Bulanık küme (veya belirtisiz küme) kavramı, küme kavramının eleman olmanın derecelendirilmesine dayanan bir genelleştirilmesidir. Bulanık kümeler belirtisiz mantığın doğal bir genişlemesi olarak 1965 yılında Lütfi Aliaskerzade tarafından tanımlanmıştır. Bir nesne bir kümenin ya elemanı ya da elemanı değilken, bir bulanık kümenin belirli bir oranda kısmen elemanı olabilir.
Tanım
boştan farklı bir evrensel küme olarak seçilsin. Bir
fonksiyonuna
üzerinde bir bulanık küme adı verilir.
Bulanık küme farklı şekillerde de tanımlanabilir ancak kümenin her nokta için kapalı aralığında bulunan bir üyelik değerine sahip olmasını anlatması bakımından bu tanımların hepsi birbirine denktir.
Bir ∈
elemanı için
değerine
'in A'daki elemanlık derecesi denir. Bu değer kimi zaman
ile de gösterilir.
olması klasik küme anlamında
'in
'nın elemanı olması,
olması ise klasik kümelerdeki
'in
'nın elemanı olmaması durumuna denk gelir.
Eğer bir için
ise
∈α
yazılır ve
'in
bulanık kümesinin
derecesinde elemanı olduğu söylenir.
Örneğin yani
∈0,5
olması
'in
'nın yarı yarıya elemanı olması şeklinde yorumlanır. ∈1 klasik ∈, ∈0 klasik ∉ sembolüne karşılık gelir.
Bulanık alt küme
ve
boş olmayan bir
kümesi üzerinde iki bulanık küme olsun. Her
için
oluyorsa
veya
yazılır ve
'nın
'nin bir bulanık alt kümesi olduğu söylenir.
ve
bulanık kümelerinin eşitliği, her
∈
için
olmasıyla tanımlanır. Buna göre
'nın
'ye eşit olması aynı zamanda hem
hem de
olması demektir.
üzerindeki bütün bulanık kümeler her
∈
için
ile tanımlanan
bulanık kümesinin alt kümesiyken, her
∈
için
ile tanımlanan
bulanık kümesi
'teki bütün bulanık kümelerin alt kümesidir. Bazen
ve
sembolleri yerine sırasıyla
ve
veya kısaca
ve
kullanılır.
Bulanık kümeler üzerinde işlemler
Kümeler için tanımlı olan birleşim, kesişim, tümleme, kartezyen çarpım gibi işlemlerin tümü bulanık kümeler üzerine de taşınabilir.
İki bulanık kümenin birleşimi veya
ile gösterilir ve bu kümeye eleman olma derecesi her
∈
için
olarak tanımlanır.
İki bulanık kümenin kesişimi ise veya
ile gösterilir ve bu kümeye eleman olma derecesi her
∈
için
olarak tanımlanır.
ve
sırasıyla
ve
kümeleri üzerinde bulanık kümeler ise
de
üzerinde bir bulanık kümedir ve her
için
şeklinde tanımlanır.
İki küme için tanımlanan bu işlemler ve yerine sırasıyla ve alınarak herhangi sayıdaki bulanık kümeler ailesine genişletilebilir.
bulanık kümesinin tümleyeni
veya
ile gösterilir ve her
∈
için
formülüyle belirlenir. Klasik kümelerden farklı olarak bir
bulanık kümesi için
olması mümkündür.