Açıkorur gönderim

Matematikte, bir açıkorur gönderim açıları koruyan bir fonksiyondur. En genel haliyle, fonksiyon karmaşık düzlemdeki bölgeler arasındadır.

Dikdörtgen bir ızgara (yukarıda) ve açıkorur bir f gönderimi altındaki görüntüsü (aşağıda). f 'nin 90° açıyla kesişen doğru çiftlerini yine 90° açıyla kesişen doğru açılarına gönderdiği görülüyor.

Daha formel olarak, bir

${\displaystyle w=f(z)\,}$

gönderimi bir ${\displaystyle z_{0}}$ noktasından geçen eğrilerin arasındaki yönlü açıları ve açıların yönlerini koruyorsa, bu gönderime ${\displaystyle z_{0}}$ noktasında açıkorur adı verilir. Açıkorur gönderimler hem açıları hem de sonsuz küçüklükteki figürlerin şekillerini korurlar; ancak boyutlarını korumayabilir de.

Açıkorur özelliği bir (koordinat dönüşümünün) Jakoben türevi matrisiyle de açıklanabilir. Eğer dönüşümün Jakoben matrisi her yerde bir skaler ile çarpımıysa, o zaman dönüşüm açıkorurdur.

Açıkorur gönderimler daha yüksek boyutlu Öklid uzaylarındaki veya daha genel bir şekilde bir üzerindeki bölgeler arasında da tanımlanabilir.

Karmaşık analiz

Açıkorur gönderimlerin önemli bir ailesi karmaşık analizden gelmektedir. Eğer U, karmaşık düzlem ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }$ 'nin açık bir altkümesiyse, o zaman

${\displaystyle f:U\rightarrow \scriptstyle \mathbb {C} }$

fonksiyonu ancak ve ancak holomorf ise ve türevi U üzerindeki her yerde sıfırdan farklıysa, açıkorurdur. Eğer f tersholomorf ise (yani, holomorf bir fonksiyona ), açıları yine korur ancak bu sefer yönleri tersine çevirir.

Karmaşık analizin çok derin sonuçlarından biri olan Riemann gönderim teoremi ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }$ 'nin boş olmayan, açık, basit bağlantılı bir özalt kümesiyle ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }$'deki açık birim disk arasında birebir ve örten bir açıkorur gönderimin varolduğunu söyler.

Genişletilmiş karmaşık düzlemin (ki bir küreye ) kendi üzerine bir gönderimi ancak ve ancak ise açıkorurdur. Yine, için, açılar korunur ancak yönler terine çevrilir.

Sonuncunun bir örneği ise birim çembere göre "çember tersinmesi"ne karşılıık gelen eşleniğin tersini almaktır. Bu ayrıca açıyı aynı tutan, yarıçapsal koordinatın tersini almak olarak da açıklanabilir.

Riemann geometrisi

Riemann geometrisinde, ${\displaystyle M}$ pürüzsüz manifoldunun üzerindeki ${\displaystyle g}$ ve ${\displaystyle h}$ , ${\displaystyle M}$ üzerindeki pozitif bir ${\displaystyle u}$ fonksiyonu için ${\displaystyle g=uh}$ eşitliği varsa açıkorur olarak denk denilir. ${\displaystyle u}$ fonksiyonuna ise açıkorur çarpan adı verilir.

İki Riemann manifoldu arasındaki ise, geri çekilen metrik orijinal metriğe açıkorur olarak denk ise açıkorur gönderim denilir.

Pürüzsüz bir manifold üzerinde aynı zamanda açıkorur olarak denk olan sınıfı cinsinden bir açıkorur yapı da tanımlanabilir.

Örneğin, eklenmiş bir düzleme kürenin açıkorur bir gönderimdir.

Daha yüksek boyutlu Öklid uzayı

Boyutu 2'den fazla olan herhangi bir Öklid uzayının üzerindeki açıkorur bir gönderim 3 çeşit dönüşüm tarafından oluşturulabilir: , ve özel bir açıkorur dönüşüm. (Bir "özel açıkorur dönüşüm" yansıma ve bir bileşkesidir.) Bu yüzden, açıkorur dönüşümlerin boyutu 2'den fazla olan uzaylardaki grubu geniş bir açıkorur dönüşüm grubu sağladığı düzlemdeki durumdan daha sınırlıdır.

Kullanımları

Bir fonksiyon belli bir uzayda harmonikse (yani Laplace denklemi ${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$'ı sağlıyorsa) ve açıkorur gönderimle başka bir uzaya dönüştürülüyorsa, dönüşüm de harmoniktir. Bu nedenle, bir tarafından tanımlanmış herhangi bir fonksiyon açıkorur bir gönderim tarafından da dönüştürülebilir ve hala bir potansiyel tarafından hükmedilir durumda kalır. Fizikteki bir potansiyel tarafından tanımlanmış denklemler örnekleri elektromanyetik alanı, içerir ve akışkanlar dinamiğinde sabit yoğunluk, sıfır akışkanlık ve varsayan akışkan akımına bir yaklaşım olan içerir. Açıkorur gönderimin akışkan dinamiği uygulamasından birisi de .

Açıkorur dönüşümlerin için önemi ise tarafından 1910'da açığa çıkarılmıştır.

Açıkorur gönderimler mühendislik ve fizikteki karmaşık değişkenli fonksiyonlar cinsinden ifade edilebilen ancak uygunsuz geometriler sergileyen problemlerin çözümü için çok değerlidir. Uygun bir gönderim seçilerek, bir analist uygunsuz bir geometriyi çok daha uygun bir geometriye dönüştürebilir. Mesela, belli bir açıyla ayrılmış iki iletken levhanın köşesinin yakınında konuşlanmış bir nokta yükünden kaynaklanan bir elektrik alanı ${\displaystyle E(z)}$ hesaplanmak istenebilir (burada ${\displaystyle z}$ noktanın 2-uzaydaki karmaşık koordinatıdır).

Bu problem kendi başına kapalı bir formda çözülmek için bile çok hantaldır. Bununla birlikte, basit bir açıkorur gönderimle, uygunsuz olan açı pi radyan olan bir açıya gönderilir ki bu da iki levhanın köşesinin diz bir doğruya dönüştürüldüğü anlamına gelir. Bu yeni bölgede, problemin çözülmesi oldukça kolaydır. Çözüm ${\displaystyle E(w),}$ bu bölgede elde edilir ve orijinal bölgesine geri gönderilir. Bu uygulamada açıkorur gönderimlerin açıları koruduğu gerçeğine çelişki yoktur çünkü açıları koruma bölgelerin içi için geçerlidir sınırlar için değil.

Kartografide, harita izdüşümleri adı verilenler ise yine açıkorurdurlar.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

• Ahlfors, Lars V. (1973), Conformal invariants: topics in geometric function theory, New York: McGraw-Hill Book Co. 
• E.P. Dolzhenko (2001), "Conformal mapping", Hazewinkel, Michiel (Ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN  
• (1987), Real and complex analysis (3. bas.), New York: McGraw-Hill Book Co., ISBN , MR924157 
• Eric W. Weisstein, Açıkorur Gönderim (MathWorld)

Dış bağlantılar

• John H. Mathews. . 29 Eylül 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi. 
• . 8 Şubat 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. 
• . 12 Ekim 2007 tarihinde kaynağından arşivlendi. 
• Michael Trott. . . 21 Haziran 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi.