Karmaşık analizde açık gönderim teoremi, U, karmaşık düzlem C 'nin açık bir altkümesiyse ve f : U → C sabit olmayan holomorf bir fonksiyonsa, o zaman f 'nin olduğunu ifade eder (yani U 'nun açık altkümelerini C 'nin açık altkümelerine gönderir).
Açık gönderim teoremi, holomorfi ve gerçel türevlenebilirlik arasındaki keskin farkı ortaya koyar. Mesela, gerçel sayılar üzerinde, f(x) = x2 türevlenebilir fonksiyonu açık bir gönderim değildir çünkü (-1,1) görüntüsü [0,1) yarıaçık aralığıdır.
Teorem, örneğin, sabit olmayan bir holomorf fonksiyonun açık bir diski bir doğrunun parçasına örten bir şekilde gönderemeyeceğini gösterir.
Kanıt
f:U → C sabit olmayan holomorf bir fonksiyon olsun ve karmaşık düzlemin bağlantılı bir açık altkümesi olsun. 'daki her noktanın 'nun bir olduğunu göstermeliyiz; yani içindeki her noktanın içinde yer alan bir diskin içinde olduğunu göstermeliyiz.
içinde rastgele bir noktasını alalım. U açık olduğu için, bir bulabiliriz öyle ki z0 etrafında, d yarıçaplı kapalı diski tamamen U içinde yer alır. U bağlantılı olduğu ve f, U üzerinde sabit olmadığı için, f 'nin B üzerinde sabit olmadığını biliyoruz. Görüntü noktası 'ı ele alalım. olur ve , fonksiyonunun kökü olur.
g(z) 'nin sabit olmadığını biliyoruz ve d yi daha da azaltarak g(z) 'nin B içinde tek bir kökü olmasını sağlayabiliriz. (Sabit olmayan holomorf fonksiyonların kökleri izoledir.) e, B 'nin sınırındaki z değerleri için |g(z)| 'nin minimum değeri olsun (pozitif sayı). (B 'nin sınırı çemberdir ve bu yüzden . |(g(z)| sürekli fonksiyondur. Böylece, bu minimumun varlığını kanıtlar.) etrafındaki yarıçaplı diski ile gösterelim. , 'a uzaklığı 'den az olan her için ve 'nin B içinde aynı sayıda köke sahip olacağını ifade eder. Bu yüzden, içindeki her için, 'de olacak şekilde sadece bir tane vardır. Bu da, D diskinin 'nun altkümesi olan f(B) 'de yer aldığı anlamına gelir.
Kaynakça
- (1966), Real & Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Karmasik analizde acik gonderim teoremi U karmasik duzlem C nin acik bir altkumesiyse ve f U C sabit olmayan holomorf bir fonksiyonsa o zaman f nin oldugunu ifade eder yani U nun acik altkumelerini C nin acik altkumelerine gonderir Acik gonderim teoremi holomorfi ve gercel turevlenebilirlik arasindaki keskin farki ortaya koyar Mesela gercel sayilar uzerinde f x x2 turevlenebilir fonksiyonu acik bir gonderim degildir cunku 1 1 goruntusu 0 1 yariacik araligidir Teorem ornegin sabit olmayan bir holomorf fonksiyonun acik bir diski bir dogrunun parcasina orten bir sekilde gonderemeyecegini gosterir Kanit Mavi noktalar g z nin sifirlarini gostermektedir Sivri siyah sekiller kutuplari temsil etmektedir U acik kumesinin siniri kesik cigilerle gosterilmektedir Burada butun kutuplar acik kumenin disindadir Daha kucuk olan kirmizi cember kanitta kurulan B kumesidir f U C sabit olmayan holomorf bir fonksiyon olsun ve U displaystyle U karmasik duzlemin baglantili bir acik altkumesi olsun f U displaystyle f U daki her noktanin f U displaystyle f U nun bir oldugunu gostermeliyiz yani f U displaystyle f U icindeki her noktanin f U displaystyle f U icinde yer alan bir diskin icinde oldugunu gostermeliyiz U displaystyle U icinde rastgele bir z0 displaystyle z 0 noktasini alalim U acik oldugu icin bir d gt 0 displaystyle d gt 0 bulabiliriz oyle ki z0 etrafinda d yaricapli B displaystyle B kapali diski tamamen U icinde yer alir U baglantili oldugu ve f U uzerinde sabit olmadigi icin f nin B uzerinde sabit olmadigini biliyoruz Goruntu noktasi w0 f z0 displaystyle w 0 f z 0 i ele alalim f z0 w0 0 displaystyle f z 0 w 0 0 olur ve z0 displaystyle z 0 g z f z w0 displaystyle g z f z w 0 fonksiyonunun koku olur g z nin sabit olmadigini biliyoruz ve d yi daha da azaltarak g z nin B icinde tek bir koku olmasini saglayabiliriz Sabit olmayan holomorf fonksiyonlarin kokleri izoledir e B nin sinirindaki z degerleri icin g z nin minimum degeri olsun pozitif sayi B nin siniri cemberdir ve bu yuzden g z surekli fonksiyondur Boylece bu minimumun varligini kanitlar w0 displaystyle w 0 etrafindaki e displaystyle e yaricapli diski D displaystyle D ile gosterelim w0 displaystyle w 0 a uzakligi e displaystyle e den az olan her w displaystyle w icin g z f z w0 displaystyle g z f z w 0 ve f z w displaystyle f z w nin B icinde ayni sayida koke sahip olacagini ifade eder Bu yuzden D displaystyle D icindeki her w displaystyle w icin B displaystyle B de f z1 w displaystyle f z 1 w olacak sekilde sadece bir tane z1 displaystyle z 1 vardir Bu da D diskinin f U displaystyle f U nun altkumesi olan f B de yer aldigi anlamina gelir Kaynakca 1966 Real amp Complex Analysis McGraw Hill ISBN 0 07 054234 1