Topolojik uzaylar, matematiğin Topoloji dalının başlıca uğraş konularıdır. Bir X kümesi ve bu kümenin alt kümelerinin bir kısmını içeren ve aşağıdaki varsayımları sağlayan S kümesinden oluşurlar:
1) ve X kümeleri S'nin elemanıdır;
2) S'nin elemanları arasından seçilecek herhangi bir koleksiyonu için, kümesi de S'nin bir elemanıdır,
3) S'nin elemanları arasından seçtiğimiz kümelerinin olan kümesi de S'nin elemanıdır.
Burada ikinci şartta bahsettiğimiz koleksiyonun sonsuz sayıda eleman içerebileceğine ancak üçüncü şarttaki altkümelerin sayısının sonlu olduğuna dikkat etmek gereklidir.
Geleneksel olarak X'in altkümelerinden S'nin elemanı olanlara açık kümeler denir. Buna karşılık C kümesi X'in bir altkümesiyse ve de fark kümesi açık bir kümeyse, o zaman C'ye de kapalı bir küme denir. Bu tanıma göre X ve kümeleri aynı zamanda hem açık hem kapalıdırlar.
Verilen bir (X,S) topolojik uzayında X'in altkümelerinden oluşan öyle bir Y kümesi olsun ki X'te açık her küme Y'nin elemanlarının bir birleşimi olarak yazılabilsin. Bu durumda Y kümesine (X,S) uzayının temeli denir.
Örnekler
1) Verilen herhangi bir X kümesi için, S, X'in tüm alt kümelerinin kümesi olsun (yani her bir altküme açık olsun). Böyle oluşturulmuş topolojiye denir.
2) Reel Sayılar üzerinde (a,b) şeklindeki (a ve b olabilir) doğru parçalarının yarattığı topoloji. 'nın geometrik özelliklerini anlamakta kullanılan doğal topolojidir.
3) Uzunluk uzayları, metrik uzaylar, iç çarpım uzayları ve Banach uzayları topolojik uzaylardır.
Açık Kümeler Kullanılarak Tanımı
X herhangi bir küme, T ise X kümesinin altkümelerinin bir kısmından oluşan bir küme olsun. Eğer T aşağıdaki koşulları sağlıyorsa T'ye X'in üzerinde bir topoloji denir:
- Boşküme ve X, T'nin elemanları olmalıdır.
- T'nin herhangi sayıda elemanının (X'in altkümesi olarak) birleşimi yine T'nin elemanı olmalıdır.
- T'nin sonlu sayıda elemanının kesişimi yine T'nin elemanı olmalıdır.
Bu koşulların sağlanması durumunda T ile donatılmış X kümesine bir topolojik uzay denir.
Örnekler
- X = {1, 2, 3, 4} ve yularıdaki aksiyomları sağlamak adına Xin yalnız 2 altkümesini içeren koleksiyon τ = {{}, {1, 2, 3, 4}}, X üzerinde bir topolojidir.
- X = {1, 2, 3, 4} ve X'in altı altkümesinden meydana gelen koleksiyon τ = {{}, {2}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}}, X için bir başka topolojidir. (aşikar (indiskrit) topoloji)
- X = {1, 2, 3, 4} ve koleksiyon τ = P(X) (X'in kuvvet kümesi) verilmiş olsun. (X, τ) bir topolojik uzay temsil eder. Bu durumda τ'ye ayrık topoloji denir.
- X = Z, (Z : tam sayılar kümesi) ve τ koleksiyonu, Z'nin elemanları ile oluşturulabilecek sonlu sayıdaki tüm altkümeler ve Z'nin kendisinden oluşmak üzere, τ koleksiyonu bir topoloji değildir, çünkü (örneğin) 0'ı içermeyen tüm sonlu altkümelerin birleşimi sonsuzdur, fakat hâlâ Z'nin tüm elemanlarını içermez, bu yüzden τ'nin elemanı değildir.
Ayrıca bakınız
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Topolojik uzaylar matematigin Topoloji dalinin baslica ugras konularidir Bir X kumesi ve bu kumenin alt kumelerinin bir kismini iceren ve asagidaki varsayimlari saglayan S kumesinden olusurlar 1 displaystyle emptyset ve X kumeleri S nin elemanidir 2 S nin elemanlari arasindan secilecek herhangi bir Ua displaystyle U alpha koleksiyonu icin aUa displaystyle bigcup alpha U alpha kumesi de S nin bir elemanidir 3 S nin elemanlari arasindan sectigimiz U1 Un displaystyle U 1 U n kumelerinin olan i 1nUi displaystyle bigcap i 1 n U i kumesi de S nin elemanidir Burada ikinci sartta bahsettigimiz koleksiyonun sonsuz sayida eleman icerebilecegine ancak ucuncu sarttaki altkumelerin sayisinin sonlu olduguna dikkat etmek gereklidir Geleneksel olarak X in altkumelerinden S nin elemani olanlara acik kumeler denir Buna karsilik C kumesi X in bir altkumesiyse ve de X C displaystyle X setminus C fark kumesi acik bir kumeyse o zaman C ye de kapali bir kume denir Bu tanima gore X ve displaystyle emptyset kumeleri ayni zamanda hem acik hem kapalidirlar Verilen bir X S topolojik uzayinda X in altkumelerinden olusan oyle bir Y kumesi olsun ki X te acik her kume Y nin elemanlarinin bir birlesimi olarak yazilabilsin Bu durumda Y kumesine X S uzayinin temeli denir Ornekler1 Verilen herhangi bir X kumesi icin S X in tum alt kumelerinin kumesi olsun yani her bir altkume acik olsun Boyle olusturulmus topolojiye denir 2 Reel Sayilar uzerinde a b seklindeki a displaystyle infty ve b displaystyle infty olabilir dogru parcalarinin yarattigi topoloji nin geometrik ozelliklerini anlamakta kullanilan dogal topolojidir 3 Uzunluk uzaylari metrik uzaylar ic carpim uzaylari ve Banach uzaylari topolojik uzaylardir Acik Kumeler Kullanilarak TanimiX herhangi bir kume T ise X kumesinin altkumelerinin bir kismindan olusan bir kume olsun Eger T asagidaki kosullari sagliyorsa T ye X in uzerinde bir topoloji denir Boskume ve X T nin elemanlari olmalidir T nin herhangi sayida elemaninin X in altkumesi olarak birlesimi yine T nin elemani olmalidir T nin sonlu sayida elemaninin kesisimi yine T nin elemani olmalidir Bu kosullarin saglanmasi durumunda T ile donatilmis X kumesine bir topolojik uzay denir Ornekler X 1 2 3 4 ve yularidaki aksiyomlari saglamak adina Xin yalniz 2 altkumesini iceren koleksiyon t 1 2 3 4 X uzerinde bir topolojidir X 1 2 3 4 ve X in alti altkumesinden meydana gelen koleksiyon t 2 1 2 2 3 1 2 3 1 2 3 4 X icin bir baska topolojidir asikar indiskrit topoloji X 1 2 3 4 ve koleksiyon t P X X in kuvvet kumesi verilmis olsun X t bir topolojik uzay temsil eder Bu durumda t ye ayrik topoloji denir X Z Z tam sayilar kumesi ve t koleksiyonu Z nin elemanlari ile olusturulabilecek sonlu sayidaki tum altkumeler ve Z nin kendisinden olusmak uzere t koleksiyonu bir topoloji degildir cunku ornegin 0 i icermeyen tum sonlu altkumelerin birlesimi sonsuzdur fakat hala Z nin tum elemanlarini icermez bu yuzden t nin elemani degildir Ayrica bakinizTopoloji Kompakt Uzay Manifold Cebirsel topoloji Diferansiyel topoloji Uzay matematik