Geometride açıortay teoremi, bir üçgenin kenarının karşı açıyı ikiye bölen bir çizgiyle bölündüğü iki parçanın göreli uzunluklarıyla ilgilidir. Göreli uzunluklarını, üçgenin diğer iki kenarının göreli uzunluklarına eşitler.
Teorem
Bir üçgeni düşünün. açısının açıortayının ile arasındaki noktasında kenarını kesmesine izin verin. Açıortay teoremi, doğru parçasının uzunluğunun parçasının uzunluğuna oranının kenarının uzunluğunun kenarının uzunluğuna oranına eşit olduğunu belirtir:
ve tersine, üçgeninin kenarındaki noktası 'yi ve kenarları ile aynı oranda bölerse, daha sonra , açısının açıortayıdır.
Genelleştirilmiş açıortay teoremi, eğer , doğrusu üzerinde yer alıyorsa, o zaman
, 'nin açıortayıysa bu ifade, önceki sürüme indirgenir. , bölümünün dışında olduğunda, hesaplamada yönlendirilmiş çizgi bölümleri ve yönlendirilmiş açılar kullanılmalıdır.
Açıortay teoremi, açıortayları ve yan uzunlukları bilindiğinde yaygın olarak kullanılır. Bir hesaplamada veya bir ispatta kullanılabilir.
Teoremin doğrudan bir sonucu, bir ikizkenar üçgenin tepe açısının açıortayının aynı zamanda karşı kenarı ikiye böldüğüdür.
İspatlar
İspat 1
Yukarıdaki diyagramda, ve üçgenlerinde sinüs teoremi kullanıldığında:
-
(1)
-
(2)
ve açıları doğrusal bir çift oluşturur, yani bitişik bütünler açılar'dır. Bütünler açılar eşit sinüslere sahip olduğundan,
ve açıları eşittir. Bu nedenle, denklemlerin sağ tarafları (1) ve (2) eşittir, bu nedenle sol tarafları da eşit olmalıdır.
bu da açıortay teoremi'dir.
ve açıları eşit değilse, denklemler (1) ve (2) şu şekilde yeniden yazılabilir:
ve açıları hala bütünlerdir, bu nedenle bu denklemlerin sağ tarafları hala eşittir, dolayısıyla şunu elde ederiz:
bu ifade, teoremi "genelleştirilmiş" versiyona göre yeniden düzenler.
İspat 2
, doğrusu üzerinde bir nokta olsun, veya 'ye eşit olmasın ve , üçgeninin bir yüksekliği olmasın (yani doğrusuna dik olmasın).
, üçgeninin noktasından çizilen yüksekliğinin tabanı olsun ve , üçgeninin noktasından çizilen yüksekliğinin tabanı olsun. Daha sonra, kesinlikle ile arasındaysa, veya 'den biri ve yalnızca biri, üçgeninin içinde yer alır ve 'in genelliği kaybetmeden yaptığı varsayılabilir. Bu durum yandaki şekilde tasvir edilmiştir. , segmentinin dışında yer alıyorsa, o zaman ne ne de üçgenin içinde yer alır.
ve dik açılar iken, , segmentinde yer alıyorsa (yani, ve arasında) ve açıları eş açılardır ve dikkate alınan diğer durumlarda aynıdır, bu nedenle üçgenler ve benzerdir (AAA), yani
bir yüksekliğin tabanıysa, o zaman,
ve genelleştirilmiş biçime ulaşılır.
İspat 3
Hızlı bir kanıt, 'daki açıortay ile oluşturulan ve üçgenlerinin alanlarının oranlarına bakılarak elde edilebilir. Bu alanları farklı formüller kullanarak iki kez hesaplamak, yani taban ve yükseklik olmak üzere şeklinde ve , kenarlar ve bu kenarlar arasındaki açı olmak üzere şeklinde hesaplamak mümkün olup istenen sonucu verecektir.
, tabanı olan üçgenlerin yüksekliği ve 'daki açının yarısı olsun. Sonra,
ve
buradan da
bulunur.
Dış açıortaylar
Eşkenar olmayan bir üçgendeki dış açıortaylar için, üçgen kenarlarının uzunluklarının oranları arasında benzer denklemler vardır. Daha doğrusu, 'daki dış açıortay 'de uzatılmış kenar ile kesişiyorsa, 'deki dış açıortay 'de uzatılmış kenar ile kesişir ve 'deki dış açı açıortay uzatılmış kenar ile 'de kesişir, ardından aşağıdaki denklemler geçerli olur:, ,
Dış açıortayları ile uzatılmış üçgen kenarları , ve arasındaki üç kesişme noktası eşdoğrusaldır, yani bir ortak çizgi üzerindedir.
Tarihçe
Açıortay teoremi, Öklid'in Elemanları Kitap VI'nın Önerme 3'ü olarak görünür. Heath (1956, s. 197 (cilt 2))'e göre, dış açıortay için karşılık gelen ifade tarafından verildi ve Pappus bu sonucu kanıt olmadan doğru varsaydı. Heath, Augustus De Morgan'ın iki ifadenin aşağıdaki gibi birleştirilmesini önerdiğini söyler:
“ | Bir üçgenin bir açısı, karşı kenarı veya zıt kenarı kesen düz bir çizgi ile içten veya dıştan ikiye bölünürse, o tarafın dilimleri üçgenin diğer kenarları ile aynı orana sahip olacaktır ve eğer bir üçgenin bir kenarı, parçalarının üçgenin diğer kenarlarıyla aynı orana sahip olması için içten veya dıştan bölünüyorsa, kesit noktasından ilk bahsedilen kenarın karşısındaki açısal noktaya çizilen düz çizgi bu açısal noktada iç veya dış açıyı ikiye böler. | „ |
Notlar
- ^ Alfred S. Posamentier: Advanced Euclidian Geometry: Excursions for Students and Teachers. Springer, 2002, , pp. 3-4
- ^ Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, , p. 149 (original publication 1929 with Houghton Mifflin Company (Boston) as Modern Geometry).
- ^ Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2. ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] bas.). New York: Dover Publications.
- (3 cilt): (cilt 1), (cilt 2), (cilt 3). Heath'in yetkili çevirisi ile birlikte kapsamlı tarihsel araştırma ve metin boyunca ayrıntılı yorumlar içerir.
Konuyla ilgili yayınlar
- G.W.I.S Amarasinghe (2012), , Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, 1 (1), ss. 15-27, 13 Ocak 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi
Dış bağlantılar
- . Cut-the-Knot. 24 Kasım 2005 tarihinde kaynağından arşivlendi.
- . Khan Academy. 14 Kasım 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi.
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Geometride aciortay teoremi bir ucgenin kenarinin karsi aciyi ikiye bolen bir cizgiyle bolundugu iki parcanin goreli uzunluklariyla ilgilidir Goreli uzunluklarini ucgenin diger iki kenarinin goreli uzunluklarina esitler Sekilde BDDC ABAC displaystyle frac BD DC frac AB AC dir TeoremBir ABC displaystyle triangle ABC ucgeni dusunun A displaystyle angle A acisinin aciortayinin B displaystyle B ile C displaystyle C arasindaki D displaystyle D noktasinda BC displaystyle BC kenarini kesmesine izin verin Aciortay teoremi BD displaystyle BD dogru parcasinin uzunlugunun DC displaystyle DC parcasinin uzunluguna oraninin AB displaystyle AB kenarinin uzunlugunun AC displaystyle AC kenarinin uzunluguna oranina esit oldugunu belirtir BD DC AB AC displaystyle frac BD DC frac AB AC ve tersine ABC displaystyle triangle ABC ucgeninin BC displaystyle BC kenarindaki D displaystyle D noktasi BC displaystyle BC yi AB displaystyle AB ve AC displaystyle AC kenarlari ile ayni oranda bolerse daha sonra AD displaystyle AD A displaystyle angle A acisinin aciortayidir Genellestirilmis aciortay teoremi eger D displaystyle D BC displaystyle BC dogrusu uzerinde yer aliyorsa o zaman BD DC AB sin DAB AC sin DAC displaystyle frac BD DC frac AB sin angle DAB AC sin angle DAC AD displaystyle AD BAC displaystyle angle BAC nin aciortayiysa bu ifade onceki surume indirgenir D displaystyle D BC displaystyle BC bolumunun disinda oldugunda hesaplamada yonlendirilmis cizgi bolumleri ve yonlendirilmis acilar kullanilmalidir Aciortay teoremi aciortaylari ve yan uzunluklari bilindiginde yaygin olarak kullanilir Bir hesaplamada veya bir ispatta kullanilabilir Teoremin dogrudan bir sonucu bir ikizkenar ucgenin tepe acisinin aciortayinin ayni zamanda karsi kenari ikiye boldugudur IspatlarIspat 1 Yukaridaki diyagramda ABD displaystyle triangle ABD ve ACD displaystyle triangle ACD ucgenlerinde sinus teoremi kullanildiginda AB BD sin BDAsin BAD displaystyle frac AB BD frac sin angle BDA sin angle BAD 1 AC DC sin ADCsin DAC displaystyle frac AC DC frac sin angle ADC sin angle DAC 2 BDA displaystyle angle BDA ve ADC displaystyle angle ADC acilari dogrusal bir cift olusturur yani bitisik butunler acilar dir Butunler acilar esit sinuslere sahip oldugundan sin BDA sin ADC displaystyle sin angle BDA sin angle ADC BAD displaystyle angle BAD ve DAC displaystyle angle DAC acilari esittir Bu nedenle denklemlerin sag taraflari 1 ve 2 esittir bu nedenle sol taraflari da esit olmalidir BD DC AB AC displaystyle frac BD DC frac AB AC bu da aciortay teoremi dir BAD displaystyle angle BAD ve DAC displaystyle DAC acilari esit degilse denklemler 1 ve 2 su sekilde yeniden yazilabilir AB BD sin BAD sin BDA displaystyle frac AB BD sin angle BAD sin angle BDA AC DC sin DAC sin ADC displaystyle frac AC DC sin angle DAC sin angle ADC BDA displaystyle angle BDA ve ADC displaystyle angle ADC acilari hala butunlerdir bu nedenle bu denklemlerin sag taraflari hala esittir dolayisiyla sunu elde ederiz AB BD sin BAD AC DC sin DAC displaystyle frac AB BD sin angle BAD frac AC DC sin angle DAC bu ifade teoremi genellestirilmis versiyona gore yeniden duzenler Ispat 2 D displaystyle D BC displaystyle BC dogrusu uzerinde bir nokta olsun B displaystyle B veya C displaystyle C ye esit olmasin ve AD displaystyle AD ABC displaystyle triangle ABC ucgeninin bir yuksekligi olmasin yani BD displaystyle BD dogrusuna dik olmasin B1 displaystyle B 1 ABD displaystyle triangle ABD ucgeninin B displaystyle B noktasindan cizilen yuksekliginin tabani olsun ve C1 displaystyle C 1 ACD displaystyle triangle ACD ucgeninin C displaystyle C noktasindan cizilen yuksekliginin tabani olsun Daha sonra D displaystyle D kesinlikle B displaystyle B ile C displaystyle C arasindaysa B1 displaystyle B 1 veya C1 displaystyle C 1 den biri ve yalnizca biri ABC displaystyle triangle ABC ucgeninin icinde yer alir ve B1 displaystyle B 1 in genelligi kaybetmeden yaptigi varsayilabilir Bu durum yandaki sekilde tasvir edilmistir D displaystyle D BC displaystyle BC segmentinin disinda yer aliyorsa o zaman ne B1 displaystyle B 1 ne de C1 displaystyle C 1 ucgenin icinde yer alir DB1B displaystyle angle DB 1 B ve DC1C displaystyle angle DC 1 C dik acilar iken D displaystyle D BC displaystyle BC segmentinde yer aliyorsa yani B displaystyle B ve C displaystyle C arasinda B1DB displaystyle angle B 1 DB ve C1DC displaystyle angle C 1 DC acilari es acilardir ve dikkate alinan diger durumlarda aynidir bu nedenle ucgenler DB1B displaystyle triangle DB 1 B ve DC1C displaystyle triangle DC 1 C benzerdir AAA yani BD CD BB1 CC1 AB sin BAD AC sin CAD displaystyle frac BD CD frac BB 1 CC 1 frac AB sin angle BAD AC sin angle CAD D displaystyle D bir yuksekligin tabaniysa o zaman BD AB sin BAD ve CD AC sin DAC displaystyle frac BD AB sin angle BAD text ve frac CD AC sin angle DAC ve genellestirilmis bicime ulasilir Ispat 3 a BAC2 BAD CAD displaystyle alpha tfrac angle BAC 2 angle BAD angle CAD Hizli bir kanit A displaystyle A daki aciortay ile olusturulan BAD displaystyle triangle BAD ve CAD displaystyle triangle CAD ucgenlerinin alanlarinin oranlarina bakilarak elde edilebilir Bu alanlari farkli formuller kullanarak iki kez hesaplamak yani g displaystyle g taban ve h displaystyle h yukseklik olmak uzere 12gh displaystyle tfrac 1 2 gh seklinde ve a displaystyle a b displaystyle b kenarlar ve bu kenarlar arasindaki aci g displaystyle gamma olmak uzere 12absin g displaystyle tfrac 1 2 ab sin gamma seklinde hesaplamak mumkun olup istenen sonucu verecektir h displaystyle h tabani BC displaystyle BC olan ucgenlerin yuksekligi ve a displaystyle alpha A displaystyle A daki acinin yarisi olsun Sonra ABD ACD 12 BD h12 CD h BD CD displaystyle frac triangle ABD triangle ACD frac frac 1 2 BD h frac 1 2 CD h frac BD CD ve ABD ACD 12 AB AD sin a 12 AC AD sin a AB AC displaystyle frac triangle ABD triangle ACD frac frac 1 2 AB AD sin alpha frac 1 2 AC AD sin alpha frac AB AC buradan da BD CD AB AC displaystyle frac BD CD frac AB AC bulunur Dis aciortaylarDis aci ortaylar kirmizi nokta ile gosterilen D displaystyle D E displaystyle E F displaystyle F noktalari esdogrusaldir ve oranlar icin asagidaki denklemler gecerlidir EB EC AB AC displaystyle tfrac EB EC tfrac AB AC FB FA CB CA displaystyle tfrac FB FA tfrac CB CA DA DC BA BC displaystyle tfrac DA DC tfrac BA BC Eskenar olmayan bir ucgendeki dis aciortaylar icin ucgen kenarlarinin uzunluklarinin oranlari arasinda benzer denklemler vardir Daha dogrusu A displaystyle A daki dis aciortay E displaystyle E de uzatilmis kenar BC displaystyle BC ile kesisiyorsa B displaystyle B deki dis aciortay D displaystyle D de uzatilmis kenar AC displaystyle AC ile kesisir ve C displaystyle C deki dis aci aciortay AB displaystyle AB uzatilmis kenar ile F displaystyle F de kesisir ardindan asagidaki denklemler gecerli olur EB EC AB AC displaystyle frac EB EC frac AB AC FB FA CB CA displaystyle frac FB FA frac CB CA DA DC BA BC displaystyle frac DA DC frac BA BC Dis aciortaylari ile uzatilmis ucgen kenarlari D displaystyle D E displaystyle E ve F displaystyle F arasindaki uc kesisme noktasi esdogrusaldir yani bir ortak cizgi uzerindedir TarihceAciortay teoremi Oklid in Elemanlari Kitap VI nin Onerme 3 u olarak gorunur Heath 1956 s 197 cilt 2 e gore dis aciortay icin karsilik gelen ifade tarafindan verildi ve Pappus bu sonucu kanit olmadan dogru varsaydi Heath Augustus De Morgan in iki ifadenin asagidaki gibi birlestirilmesini onerdigini soyler Bir ucgenin bir acisi karsi kenari veya zit kenari kesen duz bir cizgi ile icten veya distan ikiye bolunurse o tarafin dilimleri ucgenin diger kenarlari ile ayni orana sahip olacaktir ve eger bir ucgenin bir kenari parcalarinin ucgenin diger kenarlariyla ayni orana sahip olmasi icin icten veya distan bolunuyorsa kesit noktasindan ilk bahsedilen kenarin karsisindaki acisal noktaya cizilen duz cizgi bu acisal noktada ic veya dis aciyi ikiye boler Notlar Alfred S Posamentier Advanced Euclidian Geometry Excursions for Students and Teachers Springer 2002 9781930190856 pp 3 4 Roger A Johnson Advanced Euclidean Geometry Dover 2007 978 0 486 46237 0 p 149 original publication 1929 with Houghton Mifflin Company Boston as Modern Geometry Heath Thomas L 1956 The Thirteen Books of Euclid s Elements 2 ed Facsimile Original publication Cambridge University Press 1925 bas New York Dover Publications 3 cilt 0 486 60088 2 cilt 1 0 486 60089 0 cilt 2 0 486 60090 4 cilt 3 Heath in yetkili cevirisi ile birlikte kapsamli tarihsel arastirma ve metin boyunca ayrintili yorumlar icerir Konuyla ilgili yayinlarG W I S Amarasinghe 2012 Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries 1 1 ss 15 27 13 Ocak 2015 tarihinde kaynagindan arsivlendi Dis baglantilar Cut the Knot 24 Kasim 2005 tarihinde kaynagindan arsivlendi Khan Academy 14 Kasim 2016 tarihinde kaynagindan arsivlendi