Bölüm topolojisi

Bölüm topolojisi, bir topolojik uzaydan başka bir topolojik uzay elde etmenin klasik yollarından biridir. Bir topolojik uzayda kimi noktaların birbirine yapıştırılmasıyla (özdeşleştirilmesiyle) elde edilen yeni kümenin üzerine konacak bölüm topolojisi, bu yeni kümeyi yeni bir topolojik uzaya dönüştürür. Bu yeni uzaya bölüm uzayı denir. Örneğin [0,1] bir topolojik uzaydır. Bu uzayda 0 ve 1 noktaları özdeşleştirilir ve bu yeni kümeye bölüm topolojisi verilirse oluşturulan topolojik uzay düzlemde birim çember olur. Başka bir örnek: düzlemde yatan birim yarıçaplı dairenin üst tarafındaki her bir nokta kenarın alt tarafında karşılık gelen noktaya yapıştırılır ve bu yeni kümenin üzerine bölüm topolojisi konursa, bu topolojik uzay 3 boyutlu Öklit uzayında birim yarıçaplı küre olur.

Bölüm uzayı, ilk baştaki uzaydan genelde farklıdır çünkü yapıştırma işlemi sürekli bir işlem değildir. İlk uzaydan son uzaya akla gelen ilk birebir bile değildir. Yine de özel durumlarda başlanan uzaya geri elde edilebilir. Bariz olmayan bir örnek için düzlemde birim çemberin her noktasını göre bakışık (simetrik) noktasıyla özdeşleştirip bölüm topolojisi koyalım. Çıkan topolojik uzay yine bir çemberdir. lde</math> X üzerinde bir denklik bağıntısı olsun.

Matematiksel Tanım

X herhangi bir topolojik uzay olsun. X üzerinde ${\displaystyle \thicksim }$ olarak gösterilen bir denklik bağıntısı alalım. X'in herhangi bir x öğesi için X'e ait şöyle bir altküme tanımlansın:

${\displaystyle [x]\doteq \{a\in X|x\thicksim a\}}$;

yani [x] kümesi, x 'e ${\displaystyle \thicksim }$ altında denk olan tüm öğelerin kümesi olsun. Bu altkümeye denklik sınıfı denir. Tüm denklik sınıflarının kümesineyse X'in ${\displaystyle \thicksim }$ altında bölüm kümesi denir ve ${\displaystyle X/_{\thicksim }}$ olarak gösterilir:

${\displaystyle X/_{\thicksim }\doteq \{[x]\ |\ x\in X\}}$.

Bölüm kümesinde şöyle tanımlanan topolojiye bölüm topolojisi denir: ${\displaystyle X/_{\thicksim }}$'in bir altkümesinin açık olması ancak ve ancak bu altkümenin içindeki denklik sınıflarının X'te birleşiminin açık olması durumunda doğrudur. Bu özelliğin bir topoloji tanımladığı gösterilebilir. Bu topolojiye sahip bir bölüm kümesine bölüm uzayı denir.

Bu tanıma denk olduğu gösterilebilecek bir tanım da şudur: ${\displaystyle p:X\rightarrow X/_{\thicksim }}$ gönderimi x öğesini [x] denklik sınıfına götüren izdüşüm gönderimi olsun. Bölüm kümesinin üzerine konacak ve p gönderimini sürekli yapacak en ince topolojiye bölüm topolojisi denir.

Herhangi X topolojik uzayı ve Y kümesi için benzer tanımlar yapılabilir. ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ örten bir gönderim olsun. Y kümesinin üzerine konacak ve f gönderimini sürekli yapacak en ince topolojiye bölüm topolojisi denir. Yukarıdaki gibi, buna denk bir tanım vardır: Y'de bir U altkümesinin açık olması ancak ve ancak ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ alt kümesinin X'te açık olması durumunda doğrudur. Bu durumda f gönderimine de bölüm gönderimi denir. Burada ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ derken X'in f altında U'ya giden öğelerinin kümesini kastediyoruz.

Öte yandan, f gönderimi X üzerinde bir denklik bağıntısı tarif eder: ${\displaystyle x{\thicksim }y}$ ancak ve ancak f(x)=f(y). Bu denklik bağıntısının belirlediği ${\displaystyle X/_{\thicksim }}$ bölüm uzayı, yukarıdaki gibi kurulan Y topolojik uzayına homeomorfiktir.