Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Holomorf fonksiyonlar karmaşık analizin temel çalışma araçlarından biridir. Bu fonksiyonlar karmaşık düzlemin yani C'nin açık bir altkümesinde tanımlı, bu altkümedeki her noktada karmaşık anlamda türevli ve aldığı değerler yine C içinde olan fonksiyonlardır.
Bu koşul normal gerçel türevlilikten daha güçlüdür. Daha derin anlamda, holomorf fonksiyon sonsuz kere türevlenebilir ve Taylor serisi ile tanımlanabilir. Her ne kadar daha geniş anlamda (gerçel, karmaşık veya daha genel bir çerçevede) fonksiyonun tanım kümesi içindeki her noktanın komşuluğunda fonksiyonun Taylor serisine eşit olması anlamına gelse de, analitik fonksiyon teriminin holomorf fonksiyon terimi yerine de kullanıldığı bolca yer vardır. Analitik fonksiyonlar sınıfının karmaşık analizde holomorf fonksiyonlar sınıfı ile aynı olması karmaşık analizde önemli bir teoremdir. Holomorf fonksiyonlara bazen düzenli fonksiyonlar dendiği de olmaktadır. Karmaşık düzlemin tümünde holomorf olan fonksiyona tam fonksiyon adı verilir. "a noktasında holomorf olma" terimi a noktasında türevli manasına gelmekle beraber aynı zamanda karmaşık düzlemde a noktası etrafındaki belli bir açık disk içindeki her noktada türevli anlamına da gelmektedir.
Tanım
U kümesi C'nin açık bir kümesiyse, f : U → C, U üzerinde tanımlı karmaşık bir fonksiyonsa ve U kümesine ait bir z0 noktasındaki
limiti varsa, f 'ye z0 noktasında karmaşık türevli denilir. Burada limit z0 noktasına yaklaşan karmaşık sayıların tüm dizileri üzerinden alınır ve bu tür tüm diziler için farkların oranı tek bir sayıya yaklaşmak zorundadır ki o sayı da f '(z0) 'dır. Sezgisel olarak, f fonksiyonu z0 'da karmaşık türevliyse ve z0 'a r yönünden yaklaşılırsa, o zaman görüntüler de çarpımın karmaşık sayılar çarpımı olduğu f '(z0) r çarpımı yönünden f(z0) noktasına yaklaşır. Türevliliğin bu tip tanımı gerçel türevlilik ile belli başlı ortak özellikler taşımaktadır:
- her iki türev de doğrusaldır (lineerdir).
- her iki türev de türevdeki , ve zincir kuralını sağlarlar.
f fonksiyonu U açık kümesi içindeki her z0 noktasında kompleks türevli ise, f fonksiyonu U üzerinde holomorftur denilir. f fonksiyonu z0 etrafındaki bir komşuluk içinde kompleks türevli ise z0 noktasında holomorftur denilir. Açık olmayan bir A kümesinde f 'ye holomorf diyebilmek için ise f 'nin A kümesini de içeren bir açık küme üzerinde holomorf olması gerekmektedir.
Gerçel türevlilik ve karmaşık türevlilik arasındaki ilişki ise şudur: Eğer f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) karmaşık fonksiyonu holomorfsa, o zaman u ve v 'nin x ve y 'ye göre birinci kısmi türevleri vardır ve Cauchy-Riemann denklemleri olarak bilinen aşağıdaki ifadeyi sağlarlar:
![image]()
.
Ancak bu ifadenin tersi her zaman doğru değildir. Doğru olan daha basit bir ters ifade ise şudur: u ve v 'nin sürekli birinci kısmi türevleri varsa ve u ve v Cauchy-Riemann denklemlerini sağlıyorsa, o zaman f holomorftur.
Terminoloji
"Holomorf" kelimesi ilk kez Cauchy'nin öğrencileri olan Briot (1817 - 1882) ve Bouquet (1819 - 1895) tarafından literatüre sokulmuştur ve Yunanca "tam" anlamına gelen őλoς (holos) ve "form","şekil" veya "görünüm" anlamlarına gelen μoρφń (morphe) kelimelerinden oluşur.
Günümüzde birçok matematikçi analitik fonksiyonun daha genel bir kavram olmasından dolayı holomorf fonksiyon kavramını kullanmayı tercih etmektedir. Bunun bir diğer nedeni ise karmaşık analizde her holomorf fonksiyonun karmaşık analitik olması gerektiğini ifade eden önemli bir sonuçtur. Ancak yine de, "analitik" terimi daha geniş anlamda kullanılmaktadır.
Özellikler
Karmaşık türevin doğrusal olması ve çarpma, bölme ve zincir kuralına uyması sebebiyle, holomorf fonksiyonların toplamları, çarpımları ve bileşkeleri yine holomorftur ve paydanın sıfır olmadığı yerlerde ise iki holomorf fonksiyonun bölümleri yine holomorftur.
Eğer C, R2 olarak tanımlanırsa, o zaman holomorf fonksiyonlar, sürekli birinci türevi olan iki gerçel değişkenli ve iki denklemden oluşan kısmi türevsel denklemler kümesi olan Cauchy-Riemann denklemlerini çözen fonksiyonlara denk gelir.
Bütün holomorf fonksiyonlar gerçel ve sanal kısımlarına ayrılabilirler ve her bir kısım R2 üzerinde Laplace denklemi'nin bir çözümüdür. Başka bir deyişle, holomorf fonksiyon f(z) 'yi 'u(x, y) + i v(x, y) şeklinde ifade edersek, hem u hem de v harmonik fonksiyonlardır.
Birinci türevin sıfır olmadığı bölgelerde, holomorf fonksiyonlar açı ve şekil (büyüklük anlamında değil) bağlamında açıkorurdurlar.
Cauchy integral formülü ise bir disk içindeki her holomorf fonksiyonun, fonksiyonun diskin sınırları üzerindeki değerleriyle belirlendiğini ifade eder.
Her . Yani, bir holomorf fonksiyon f 'nin tanım kümesindeki her a noktasında her mertebeden türevi vardır ve a etrafındaki bir komşulukta fonksiyonun anoktasındaki kendi Taylor serisi'ne denk gelir. Aslında, f fonksiyonu, a 'yı merkez alan ve f 'nin tanım kümesi içinde kalan her disk üzerinde kendi Taylor serisine denk gelir.
Cebirsel bakış açısıyla, açık bir küme üzerindeki holomorf fonksiyonlar kümesi değişmeli halkadır ve . Aslında, bu küme, üzerindeki supremumların olduğu bir .
Örnekler
Karmaşık değişkenli ve karmaşık katsayılı bütün polinomlar, sinüs, kosinüs ve C üzerinde holomorftur. (Aslında trigonometrik fonksiyonlar üstel fonksiyonla ilişkilidir ve Euler formülü yardımıyla tanımlanabilirler).
'nın ana dallanması C \ {z ∈ R : z ≤ 0} kümesi üzerinde holomorftur.
ifadesiyle tanımlanabilir ve bu yüzden log(z) 'nin holomorf olduğu her yerde holomorftur. 1/z fonksiyonu ise {z : z ≠ 0} üzerinde holomorftur.
Holomorf olmayan sürekli fonksiyonların tipik örnekleri ise ve gerçel kısımlardır.
Çok değişkenliler
karmaşık bir analitik fonksiyon, değişkenlerin yakınsak kuvvet serileri bağlamında yerel olarak genişletilebilirse (disklerin olan bir polidisk içinde) analitik veya holomorf olur. Bu koşul Cauchy-Riemann denklemlerinden daha güçlü bir koşuldur ve aşağıdaki gibi ifade edilebilir:
Çok karmaşık değişkenli bir fonksiyonun holomorf olması ancak ve ancak Cauchy-Riemann denklemlerini sağlamasıyla ve yerel olarak gerçekleşir.
Fonksiyonel analize genişleme
Holomorf fonksiyon kavramı fonksiyonel analizdeki sonsuz boyutlu uzaylara genişletilebilir. Örneğin, karmaşık sayılar cismi üzerindeki bir 'nda holomorf fonksiyon fikri ve sayesinde gerçekleştirelebilir.
Kaynakça
- ^ Springer Online Reference Books 6 Mayıs 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde ., Wolfram MathWorld 22 Haziran 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- ^ "Markushevich, A.I., Silverman, Richard A., Theory of functions of a Complex Variable, [[American Mathematical Society]], [[New York]], 2005, sf. 112.--Karmaşık Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi". 13 Kasım 2012 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 6 Temmuz 2008.
Ayrıca bakınız
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Holomorf fonksiyonlar karmasik analizin temel calisma araclarindan biridir Bu fonksiyonlar karmasik duzlemin yani C nin acik bir altkumesinde tanimli bu altkumedeki her noktada karmasik anlamda turevli ve aldigi degerler yine C icinde olan fonksiyonlardir Bu kosul normal gercel turevlilikten daha gucludur Daha derin anlamda holomorf fonksiyon sonsuz kere turevlenebilir ve Taylor serisi ile tanimlanabilir Her ne kadar daha genis anlamda gercel karmasik veya daha genel bir cercevede fonksiyonun tanim kumesi icindeki her noktanin komsulugunda fonksiyonun Taylor serisine esit olmasi anlamina gelse de analitik fonksiyon teriminin holomorf fonksiyon terimi yerine de kullanildigi bolca yer vardir Analitik fonksiyonlar sinifinin karmasik analizde holomorf fonksiyonlar sinifi ile ayni olmasi karmasik analizde onemli bir teoremdir Holomorf fonksiyonlara bazen duzenli fonksiyonlar dendigi de olmaktadir Karmasik duzlemin tumunde holomorf olan fonksiyona tam fonksiyon adi verilir a noktasinda holomorf olma terimi a noktasinda turevli manasina gelmekle beraber ayni zamanda karmasik duzlemde a noktasi etrafindaki belli bir acik disk icindeki her noktada turevli anlamina da gelmektedir TanimU kumesi C nin acik bir kumesiyse f U C U uzerinde tanimli karmasik bir fonksiyonsa ve U kumesine ait bir z0 noktasindaki f z0 limz z0f z f z0 z z0 displaystyle f z 0 lim z rightarrow z 0 f z f z 0 over z z 0 limiti varsa f ye z0 noktasinda karmasik turevli denilir Burada limit z0 noktasina yaklasan karmasik sayilarin tum dizileri uzerinden alinir ve bu tur tum diziler icin farklarin orani tek bir sayiya yaklasmak zorundadir ki o sayi da f z0 dir Sezgisel olarak f fonksiyonu z0 da karmasik turevliyse ve z0 a r yonunden yaklasilirsa o zaman goruntuler de carpimin karmasik sayilar carpimi oldugu f z0 r carpimi yonunden f z0 noktasina yaklasir Turevliligin bu tip tanimi gercel turevlilik ile belli basli ortak ozellikler tasimaktadir her iki turev de dogrusaldir lineerdir her iki turev de turevdeki ve zincir kuralini saglarlar f fonksiyonu U acik kumesi icindeki her z0 noktasinda kompleks turevli ise f fonksiyonu U uzerinde holomorftur denilir f fonksiyonu z0 etrafindaki bir komsuluk icinde kompleks turevli ise z0 noktasinda holomorftur denilir Acik olmayan bir A kumesinde f ye holomorf diyebilmek icin ise f nin A kumesini de iceren bir acik kume uzerinde holomorf olmasi gerekmektedir Gercel turevlilik ve karmasik turevlilik arasindaki iliski ise sudur Eger f x iy u x y iv x y karmasik fonksiyonu holomorfsa o zaman u ve v nin x ve y ye gore birinci kismi turevleri vardir ve Cauchy Riemann denklemleri olarak bilinen asagidaki ifadeyi saglarlar u x v yve u y v x displaystyle frac partial u partial x frac partial v partial y qquad mbox ve qquad frac partial u partial y frac partial v partial x Ancak bu ifadenin tersi her zaman dogru degildir Dogru olan daha basit bir ters ifade ise sudur u ve v nin surekli birinci kismi turevleri varsa ve u ve v Cauchy Riemann denklemlerini sagliyorsa o zaman f holomorftur Terminoloji Holomorf kelimesi ilk kez Cauchy nin ogrencileri olan Briot 1817 1882 ve Bouquet 1819 1895 tarafindan literature sokulmustur ve Yunanca tam anlamina gelen olos holos ve form sekil veya gorunum anlamlarina gelen morfn morphe kelimelerinden olusur Gunumuzde bircok matematikci analitik fonksiyonun daha genel bir kavram olmasindan dolayi holomorf fonksiyon kavramini kullanmayi tercih etmektedir Bunun bir diger nedeni ise karmasik analizde her holomorf fonksiyonun karmasik analitik olmasi gerektigini ifade eden onemli bir sonuctur Ancak yine de analitik terimi daha genis anlamda kullanilmaktadir OzelliklerKarmasik turevin dogrusal olmasi ve carpma bolme ve zincir kuralina uymasi sebebiyle holomorf fonksiyonlarin toplamlari carpimlari ve bileskeleri yine holomorftur ve paydanin sifir olmadigi yerlerde ise iki holomorf fonksiyonun bolumleri yine holomorftur Eger C R2 olarak tanimlanirsa o zaman holomorf fonksiyonlar surekli birinci turevi olan iki gercel degiskenli ve iki denklemden olusan kismi turevsel denklemler kumesi olan Cauchy Riemann denklemlerini cozen fonksiyonlara denk gelir Butun holomorf fonksiyonlar gercel ve sanal kisimlarina ayrilabilirler ve her bir kisim R2 uzerinde Laplace denklemi nin bir cozumudur Baska bir deyisle holomorf fonksiyon f z yi u x y i v x y seklinde ifade edersek hemuhem devharmonik fonksiyonlardir Birinci turevin sifir olmadigi bolgelerde holomorf fonksiyonlar aci ve sekil buyukluk anlaminda degil baglaminda acikorurdurlar Cauchy integral formulu ise bir disk icindeki her holomorf fonksiyonun fonksiyonun diskin sinirlari uzerindeki degerleriyle belirlendigini ifade eder Her Yani bir holomorf fonksiyon f nin tanim kumesindeki her a noktasinda her mertebeden turevi vardir ve a etrafindaki bir komsulukta fonksiyonun anoktasindaki kendi Taylor serisi ne denk gelir Aslinda f fonksiyonu a yi merkez alan ve f nin tanim kumesi icinde kalan her disk uzerinde kendi Taylor serisine denk gelir Cebirsel bakis acisiyla acik bir kume uzerindeki holomorf fonksiyonlar kumesi degismeli halkadir ve Aslinda bu kume uzerindeki supremumlarin oldugu bir OrneklerKarmasik degiskenli ve karmasik katsayili butun polinomlar sinus kosinus ve C uzerinde holomorftur Aslinda trigonometrik fonksiyonlar ustel fonksiyonla iliskilidir ve Euler formulu yardimiyla tanimlanabilirler nin ana dallanmasi C z R z 0 kumesi uzerinde holomorftur z e12log z displaystyle sqrt z e frac 1 2 log z ifadesiyle tanimlanabilir ve bu yuzden log z nin holomorf oldugu her yerde holomorftur 1 z fonksiyonu ise z z 0 uzerinde holomorftur Holomorf olmayan surekli fonksiyonlarin tipik ornekleri ise ve gercel kisimlardir Cok degiskenlilerkarmasik bir analitik fonksiyon degiskenlerin yakinsak kuvvet serileri baglaminda yerel olarak genisletilebilirse disklerin olan bir polidisk icinde analitik veya holomorf olur Bu kosul Cauchy Riemann denklemlerinden daha guclu bir kosuldur ve asagidaki gibi ifade edilebilir Cok karmasik degiskenli bir fonksiyonun holomorf olmasi ancak ve ancak Cauchy Riemann denklemlerini saglamasiyla ve yerel olarak gerceklesir Fonksiyonel analize genislemeHolomorf fonksiyon kavrami fonksiyonel analizdeki sonsuz boyutlu uzaylara genisletilebilir Ornegin karmasik sayilar cismi uzerindeki bir nda holomorf fonksiyon fikri ve sayesinde gerceklestirelebilir Kaynakca Springer Online Reference Books 6 Mayis 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde Wolfram MathWorld 22 Haziran 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde Markushevich A I Silverman Richard A Theory of functions of a Complex Variable American Mathematical Society New York 2005 sf 112 Karmasik Degiskenli Fonksiyonlar Teorisi 13 Kasim 2012 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 6 Temmuz 2008 Ayrica bakinizTersholomorf fonksiyon Meromorf fonksiyon