik uzayda verilen herhangi üç noktayı birleştiren herhangi üç eğrinin birleşimine üçgen denir. İki boyutlu bir çokkatlı bu tür üçgenlerin (belli özellikleri sağlayan) birleşimi olarak ifade edildiğinde, bu üçgenler topluluğuna çokkatlının üçgenlenmesi denir.
Aşağıdaki özellikler, Öklit düzlemindeki üçgenlere aittir.
Üçgenin açıları
- α, β ve γ üçgenin iç açıları, α', β' ve γ' ise üçgenin dış açılarıdır.
- BAC, ABC ve ACB üçgenin iç açılarıdır. , ve
- Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.
Bir ABC üçgenine A tepe noktasından teğet geçecek şekilde ve BC'ye paralel olacak şekilde bir doğru çizildiğinde, BC doğru parçasının açıları, iç ters açılar kuralından dolayı tepe açısının yanına gelerek bir doğru parçasının yarısını kaplarlar.
- Üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
Bir ABD üçgenine D tepe noktasından teğet geçecek ve taban olan BC'ye paralel olacak şekilde bir doğru çizilip kenarlar uzatıldığında yöndeş açılar kuralı yardımıyla bu önerme kanıtlanabilir.
Üçgenlerin türleri
Üçgenler, kendilerini oluşturan parçaların (köşe, kenar, açılar vb.) aynı düzlemde olup olmadığına göre sınıflandırılabilir. Eğer üçgenin tamamı tek bir düzlemdeyse , diğer durumlarda da örneğin küresel ya da terimleri kullanılır.
Kenarlarına göre üçgenler
Eşkenar üçgen
Tüm kenarları eşit olan üçgen olup iç açılarının her biri 60°'dir. Tabanlara indirilen dikmeler hem açıortay, hem de kenarortaydır.
İkizkenar üçgen
İki kenarı eşit olan üçgenlerdir. Ayrıca iki açısı birbirine eşittir. Eşit olmayan kenara indirilen dikme hem açıortay, hem kenarortay özelliği gösterir.
Çeşitkenar üçgen
Her kenarının uzunluğu ve açısı farklıdır. Çeşitkenar üçgenin simetrisi yoktur.
Açılarına Göre Üçgenler
Dar açılı üçgen
Açıları 90 dereceden küçük olan üçgenlere dar açılı üçgen denir.
Dik açılı üçgen
Bir açısı dik (yani 90°) olan üçgenlerdir. Bu üçgenlerde yükseklik dik kenarlardan biridir. En uzun kenarına hipotenüs denir.
Geniş açılı üçgen
Açılarından biri 90°den büyük olan üçgenlerdir. Sadece bir tek açısı geniş açı olabilir. Tabana ait yükseklik tabanın uzantısı ile kesişir.
Üçgen bağıntıları
Pisagor Bağıntısı
Bir dik üçgenin dik kenarlarına 'a' ve 'b' dersek hipotenüs'ün karesi bu kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir. Buna Pisagor Teoremi denir. Yani:
.
Alan hesaplamaları
Kenardan yararlanma
Bir üçgenin alanı, taban ve tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır:
Açıdan yararlanma
Bir üçgenin alanı, herhangi iki kenarı ile aralarında kalan açının sinüsünün çarpımının yarısıdır.
Heron Yöntemi
Çevre uzunluğuna '2u', yarısına 'u' dersek alan:
Kosinüs Teoremi
Herhangi bir üçgende a, b, c kenarlarını alalım. a ve b arasında kalan açı da olsun. c kenarını bulmak için kullanılacak formül:
Öklit Bağıntısı
Bir dik üçgende hipotenüse "a" diğer iki kenara "b" ve "c", hipotenüs uzunluğunun yüksekliğine "h", bu yüksekliğin ikiye böldüğü "c" kenarıyla ortak köşeye sahip olan parçaya "p", "b" kenarıyla ortak köşeye sahip olan parçaya "k" dersek,
Üçgende yardımcı elemanlar
Açıortay
Bir açıyı iki eş açıya bölen doğru veya doğru parçasına açıortay denir. Açıortayların kesiştiği nokta, üçgenin içteğet çemberinin merkezidir..
Açıortay uzunluğu
Kenarortay
Bir üçgende bir köşeden karşısındaki kenara uzatılan doğru bu kenarı iki eş parçaya bölüyorsa buna kenarortay denir.Bir üçgende kenarortayların kesiştiği noktaya ağırlık merkezi denir. G harfi ile gösterilir.
Ağırlık merkezi, bir kenarortayı ve olarak böler. Yani köşeye A, kenarortayın kenarı kestiği noktaya D dersek;
olur.
Kenarortay teoremi
Üçgenlerle ilgili teoremler
Ceva Teoremi
Ceva teoremi, üçgenin köşelerinden karşıdaki kenarın herhangi bir noktasına çizilen doğrulardan oluşan şekilde uygulanan bir teoremdir. Uygulaması şu şekildedir:
Menelaus Teoremi
Üçgenle aynı düzlemde olan ve üçgenin köşelerinden geçmeyen herhangi bir doğrunun, üçgenin bir kenarının uzantısıyla kesişim noktalarının üçgenin köşelerine uzaklıkları arasındaki ilişkiyi anlatan teoremdir. Uygulaması:
Steward Teoremi
Steward Teoremi, bir üçgende, bir köşeden karşı kenara çizilen herhangi bir doğru ile kenarlar arasındaki bir bağıntıdır. Bağıntı aşağıdaki gibidir:
Carnot Teoremi
Bir üçgenin iç bölgesinden alınan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerle kenarlar sırasıyla a, b (ilk kenar) x, y (ikinci kenar) m, n (üçüncü kenar) olmak üzere parçalara ayrılsın. Benzerlik bağıntılarını kurduğumuzda:
Ayrıca bakınız
Dış bağlantılar
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Bir ucgen duzlemde birbirine dogrusal olmayan uc noktayi birlestiren uc dogru parcasinin birlesimidir Ucgene muselles ve ucbucak da denir UcgenBir ucgenKenarlar ve Koseler3 3 eskenar icin Alanfarkli yontemlerle asagi bkz 60 eskenar icin CevreUc kenar uzunlugunun toplamiUcgenHerhangi bir ucgen Duzlem geometrisinin temel sekillerinden biridir Bir ucgenin uc kosesi ve bu koseleri birlestiren dogru parcalarindan olusan uc kenari vardir Bir ucgenin ic acilarinin toplami 180 dis acilarinin toplami 360 dir AB U AC U BC ABC displaystyle AB U AC U BC ABC Burada A B ve C noktalari ucgenin koseleri ve AB AC BC displaystyle AB AC BC dogru parcalari ucgenin kenarlaridir a displaystyle alpha b displaystyle beta ve g displaystyle gamma ucgenin ic acilaridir Matematiksel tanimYukarida anlatilan bicimiyle Oklit duzleminde ucgen Riemann geometrisinde daha genel bir nesnenin ozel bir durumudur X bir Riemann uzayi ve A B ve C de bu uzayin birbirine dogrusal olmayan uc noktasi olsun Bu uc noktanin her bir cifti arasinda birer kesel jeodezik secilsin Bu uc keselin birlesimine ABC ucgeni denir Ornegin bir Riemann yuzeyi olarak Dunya yuzeyinde kuzey kutbundan 0 meridyeniyle ekvatora ekvator boyunca 90 dogu meridyenine bu meridyen boyunca geri kuzey kutbuna cikan egri bir ucgen olusturur Bu ucgenin ic acilarinin toplami 270 dir Daha genel olarak bir topolojik uzayda verilen herhangi uc noktayi birlestiren herhangi uc egrinin birlesimine ucgen denir Iki boyutlu bir cokkatli bu tur ucgenlerin belli ozellikleri saglayan birlesimi olarak ifade edildiginde bu ucgenler topluluguna cokkatlinin ucgenlenmesi denir Asagidaki ozellikler Oklit duzlemindeki ucgenlere aittir Ucgenin acilaria b ve g ucgenin ic acilari a b ve g ise ucgenin dis acilaridir BAC ABC ve ACB ucgenin ic acilaridir BC a displaystyle BC a AB c displaystyle AB c ve AC b displaystyle AC b a b g 1800 displaystyle alpha beta gamma 180 0 Ucgenin ic acilari toplami 180 derecedir Bir ABC ucgenine A tepe noktasindan teget gececek sekilde ve BC ye paralel olacak sekilde bir dogru cizildiginde BC dogru parcasinin acilari ic ters acilar kuralindan dolayi tepe acisinin yanina gelerek bir dogru parcasinin yarisini kaplarlar Ucgende bir dis aci kendisine komsu olmayan iki ic acinin toplamina esittir Bir ABD ucgenine D tepe noktasindan teget gececek ve taban olan BC ye paralel olacak sekilde bir dogru cizilip kenarlar uzatildiginda yondes acilar kurali yardimiyla bu onerme kanitlanabilir Ucgenlerin turleriUcgenler kendilerini olusturan parcalarin kose kenar acilar vb ayni duzlemde olup olmadigina gore siniflandirilabilir Eger ucgenin tamami tek bir duzlemdeyse diger durumlarda da ornegin kuresel ya da terimleri kullanilir Kenarlarina gore ucgenler Eskenar Ucgen Ikizkenar UcgenEskenar ucgen Tum kenarlari esit olan ucgen olup ic acilarinin her biri 60 dir Tabanlara indirilen dikmeler hem aciortay hem de kenarortaydir Ikizkenar ucgen Iki kenari esit olan ucgenlerdir Ayrica iki acisi birbirine esittir Esit olmayan kenara indirilen dikme hem aciortay hem kenarortay ozelligi gosterir Cesitkenar ucgen Her kenarinin uzunlugu ve acisi farklidir Cesitkenar ucgenin simetrisi yoktur Acilarina Gore Ucgenler Dar acili ucgen Acilari 90 dereceden kucuk olan ucgenlere dar acili ucgen denir Dik acili ucgen Bir acisi dik yani 90 olan ucgenlerdir Bu ucgenlerde yukseklik dik kenarlardan biridir En uzun kenarina hipotenus denir Genis acili ucgen Acilarindan biri 90 den buyuk olan ucgenlerdir Sadece bir tek acisi genis aci olabilir Tabana ait yukseklik tabanin uzantisi ile kesisir Ucgen bagintilariPisagor Bagintisi Bir dik ucgenin dik kenarlarina a ve b dersek hipotenus un karesi bu kenarlarin uzunluklarinin karelerinin toplamina esittir Buna Pisagor Teoremi denir Yani a2 b2 c2 displaystyle a 2 b 2 c 2 Pisagor bagintisiAlan hesaplamalari Kenardan yararlanma Alan hesaplamasi Bir ucgenin alani taban ve tabana ait yuksekligin carpiminin yarisidir b h2 A ABC displaystyle frac b h 2 A ABC Acidan yararlanma Bir ucgenin alani herhangi iki kenari ile aralarinda kalan acinin sinusunun carpiminin yarisidir A ABC a b sing2 displaystyle A ABC frac a b sin gamma 2 Heron Yontemi Cevre uzunluguna 2u yarisina u dersek alan A ABC u u a u b u c displaystyle A ABC sqrt u u a u b u c Kosinus Teoremi Herhangi bir ucgende a b c kenarlarini alalim a ve b arasinda kalan aci da a displaystyle alpha olsun c kenarini bulmak icin kullanilacak formul c a2 b2 2ab cosa displaystyle c sqrt a 2 b 2 2ab cos alpha Oklit Bagintisi Bir dik ucgende hipotenuse a diger iki kenara b ve c hipotenus uzunlugunun yuksekligine h bu yuksekligin ikiye boldugu c kenariyla ortak koseye sahip olan parcaya p b kenariyla ortak koseye sahip olan parcaya k dersek Oklid bagintisi h2 k p displaystyle h 2 k p b2 k p k displaystyle b 2 k p k c2 p p k displaystyle c 2 p p k a h b c displaystyle a h b c Ucgende yardimci elemanlarAciortay Bir aciyi iki es aciya bolen dogru veya dogru parcasina aciortay denir Aciortaylarin kesistigi nokta ucgenin icteget cemberinin merkezidir Aciortay AC CD AB DB displaystyle frac AC CD frac AB DB Aciortay uzunlugu AD AC AB BD DC displaystyle AD sqrt AC AB BD DC Kenarortay Kenarortaylar ve agirlik merkezi Bir ucgende bir koseden karsisindaki kenara uzatilan dogru bu kenari iki es parcaya boluyorsa buna kenarortay denir Bir ucgende kenarortaylarin kesistigi noktaya agirlik merkezi denir G harfi ile gosterilir Agirlik merkezi bir kenarortayi 2n displaystyle 2n ve n displaystyle n olarak boler Yani koseye A kenarortayin kenari kestigi noktaya D dersek AG 2 GD displaystyle AG 2 GD olur Kenarortay teoremi 2Va2 b2 c2 a22 displaystyle 2V a 2 b 2 c 2 frac a 2 2 Ucgenlerle ilgili teoremlerCeva Teoremi Ceva Teoremi nin uygulandigi ucgen Ceva teoremi ucgenin koselerinden karsidaki kenarin herhangi bir noktasina cizilen dogrulardan olusan sekilde uygulanan bir teoremdir Uygulamasi su sekildedir CE EA AF FB BD DC 1 displaystyle frac CE EA frac AF FB frac BD DC 1 Menelaus Teoremi Menelaus Teoremi Ucgenle ayni duzlemde olan ve ucgenin koselerinden gecmeyen herhangi bir dogrunun ucgenin bir kenarinin uzantisiyla kesisim noktalarinin ucgenin koselerine uzakliklari arasindaki iliskiyi anlatan teoremdir Uygulamasi FB FA AE EC CD DB 1 displaystyle frac FB FA frac AE EC frac CD DB 1 Steward Teoremi Steward Teoremi Steward Teoremi bir ucgende bir koseden karsi kenara cizilen herhangi bir dogru ile kenarlar arasindaki bir bagintidir Baginti asagidaki gibidir AD 2 c2 n b2mm n m n displaystyle AD 2 frac c 2 n b 2 m m n m n Carnot Teoremi Bir ucgenin ic bolgesinden alinan herhangi bir noktadan kenarlara cizilen dikmelerle kenarlar sirasiyla a b ilk kenar x y ikinci kenar m n ucuncu kenar olmak uzere parcalara ayrilsin Benzerlik bagintilarini kurdugumuzda a2 x2 m2 b2 y2 n2 displaystyle a 2 x 2 m 2 b 2 y 2 n 2 Ayrica bakinizMatematiksel sekillerin listesiDis baglantilar