Bu madde, uygun değildir.Ocak 2015) ( |
18. yy. ve sonrasında geliştirilmiş, genellikle vektörel mekanik olarak nitelendirilen ve orijinalinde Newton mekaniği olarak bilinen analitik mekanik (veya kuramsal mekanik), klasik mekaniğin matematiksel fizik kaynaklarıdır. Model harekete göre analitik mekanik, Newton’un vektörel enerjisinin yerine, hareketin iki skaler özelliği olan kinetik enerjiyi ve potansiyel enerjiyi kullanır. Bir vektör, yön ve nicelik ile temsil edilirken bir skaler, nicelik ile(yoğunluğu belirtirken) temsil edilir. Özellikle Lagrange mekaniği ve Hamilton mekaniği gibi (ikisi de birbirine sıkıca geçmiş alanlar) analitik mekanik de, sorunları çözmek için bir sistemin kısıtlamalarının ve kavramını kullanarak klasik mekaniğin kullanım alanını etkili bir şekilde yapılandırır. Schrödinger, Dirac, Heisenberg ve Feynman gibi kuram fizikçileri bu kavramları kullanarak kuantum fiziğini ve onun alt başlığı olan kuantum alan teorisini geliştirdiler. Uygulamalar ve eklemelerle, Einstein’a ait kaos teorisine ve izafiyet teorisine ulaşmışlardır. Analitik mekaniğin çok bilindik bir sonucu, modern teorik fiziğin çoğunu kaplayan Noether teoremidir.
Yapısal Hareket
- Genelleştirilmiş koordinatlar ve kısıtlamalar (sabitler )
Newton mekaniğinde, biri alışıldığı üzere, hareket esnasında vücudun pozisyonuna göndermek için bütün Kartezyen koordinatların üçünü ya da diğer 3D koordinat sistemlerini kullanır. Ancak fiziksel sistemlerde, bazı yapılar ya da sistemler genellikle vücudun hareketini, belirli bir yönü ya da yolu tutmaktan alıkoyar. Bu yüzden Kartezyen koordinatının tamamına genelde ihtiyaç duyulmaz çünkü kısıtlamalar, koordinatlar arasındaki bağlantılara karşılık veren denklemler tarafından biçimlendirilebilir. Lagrange ve Hamilton biçimselciliğinde; kısıtlamalar, koordinat miktarını hareketi biçimlendirmek için ihtiyaç duyulan en az seviyeye düşüren hareketin geometrisine dahil edilir. Bunlar,qi (i = 1, 2, 3...) ile ifade edilen genelleştirilmiş koordinatlar olarak bilinir.
ve arasındaki fark
Genelleştirilmiş koordinatlar, kısıtlamaları sistem üzerine dahil eder. Her bir qi bağımsızlık derecesi için (i = 1, 2...N deliliyle tanımlanmış uygunluk için) her bir sistem kendi kurulumunu, biçimini değiştirebilir; eğrisel uzunluklar ya da açılar olarak. Genelleştirilmiş koordinatlar, eğrisel koordinatla aynı değildir. Genelleştirilmiş koordinatların sayısının bu boyuta eşit olmasına gerek yok iken, eğrisel koordinatların sayısı söz konusu pozisyon uzamının (gerçel uzam ya da koordinat uzamı) boyutunu eşitler. (genellikle 3D uzam için 3). Kısıtlamalar, bağımsızlık derecesinin miktarını düşürebilir. Bu yüzden sistemin biçimini tanımlamak için genelleştirilmiş koordinatların sayısına ihtiyaç vardır. Sözü edilen genel kural:
- [pozisyon uzamının boyutu (genellikle 3)] × [sistemin bileşenlerinin sayısı ("parçacık")] − (kısıtlamaların sayısı)
- = (bağımsızlık derecesinin miktarı) = (genelleştirilmiş koordinatların sayısı)
N sayıda bağımsızlık derecesine sahip bir sistem için, genelleştirilmiş koordinatlar bir N- toplanabilir:
Ve bu katın zaman türevi (burada üst nokta ile belirtilen) genelleştirilmiş hızı verir:
.
Konunun inşa edildiği zemin D’Alembert ilkesidir. Bu ilke, bir kuvvet tarafından yapılan infinitezimal (sonsuz küçük) sıfırdır der ki bu da sistem kısıtlamaları ile uyum içinde olan bir kuvvet tarafından yapılan iştir. Kısıtlama kanısı, sistemin yapabileceklerini sınırladığı ve sistemin hareketini çözmek için gerekli olan adımları sağladığı için yararlıdır. D’Ambert ilkesi için denklem şöyledir:
olmak üzere,
Bunlar genelleştirilmiş kuvvetlerdir (burada normal Q yerine aşağıdaki kuralsal dönüşümlerle oluşabilecek çelişkiyi önlemek için el yazısı olan Q kullanılmıştır.) ve q lar genelleştirilmiş koordinalardır. Bu, analitik mekanik dilindeki Newton yasalarının genelleştirilmiş formunu oluşturur:
T sistemin toplam kinetik enerjisi olmak üzere,
formülü yararlı bir stenodur (formül için matrix hesabına bakınız).
Eğer eğrisel koordinat sistemi, standart konum vektörü r ile tanımlanırsa ve q (genelleştirilmiş koordinatlar) ile t zaman cinsinden yazılabiliyorsa:
ve bu ilişki her t için tutuyorsa, q Holonomik kısıtlama olarak adlandırılır. r vektörü, kısıtlamaların sadece q(t) yüzünden olmayıp t ile de farklılaştığı durumlarda açık bir şekilde t ye bağlıdır. Zamandan bağımsız durumlar için kısıtlamalar, olarak da adlandırılır ve zamana bağlı durumlar için de olarak adlandırılır.
Lagrange Mekaniği
Genelleştirilmiş koordinatlara ve temel Lagrange mekaniğinin işlevine giriş:
T, toplam kinetik enerji olmak üzere ve V ise bütün sistemin toplam potansiyel enerjisi olmak üzere, Sonrasında değişimler hesabı takip edilerek ya da yukarıdaki formül kullanılarak Euler-Lagrange denklemlerine ulaşılır;
Bunlar N ikinci dereceden basit türevsel denklemler grubudur, hepsi birer adet qi(t) dir.
Bu formülleme; toplam enerjinin sabit olduğu ve geçiş süresinde hiçbir etkisi olmadığı düşünüldüğünde, hareketin takip ettiği asıl yolun üzerinde kinetik enerjinin zaman integralinin en az olduğu yolun seçimi olarak tanımlar.
Konfigürasyon uzayı
Lagrange formüllemesi sistemin konfigürasyon uzayını mümkün olan bütün genelleştirilmiş koordinatları kullanır:
N-boyutlu gerçel uzay olmak üzere, (ayrıca küme yapım formülüne bakınız).Euler-Lagrange denklemlerinin detaylı çözümü, yol (konfigürasyon) ya da yörünge olarak adlandırılır. Yani q(t) gerekli başlangıç kurallarına bağlıdır. Genel çözümler, bir takım mümkün konfigürasyonları zaman işlevleri olarak oluşturur:
Konfigürasyon uzayı, topolojik manifoltlar (çokkatmanlılar) ve tanjant demetleri açısından daha genel olarak hatta daha derinlemesine tanımlanabilir.
Hamilton Mekaniği
Lagrangian’ın Legendre dönüşümü, genelleiştirilmiş koordinatların ve hızın (q, q̇) ile (q, p) yerine geçer; genelleştirilmiş koordinatlar ve genelleştirilmiş momentumlar, genelleştirilmiş koordinatları birleştirir:
ve momentumlar ve genelleştirilmiş koordinatlar açısından Hamiltonan’ı tanımlar:
• skaler çarpım olmak üzere, ayrıca Hamilton’un denklemine götürür:
Bunlar bir grup 2N birinci dereceden basit türevsel denklemlerdir, birer adet qi(t) ve pi(t) dir. Legendre dönüşümünün bir diğer sonucu Lagrange’nin ve Hamilton’un zaman türevleri ile ilgilidir:
Bu sıklıkla diğerlerine ek olarak Hamilton’un hareket denklemlerinin biri olarak düşünülür. Genelleştirilmiş momentumlar, genelleştirilmiş kuvvetler bakımından Newton’un ikinci yasasıyla aynı yoldan yazılabilir:
Genelleştirilmiş momentum uzayı
Konfigürasyon uzamına benzeyen bütün momentumlar grubu momentum uzayı dır. (teknik olarak bu bağlamda; genelleştirilmiş momentum uzayı):
momentum uzayı "k-uzayı"; olarak da adlandırılır yani kuantum mekaniğinde ve dalgalar teorisinde de kullanıldığı gibi, De Broglie ilişkileri tarafından verilen bütün dalga vektörleri grubu. Ancak bu kapsamda bundan bahsedilmemektedir.
Bütün pozisyonlar ve momentumlar evre uzayını oluşturur;
Yani genelleştirilmiş momentum uzayı ve konfigürasyon uzayının kartezyen çarpımı × .
Hamilton denklemlerinin detaylı çözümü evre yolu olarak adlandırılır, yani belirli bir eğri (q(t),p(t)), gerekli başlangıç durumlarına bağlıdır. Bütün evre yolları türevsel denklemlerin genel çözümleri, evre dikeyleridir:
Aynı şekilde evre uzayı, topolojik manifoltları ve kotanjant demetlerini kullanarak daha derinlemesine tanımlanabilir.
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTh4THpGakwweGxZWE4wWDJGamRHbHZibDl3Y21sdVkybHdiR1V1YzNabkx6STFNSEI0TFV4bFlYTjBYMkZqZEdsdmJsOXdjbWx1WTJsd2JHVXVjM1puTG5CdVp3PT0ucG5n.png)
Hamilton formülü daha geneldir çünkü zamanla değişen enerjiye izin verir ve sabit eyleme sahip bir yol olması için takip edilen yolu tanımlar. Bu en küçük eylem ilkesi olarak bilinir:
Başlangıç t1 ve bitişit2 sabit tutarak. Eylem terimi çeşitli anlamlara gelir. Bu tanım sadece bir tanesidir ve özellikle Lagrangian sisteminin integraline cevap verir. Yol ya da yörünge terimi, sistemin zaman değişimini konfigürasyon uzayı aracılığyla , i.e. q(t) olan yol olarak tanır yani
’deki yolun planını çizer. Eylemin en az olduğu yol sistem tarafından alınmış yoldur.
Bu ilkeden yola çıkarak, klasik mekanikteki bütün hareket denklemleri çıkarılabilir. Bu yaklaşımların genellemeleri, quantum mekaniğinin integral formülleme yolunun altını çizer ve genel izafiyetteki jeodeziği hesaplamak için kullanılır.
Lagrange İşlevi ve Hamilton İşlevlerinin Özellikleri
Aşağıdakiler Lagrangian ve Hamiltonian işlevlerinin arasındaki birbirleriyle örtüşen özellikleridir.
- Her bağımsızlık derecesi için olan bütün başlı başına genelleştirilmiş koordinatlar qi(t), süratler q̇i(t) ve momentumlar pi(t) karşılıklı bağımsızlardır. Kapalı olmayan zaman-bağımlı fonksiyon; basitçe q(t) ve p(t) aracılığıyla parametre olarak değil, (ki bu da kapalı olmayan zaman-bağımsız anlamına gelirdi) zamanı t q(t) ve p(t) nin yanında bir çeşit olarak içerir.
- Herhangi bir q ve t fonksiyonunun toplam zaman türevi ile toplanması durumunda, Lagrangian sabit kalır. Yani:
- bu yüzden her bir Lagrangian L ve L' bire bir aynı hareketi tanımlar.
- Benzer olarak, herhangi q, p ve t fonksiyonunun kısmi zaman türevi ile toplanması durumunda, Hamiltonian da sabit kalır. Yani:
- (K bu durumda sıklıkla kullanılan bir işarettir.) Bu özellik, kanonik ( kabul edilmiş, standart) dönüşümlerde kullanılır.
- Eğer Lagrangian bazı genelleştirilmiş koordinatlarının bağımsızı ise, bu koordinatlarla birleşmiş genelleştirilmiş momentumlar hareketin sabitleridir yani korunumludurlar. Bundan hemen Lagrange denklemleri sonucu çıkar:
- Bu tür koordinatlar yok sayılabilir ignorable ya da devirseldir. Bu gösterir ki Hamiltonian aynı zamanda tıpkı genelleştirilmiş koordinatlardaki gibi devirseldir.
- Eğer Lagrangian zaman-bağımsız ise, Hamiltonian da zaman bağımsızdır. Yani ikisi de zamanda değişmezler.
- Eğer kinetik enerji genelleştirilmiş hızların homojen bir fonksiyonu ise (ikinci dereceden) ve Lagrangian açıkça zaman bağımsızsa:
- λ sabit olmak üzere,Hamiltonian toplam korunmuş enerji olur, sistemin toplam kinetik ve potansiyel enerjisine eşit olur:
- Bu, doğrudan onu alan quantum operatörlerini ekleyen Schrödinger denkleminin temelidir.
Hamilton-Jacobi Mekaniği
Hamiltonian değişmezliği;(p, q ve t raslantısal fonksiyonunun kısmi bölümsel zaman türevinin eklenmesiyle) bir grup q koordinatlarının ve p momentumlarının, yeni bir grup Q = Q(q, p, t) ve P = P(q, p, t) ye dönüştürür. Bu dört şekilde olur:
Öyle ki P ve Q üzerindeki sınırlandırmayla, dönüşmüş Hamiltonian sistemi:
Yukarıdaki dönüşümler kanonik dönüşümler olarak adlandırılır, her bir Gn fonksiyonu "n cinsinden" ya da "n tipi" üreten fonksiyon olarak adlandırılır. Momentumların ve koordinatların dönüşümleri, Hamiltonian denklemleri için verilen problemi çözmede sadeleştirmeye izin verebilir.
Q ve P seçimleri tamamen raslantısaldır fakat her seçim kanonik dönüşüme sebep olmaz. Poisson parantezini hesaplamak, bir q → Q ve p → Pdönüşümünün kanonik olup olmadığını kontrol etmek için olan basit bir testir.
ve eğer birim
bütün i = 1, 2,...N için ise dönüşüm kanoniktir aksi takdirde kanonik değildir.
Bütün dinamik değişkenler, r pozisyonundan, p momentumundan, t zamanından ve A = A(q, p, t) nin bir fonksiyonu olarak yazılanlardan türer. A nın toplam türevini hesaplamak ve sonuçlarda Hamilton denkleminin yerine kullanmak A nın evrimine sebep olur.
A daki bu denklem, Heissenberg betimlemesindeki hareket denklemiyle yakından alakalıdır ki bu denklemde klasik dinamik değişkenler (^) ile belirtilen quantum operatörlerine dönüşür ve Poisson parantezi, Dirackanonikkuvantumlaması aracılığıyla, operatör komütatörleri tarafından yer değiştirilir.
Kanonik olarak dönüştürülmüş Hamiltonian K = 0 olarak ayarlandığında, ikinci tip üretici fonksiyon Hamilton’un temel fonksiyonu (ayrıca ) ile gelişigüzel sabit (keyfi, belirsiz sabit) C toplamına eşittir.
Genelleştirilmiş momentumlar,
ya dönüşür ve P sabittir. Sonrasında da Hamilton-Jacobi denklemi (HJE ) ikinci tip kanonik dönüşümlerden türetilebilir.
H nin olduğu kısım öncesinde de olduğu gibi Hamiltonian’dır.
Bir diğer ilgili fonksiyon, zaman-bağımsız Hamiltonian H için olan toplumsal ayırma değişkenleri tarafından, HJE’yi çözmek için kullanılan Hamilton’ın karakteristik fonksiyonudur .
Hamilton-Jacobi denklemlerinin çözümleme çalışmaları haliyle simplektik manifold ve simplektik topoloji çalışmasına yol açmıştır. Bu formüllemede, Hamilton-Jacobi denklemlerinin çözümlemeleri, Hamiltonian vektör alanlarının integral eğrileridir.
Klasik Alan Kuramı İçin Genişletmeler
- Lagrangian alan teorisi
Genelleştirilmiş koordinatlar, skaler alanlarla φ(r, t) yer değiştirerek ve (birim hacime düşen Lagrangian), ki Lagrangian bunun hacim integralidir:
∂μ Euler-Lagrange denklemleri alanlara genişletilebilir (toplam konvansiyonun kullanıldığı yerlerde):
Bu skaler alan formüllemesi, vektör alanlarına, tensor alanlarına ve hatta spinor alanlarına genişletilebilir. Aslen klasik alanlar için geliştirilmiş yukarıdaki formülleme, klasikteki bütün fiziksel alanlar, quantum ve göreceli durumlar için (Newton yerçekimi, klasik elektromanyetizm, genel izafiyet ve quantum alan teorisi gibi ) kabul edilebilirdir. Bu, doğru olan denklemini geliştirmek için doğru Lagrangian yoğunluğuna karar verme meselesidir.
- Hamiltonian alan teorisi
φ(r, t) alanına bağlı olan yöndeş momentum alan hacmi şudur:
Hamiltonian yoğunluğu (birim hacme düşen Hamiltonian) aynı şu şekildedir:
ve benzer şekilde tamamlar:
Routhian Mekaniği
Yukarıda bahsedilen halkalı koordinatları kaldırmak için tanımlanabilir:
Ki bu Lagrangian gibidir ancak sadece N - 1 bağımsızlık derecesi ile birlikte. Routhian yoğunluğu şunu tamamlar:
Ayrıca şunu da tamamlar :
Eşbakışım (simetri), korunum ve Noether kuramı
- Klasik mekan ve zamanda simetri dönüşümleri
Her dönüşüm bir operatör tarafından tanımlanabilir. (yani r pozisyonu ya da p momentumu değişkenleri üzerindeki fonkiyon temsili onları değiştirmek içindir.) Aşağıdakiler, operatörlerin r ya da p yi yani simetrileri değiştirmediği durumlardır.
Transformation Operator Position Momentum
R(n̂, θ) olduğu yer, vektör birimi n̂ ve θ açısı tarafından tanımlanan bir eksen hakkındaki rotasyon matriksidir.
Noether teoremi şunu belirtir: bir hareketin zincirleme simetri dönüşümü, korunum yasasına cevap verir yani hareket (ve nitekim Lagrangian) bir s parametresi tarafından ifade edilen bir dönüşüm durumunda değişmez.
Lagrangian aynı s bağımsız hareketini tanımlar, ki bu uzunluk, rotasyon açısı ya da zaman olabilir. q ya karşılık gelen momentum korunur.
Kaynakça
Daha fazla
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Bu madde Vikipedi bicem el kitabina uygun degildir Maddeyi Vikipedi standartlarina uygun bicimde duzenleyerek Vikipedi ye katkida bulunabilirsiniz Gerekli duzenleme yapilmadan bu sablon kaldirilmamalidir Ocak 2015 18 yy ve sonrasinda gelistirilmis genellikle vektorel mekanik olarak nitelendirilen ve orijinalinde Newton mekanigi olarak bilinen analitik mekanik veya kuramsal mekanik klasik mekanigin matematiksel fizik kaynaklaridir Model harekete gore analitik mekanik Newton un vektorel enerjisinin yerine hareketin iki skaler ozelligi olan kinetik enerjiyi ve potansiyel enerjiyi kullanir Bir vektor yon ve nicelik ile temsil edilirken bir skaler nicelik ile yogunlugu belirtirken temsil edilir Ozellikle Lagrange mekanigi ve Hamilton mekanigi gibi ikisi de birbirine sikica gecmis alanlar analitik mekanik de sorunlari cozmek icin bir sistemin kisitlamalarinin ve kavramini kullanarak klasik mekanigin kullanim alanini etkili bir sekilde yapilandirir Schrodinger Dirac Heisenberg ve Feynman gibi kuram fizikcileri bu kavramlari kullanarak kuantum fizigini ve onun alt basligi olan kuantum alan teorisini gelistirdiler Uygulamalar ve eklemelerle Einstein a ait kaos teorisine ve izafiyet teorisine ulasmislardir Analitik mekanigin cok bilindik bir sonucu modern teorik fizigin cogunu kaplayan Noether teoremidir Yapisal HareketGenellestirilmis koordinatlar ve kisitlamalar sabitler Newton mekaniginde biri alisildigi uzere hareket esnasinda vucudun pozisyonuna gondermek icin butun Kartezyen koordinatlarin ucunu ya da diger 3D koordinat sistemlerini kullanir Ancak fiziksel sistemlerde bazi yapilar ya da sistemler genellikle vucudun hareketini belirli bir yonu ya da yolu tutmaktan alikoyar Bu yuzden Kartezyen koordinatinin tamamina genelde ihtiyac duyulmaz cunku kisitlamalar koordinatlar arasindaki baglantilara karsilik veren denklemler tarafindan bicimlendirilebilir Lagrange ve Hamilton bicimselciliginde kisitlamalar koordinat miktarini hareketi bicimlendirmek icin ihtiyac duyulan en az seviyeye dusuren hareketin geometrisine dahil edilir Bunlar qi i 1 2 3 ile ifade edilen genellestirilmis koordinatlar olarak bilinir ve arasindaki fark Genellestirilmis koordinatlar kisitlamalari sistem uzerine dahil eder Her bir qi bagimsizlik derecesi icin i 1 2 N deliliyle tanimlanmis uygunluk icin her bir sistem kendi kurulumunu bicimini degistirebilir egrisel uzunluklar ya da acilar olarak Genellestirilmis koordinatlar egrisel koordinatla ayni degildir Genellestirilmis koordinatlarin sayisinin bu boyuta esit olmasina gerek yok iken egrisel koordinatlarin sayisi soz konusu pozisyon uzaminin gercel uzam ya da koordinat uzami boyutunu esitler genellikle 3D uzam icin 3 Kisitlamalar bagimsizlik derecesinin miktarini dusurebilir Bu yuzden sistemin bicimini tanimlamak icin genellestirilmis koordinatlarin sayisina ihtiyac vardir Sozu edilen genel kural pozisyon uzaminin boyutu genellikle 3 sistemin bilesenlerinin sayisi parcacik kisitlamalarin sayisi bagimsizlik derecesinin miktari genellestirilmis koordinatlarin sayisi N sayida bagimsizlik derecesine sahip bir sistem icin genellestirilmis koordinatlar bir N toplanabilir q q1 q2 qN displaystyle mathbf q q 1 q 2 cdots q N Ve bu katin zaman turevi burada ust nokta ile belirtilen genellestirilmis hizi verir dqdt dq1dt dq2dt dqNdt q q 1 q 2 q N displaystyle frac d mathbf q dt left frac dq 1 dt frac dq 2 dt cdots frac dq N dt right equiv mathbf dot q dot q 1 dot q 2 cdots dot q N Konunun insa edildigi zemin D Alembert ilkesidir Bu ilke bir kuvvet tarafindan yapilan infinitezimal sonsuz kucuk sifirdir der ki bu da sistem kisitlamalari ile uyum icinde olan bir kuvvet tarafindan yapilan istir Kisitlama kanisi sistemin yapabileceklerini sinirladigi ve sistemin hareketini cozmek icin gerekli olan adimlari sagladigi icin yararlidir D Ambert ilkesi icin denklem soyledir dW Q dq 0 displaystyle delta W boldsymbol mathcal Q cdot delta mathbf q 0 olmak uzere Q Q1 Q2 QN displaystyle boldsymbol mathcal Q mathcal Q 1 mathcal Q 2 cdots mathcal Q N Bunlar genellestirilmis kuvvetlerdir burada normal Q yerine asagidaki kuralsal donusumlerle olusabilecek celiskiyi onlemek icin el yazisi olan Q kullanilmistir ve q lar genellestirilmis koordinalardir Bu analitik mekanik dilindeki Newton yasalarinin genellestirilmis formunu olusturur Q ddt T q T q displaystyle boldsymbol mathcal Q frac mathrm d mathrm d t left frac partial T partial mathbf dot q right frac partial T partial mathbf q T sistemin toplam kinetik enerjisi olmak uzere q q1 q2 qN displaystyle frac partial partial mathbf q left frac partial partial q 1 frac partial partial q 2 cdots frac partial partial q N right formulu yararli bir stenodur formul icin matrix hesabina bakiniz Eger egrisel koordinat sistemi standart konum vektoru r ile tanimlanirsa ve q genellestirilmis koordinatlar ile t zaman cinsinden yazilabiliyorsa r r q t t displaystyle mathbf r mathbf r mathbf q t t ve bu iliski her t icin tutuyorsa q Holonomik kisitlama olarak adlandirilir r vektoru kisitlamalarin sadece q t yuzunden olmayip t ile de farklilastigi durumlarda acik bir sekilde t ye baglidir Zamandan bagimsiz durumlar icin kisitlamalar olarak da adlandirilir ve zamana bagli durumlar icin de olarak adlandirilir Lagrange MekanigiGenellestirilmis koordinatlara ve temel Lagrange mekaniginin islevine giris L q q t T q q t V q q t displaystyle L mathbf q mathbf dot q t T mathbf q mathbf dot q t V mathbf q mathbf dot q t T toplam kinetik enerji olmak uzere ve V ise butun sistemin toplam potansiyel enerjisi olmak uzere Sonrasinda degisimler hesabi takip edilerek ya da yukaridaki formul kullanilarak Euler Lagrange denklemlerine ulasilir ddt L q L q displaystyle frac d dt left frac partial L partial mathbf dot q right frac partial L partial mathbf q Bunlar N ikinci dereceden basit turevsel denklemler grubudur hepsi birer adet qi t dir Bu formulleme toplam enerjinin sabit oldugu ve gecis suresinde hicbir etkisi olmadigi dusunuldugunde hareketin takip ettigi asil yolun uzerinde kinetik enerjinin zaman integralinin en az oldugu yolun secimi olarak tanimlar Konfigurasyon uzayi Lagrange formullemesi sistemin konfigurasyon uzayini mumkun olan butun genellestirilmis koordinatlari kullanir C q RN displaystyle mathcal C mathbf q in mathbb R N RN displaystyle mathbb R N N boyutlu gercel uzay olmak uzere ayrica kume yapim formulune bakiniz Euler Lagrange denklemlerinin detayli cozumu yol konfigurasyon ya da yorunge olarak adlandirilir Yani q t gerekli baslangic kurallarina baglidir Genel cozumler bir takim mumkun konfigurasyonlari zaman islevleri olarak olusturur q t RN t 0 t R C displaystyle mathbf q t in mathbb R N t geq 0 t in mathbb R subseteq mathcal C Konfigurasyon uzayi topolojik manifoltlar cokkatmanlilar ve tanjant demetleri acisindan daha genel olarak hatta daha derinlemesine tanimlanabilir Hamilton MekanigiLagrangian in Legendre donusumu genelleistirilmis koordinatlarin ve hizin q q ile q p yerine gecer genellestirilmis koordinatlar ve genellestirilmis momentumlar genellestirilmis koordinatlari birlestirir p L q L q 1 L q 2 L q N p1 p2 pN displaystyle mathbf p frac partial L partial mathbf dot q left frac partial L partial dot q 1 frac partial L partial dot q 2 cdots frac partial L partial dot q N right p 1 p 2 cdots p N ve momentumlar ve genellestirilmis koordinatlar acisindan Hamiltonan i tanimlar H q p t p q L q q t displaystyle H mathbf q mathbf p t mathbf p cdot mathbf dot q L mathbf q mathbf dot q t skaler carpim olmak uzere ayrica Hamilton un denklemine goturur p H q q H p displaystyle mathbf dot p frac partial H partial mathbf q quad mathbf dot q frac partial H partial mathbf p Bunlar bir grup 2N birinci dereceden basit turevsel denklemlerdir birer adet qi t ve pi t dir Legendre donusumunun bir diger sonucu Lagrange nin ve Hamilton un zaman turevleri ile ilgilidir dHdt L t displaystyle frac dH dt frac partial L partial t Bu siklikla digerlerine ek olarak Hamilton un hareket denklemlerinin biri olarak dusunulur Genellestirilmis momentumlar genellestirilmis kuvvetler bakimindan Newton un ikinci yasasiyla ayni yoldan yazilabilir p Q displaystyle mathbf dot p boldsymbol mathcal Q Genellestirilmis momentum uzayi Konfigurasyon uzamina benzeyen butun momentumlar grubu momentum uzayi dir teknik olarak bu baglamda genellestirilmis momentum uzayi M p RN displaystyle mathcal M mathbf p in mathbb R N momentum uzayi k uzayi olarak da adlandirilir yani kuantum mekaniginde ve dalgalar teorisinde de kullanildigi gibi De Broglie iliskileri tarafindan verilen butun dalga vektorleri grubu Ancak bu kapsamda bundan bahsedilmemektedir Butun pozisyonlar ve momentumlar evre uzayini olusturur P C M q p R2N displaystyle mathcal P mathcal C times mathcal M mathbf q mathbf p in mathbb R 2N Yani genellestirilmis momentum uzayi ve konfigurasyon uzayinin kartezyen carpimi Hamilton denklemlerinin detayli cozumu evre yolu olarak adlandirilir yani belirli bir egri q t p t gerekli baslangic durumlarina baglidir Butun evre yollari turevsel denklemlerin genel cozumleri evre dikeyleridir q t p t R2N t 0 t R P displaystyle mathbf q t mathbf p t in mathbb R 2N t geq 0 t in mathbb R subseteq mathcal P Ayni sekilde evre uzayi topolojik manifoltlari ve kotanjant demetlerini kullanarak daha derinlemesine tanimlanabilir Sistem gelistikce q konfigurasyon uzami araciligiyla bir yol cizer ancak bazilari gosterilir Sistem tarafindan alinan bu yol kirmizi olan sistem konfigurasyonundaki ufak degisimler altinda sabit bir eyleme dS 0 sahiptir dq Hamilton formulu daha geneldir cunku zamanla degisen enerjiye izin verir ve sabit eyleme sahip bir yol olmasi icin takip edilen yolu tanimlar Bu en kucuk eylem ilkesi olarak bilinir dS d t1t2L q q t dt 0 displaystyle delta mathcal S delta int t 1 t 2 L mathbf q mathbf dot q t dt 0 Baslangic t1 ve bitisit2 sabit tutarak Eylem terimi cesitli anlamlara gelir Bu tanim sadece bir tanesidir ve ozellikle Lagrangian sisteminin integraline cevap verir Yol ya da yorunge terimi sistemin zaman degisimini konfigurasyon uzayi araciligyla C displaystyle mathcal C i e q t olan yol olarak tanir yani C displaystyle mathcal C deki yolun planini cizer Eylemin en az oldugu yol sistem tarafindan alinmis yoldur Bu ilkeden yola cikarak klasik mekanikteki butun hareket denklemleri cikarilabilir Bu yaklasimlarin genellemeleri quantum mekaniginin integral formulleme yolunun altini cizer ve genel izafiyetteki jeodezigi hesaplamak icin kullanilir Lagrange Islevi ve Hamilton Islevlerinin OzellikleriAsagidakiler Lagrangian ve Hamiltonian islevlerinin arasindaki birbirleriyle ortusen ozellikleridir Her bagimsizlik derecesi icin olan butun basli basina genellestirilmis koordinatlar qi t suratler q i t ve momentumlar pi t karsilikli bagimsizlardir Kapali olmayan zaman bagimli fonksiyon basitce q t ve p t araciligiyla parametre olarak degil ki bu da kapali olmayan zaman bagimsiz anlamina gelirdi zamani t q t ve p t nin yaninda bir cesit olarak icerir Herhangi bir q ve t fonksiyonunun toplam zaman turevi ile toplanmasi durumunda Lagrangian sabit kalir Yani L L ddtF q t displaystyle L L frac d dt F mathbf q t dd bu yuzden her bir Lagrangian L ve L bire bir ayni hareketi tanimlar Benzer olarak herhangi q p ve t fonksiyonunun kismi zaman turevi ile toplanmasi durumunda Hamiltonian da sabit kalir Yani K H tG q p t displaystyle K H frac partial partial t G mathbf q mathbf p t dd K bu durumda siklikla kullanilan bir isarettir Bu ozellik kanonik kabul edilmis standart donusumlerde kullanilir Eger Lagrangian bazi genellestirilmis koordinatlarinin bagimsizi ise bu koordinatlarla birlesmis genellestirilmis momentumlar hareketin sabitleridir yani korunumludurlar Bundan hemen Lagrange denklemleri sonucu cikar L qj 0 dpjdt ddt L q j 0 displaystyle frac partial L partial q j 0 rightarrow frac dp j dt frac d dt frac partial L partial dot q j 0 dd Bu tur koordinatlar yok sayilabilir ignorable ya da devirseldir Bu gosterir ki Hamiltonian ayni zamanda tipki genellestirilmis koordinatlardaki gibi devirseldir Eger Lagrangian zaman bagimsiz ise Hamiltonian da zaman bagimsizdir Yani ikisi de zamanda degismezler Eger kinetik enerji genellestirilmis hizlarin homojen bir fonksiyonu ise ikinci dereceden ve Lagrangian acikca zaman bagimsizsa T lq i 2 lq jlq k q l2T q i q jq k q L q q displaystyle T lambda dot q i 2 lambda dot q j lambda dot q k mathbf q lambda 2 T dot q i dot q j dot q k mathbf q quad L mathbf q mathbf dot q dd l sabit olmak uzere Hamiltonian toplam korunmus enerji olur sistemin toplam kinetik ve potansiyel enerjisine esit olur H T V E displaystyle H T V E dd Bu dogrudan onu alan quantum operatorlerini ekleyen Schrodinger denkleminin temelidir Hamilton Jacobi MekanigiHamiltonian degismezligi p q ve t raslantisal fonksiyonunun kismi bolumsel zaman turevinin eklenmesiyle bir grup q koordinatlarinin ve p momentumlarinin yeni bir grup Q Q q p t ve P P q p t ye donusturur Bu dort sekilde olur K Q P t H q p t tG1 q Q t K Q P t H q p t tG2 q P t K Q P t H q p t tG3 p Q t K Q P t H q p t tG4 p P t displaystyle begin aligned amp K mathbf Q mathbf P t H mathbf q mathbf p t frac partial partial t G 1 mathbf q mathbf Q t amp K mathbf Q mathbf P t H mathbf q mathbf p t frac partial partial t G 2 mathbf q mathbf P t amp K mathbf Q mathbf P t H mathbf q mathbf p t frac partial partial t G 3 mathbf p mathbf Q t amp K mathbf Q mathbf P t H mathbf q mathbf p t frac partial partial t G 4 mathbf p mathbf P t end aligned Oyle ki P ve Q uzerindeki sinirlandirmayla donusmus Hamiltonian sistemi P K Q Q K P displaystyle mathbf dot P frac partial K partial mathbf Q quad mathbf dot Q frac partial K partial mathbf P Yukaridaki donusumler kanonik donusumler olarak adlandirilir her bir Gn fonksiyonu n cinsinden ya da n tipi ureten fonksiyon olarak adlandirilir Momentumlarin ve koordinatlarin donusumleri Hamiltonian denklemleri icin verilen problemi cozmede sadelestirmeye izin verebilir Q ve P secimleri tamamen raslantisaldir fakat her secim kanonik donusume sebep olmaz Poisson parantezini hesaplamak bir q Q ve p Pdonusumunun kanonik olup olmadigini kontrol etmek icin olan basit bir testir Qi Pi Qi Pi q p Qi q Pi p Qi p Pi q k Qi qk Pi pk Qi pk Pi qk displaystyle begin aligned Q i P i equiv Q i P i mathbf q mathbf p amp frac partial Q i partial mathbf q cdot frac partial P i partial mathbf p frac partial Q i partial mathbf p cdot frac partial P i partial mathbf q amp equiv sum k frac partial Q i partial q k frac partial P i partial p k frac partial Q i partial p k frac partial P i partial q k end aligned ve eger birim Qi Pi 1 displaystyle Q i P i 1 butun i 1 2 N icin ise donusum kanoniktir aksi takdirde kanonik degildir Butun dinamik degiskenler r pozisyonundan p momentumundan t zamanindan ve A A q p t nin bir fonksiyonu olarak yazilanlardan turer A nin toplam turevini hesaplamak ve sonuclarda Hamilton denkleminin yerine kullanmak A nin evrimine sebep olur dAdt A H A t displaystyle frac dA dt A H frac partial A partial t A daki bu denklem Heissenberg betimlemesindeki hareket denklemiyle yakindan alakalidir ki bu denklemde klasik dinamik degiskenler ile belirtilen quantum operatorlerine donusur ve Poisson parantezi Dirackanonikkuvantumlamasi araciligiyla operator komutatorleri tarafindan yer degistirilir Qi Pi 1iℏ Q i P i displaystyle Q i P i rightarrow frac 1 i hbar hat Q i hat P i Kanonik olarak donusturulmus Hamiltonian K 0 olarak ayarlandiginda ikinci tip uretici fonksiyon Hamilton un temel fonksiyonu ayrica S displaystyle mathcal S ile gelisiguzel sabit keyfi belirsiz sabit C toplamina esittir G2 q t S q t C displaystyle G 2 mathbf q t mathcal S mathbf q t C Genellestirilmis momentumlar p S q displaystyle mathbf p frac partial mathcal S partial mathbf q ya donusur ve P sabittir Sonrasinda da Hamilton Jacobi denklemi HJE ikinci tip kanonik donusumlerden turetilebilir H S t displaystyle H frac partial mathcal S partial t H nin oldugu kisim oncesinde de oldugu gibi Hamiltonian dir H H q p t H q S q t displaystyle H H mathbf q mathbf p t H left mathbf q frac partial mathcal S partial mathbf q t right Bir diger ilgili fonksiyon zaman bagimsiz Hamiltonian H icin olan toplumsal ayirma degiskenleri tarafindan HJE yi cozmek icin kullanilan Hamilton in karakteristik fonksiyonudur W q S q t Et displaystyle W mathbf q mathcal S mathbf q t Et Hamilton Jacobi denklemlerinin cozumleme calismalari haliyle simplektik manifold ve simplektik topoloji calismasina yol acmistir Bu formullemede Hamilton Jacobi denklemlerinin cozumlemeleri Hamiltonian vektor alanlarinin integral egrileridir Klasik Alan Kurami Icin GenisletmelerLagrangian alan teorisi Genellestirilmis koordinatlar skaler alanlarla f r t yer degistirerek ve L displaystyle mathcal L birim hacime dusen Lagrangian ki Lagrangian bunun hacim integralidir L f mf VL f mf dV displaystyle L varphi partial mu varphi int mathcal V mathcal L varphi partial mu varphi dV m Euler Lagrange denklemleri alanlara genisletilebilir toplam konvansiyonun kullanildigi yerlerde m L mf L f displaystyle partial mu left frac partial mathcal L partial partial mu varphi right frac partial mathcal L partial varphi Bu skaler alan formullemesi vektor alanlarina tensor alanlarina ve hatta spinor alanlarina genisletilebilir Aslen klasik alanlar icin gelistirilmis yukaridaki formulleme klasikteki butun fiziksel alanlar quantum ve goreceli durumlar icin Newton yercekimi klasik elektromanyetizm genel izafiyet ve quantum alan teorisi gibi kabul edilebilirdir Bu dogru olan denklemini gelistirmek icin dogru Lagrangian yogunluguna karar verme meselesidir Hamiltonian alan teorisi f r t alanina bagli olan yondes momentum alan hacmi sudur p r t L f displaystyle pi mathbf r t frac partial mathcal L partial dot varphi Hamiltonian yogunlugu H displaystyle mathcal H birim hacme dusen Hamiltonian ayni su sekildedir H f mf VH f mf dV displaystyle H varphi partial mu varphi int mathcal V mathcal H varphi partial mu varphi dV ve benzer sekilde tamamlar H r t f r t p r t L r t displaystyle mathcal H mathbf r t varphi mathbf r t pi mathbf r t mathcal L mathbf r t Routhian MekanigiYukarida bahsedilen halkali koordinatlari kaldirmak icin tanimlanabilir R L p q displaystyle R L mathbf p cdot mathbf dot q Ki bu Lagrangian gibidir ancak sadece N 1 bagimsizlik derecesi ile birlikte Routhian yogunlugu sunu tamamlar R f mf VR f mf dV displaystyle R varphi partial mu varphi int mathcal V mathcal R varphi partial mu varphi dV Ayrica sunu da tamamlar R r t L r t p r t f r t displaystyle mathcal R mathbf r t mathcal L mathbf r t pi mathbf r t varphi mathbf r t Esbakisim simetri korunum ve Noether kuramiKlasik mekan ve zamanda simetri donusumleri Her donusum bir operator tarafindan tanimlanabilir yani r pozisyonu ya da p momentumu degiskenleri uzerindeki fonkiyon temsili onlari degistirmek icindir Asagidakiler operatorlerin r ya da p yi yani simetrileri degistirmedigi durumlardir Transformation Operator Position MomentumX a displaystyle X mathbf a r r a displaystyle mathbf r rightarrow mathbf r mathbf a p p displaystyle mathbf p rightarrow mathbf p U t0 displaystyle U t 0 r t r t t0 displaystyle mathbf r t rightarrow mathbf r t t 0 p t p t t0 displaystyle mathbf p t rightarrow mathbf p t t 0 R n 8 displaystyle R mathbf hat n theta r R n 8 r displaystyle mathbf r rightarrow R mathbf hat n theta mathbf r p R n 8 p displaystyle mathbf p rightarrow R mathbf hat n theta mathbf p G v displaystyle G mathbf v r r vt displaystyle mathbf r rightarrow mathbf r mathbf v t p p mv displaystyle mathbf p rightarrow mathbf p m mathbf v P displaystyle P r r displaystyle mathbf r rightarrow mathbf r p p displaystyle mathbf p rightarrow mathbf p T displaystyle T r r t displaystyle mathbf r rightarrow mathbf r t p p t displaystyle mathbf p rightarrow mathbf p t R n 8 oldugu yer vektor birimi n ve 8 acisi tarafindan tanimlanan bir eksen hakkindaki rotasyon matriksidir Noether teoremi Noether teoremi sunu belirtir bir hareketin zincirleme simetri donusumu korunum yasasina cevap verir yani hareket ve nitekim Lagrangian bir s parametresi tarafindan ifade edilen bir donusum durumunda degismez L q s t q s t L q t q t displaystyle L q s t dot q s t L q t dot q t Lagrangian ayni s bagimsiz hareketini tanimlar ki bu uzunluk rotasyon acisi ya da zaman olabilir q ya karsilik gelen momentum korunur Kaynakca Penrose R 2007 Vintage books s 474 ISBN 0 679 77631 1 Daha fazla