Bell'in Uzay Gemisi Paradoksu

Bell'in uzay gemisi paradoksu özel görelilikte bir düşünce deneyidir. Bu deney ilk olarak E. Dewan ve M. Beran tarafından 1959 yılında tasarlanmıştır ve J. S. Bell geliştirilmiş halini deneye dahil edince geniş ölçüde tanınır hale gelmiştir. Hassas bir ip veya tel iki uzay gemisini birbirine bağlar. Her iki uzay gemisi, eylemsiz çerçeve olarak belirlenen S’ye göre ölçüldüğünde eşit olarak ve aynı anda ivmelenmeye başlarlar, böylece S’deki tüm zamanlarda aynı hıza sahip olurlar. Bu nedenle, uzay gemileri aynı uzunluk daralmasına bağlı kalırlar. Böylece tüm sistemin S referansında başlangıçlardaki uzunluklarına göre eşit olarak daraldığı görülür. Bu nedenle, ilk bakışta, telin ivmelenme boyunca kırılmaması beklenir.

Yukarıda: S'de tel daralırken uzay gemileri arasındaki mesafe sabit kalır. Aşağıda: S'de telin uzunluğu sabit kalırken uzay gemileri arasındaki mesafe artar.

Fakat bu görüşün yanlış olduğu Dewan, Beran ve Bell tarafından belirlenmiştir. Başlangıçtaki uzunluklarına göre, iki gemi arasındaki uzaklık Lorentz (uzunluk) daralmasına uğramamaktadır. Çünkü S referansında, her iki uzay gemisinin eşit ve aynı anda ivmelenmesi nedeniyle uzay gemilerinin aralarındaki uzaklığın aynı kalması beklenir. Ayrıca, bu iki gemi arasındaki durgun uzaklığın anlık sabit referans noktalarında (S’) artar çünkü uzay gemilerinin ivmeleri eşzamanlılık göreliliği nedeniyle burada eş zamanlı değildir. Diğer yandan, elektriksel kuvvetler tarafından bir arada tutulan fiziksel bir obje olan ip aynı durgun uzunluğu korur. Yani, S çerçevesinde, hareketteki objelerin elektromanyetik alanı dikkate alındığında sonuçlarının elde edildiği Lorentz daralması gerçekleşmelidir. Böylece, her iki çerçevede de yapılan hesaplamalar ipin kopacağını gösterir; S’ çerçevesinde eş zamanlı olmayan ivmelenme ve uzay gemileri arasındaki artan uzaklık nedeniyle ve S çerçevesinde ipin daralması nedeniyle.

Aşağıda, objenin durgun uzunluğu veya uygun uzunluğu objenin durgun çerçevesinde ölçülen uzunluğudur. (Bu uzunluk, bu olaylar objenin durgun çerçevesinde uç noktada eş zamanlı ölçüldüğü zaman özel durumda iki olay arasındaki uygun uzaklığa uyar.)

Dewan ve Beran

Dewan ve Beran düşünce deneyini yazarak belirttiler:

“Eylemsiz bir çerçeve S’de durgun, aynı özelliklerde yapılan iki roketi göz önünde bulundurun. Hadi bunlar aynı yöne bakıyor ve biri diğerinin arkasında olsun. Eğer önceden belirlenmiş zamanda iki roketin de aynı anda ( S’ye göre) ateşlendiğini varsayarsak, deneyin geri kalanı boyunca roketlerin hızları S’ye göre aynı olur ( roketlerin hızları zamanın fonksiyonu olmasına rağmen). Tanıma göre bu roketler göreceli hızlarla hızlandığı zaman bile ikisi arasındaki uzaklığın S’ye göre değişmeyeceği anlamına geliyor.”

Sonra bu plan tekrarlandı ama bu sefer ilk roketin arkası ikinci roketin önüne ipek bir ip ile bağlandı. Dewan ve Beran şu sonuca vardılar:

“Özel teoriye göre ip S’ye göre daralmalı çünkü S’ye göre bir hıza sahip. Fakat roketler S’ye göre sabit uzaklığı sürdürdükten sonra ip (başlangıçta gergin olduğunu varsaydığımız) kısalamaz: bu yüzden ipin elastik limitine ulaştığı ve koptuğu yeterince yüksek hızlara kadar bir baskı oluşmalı.”

Dewan ve Beran da Lorentz dönüşümü uygulanması ile ortaya çıkan, ilk roketin anlık kışkırttığı eylemsiz çerçevenin bakış açısından çıkan sonucu tartıştılar:

" ${\displaystyle \scriptstyle t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ eşitliğinden dolayı (..) burada kullanılan her bir çerçeve ${\displaystyle vx/c^{2}}$ faktörü yüzünden farklı bir eşleme düzenine sahip. Bu artarken, öndeki roketin anlık bir eylemsiz çerçeveye göre arkadaki roketten sadece çok uzakta gibi görüneceğini değil, aynı zamanda daha erken harekete başlamış gibi görüneceğini gösterir.”

Şu şekilde sonuçlandırdılar:

“Biri şu sonuca varabilir; bir cisim tüm bölümleri aynı ivmeye sahip olacak şekilde herhangi bir yol ile eylemsiz bir çerçeveye göre harekete zorlandığında (veya alternatif olarak, eylemsiz bir çerçeveye göre boyutları sabittir ve dönme hareketi yoktur ), böyle bir cisim genel relativistik deneyde sıkışmalıdır.”

Sonra şunlar arasında bir fark olmayacağı itirazını tartıştılar a) bağlanan çubuğun iki ucu arasındaki mesafe ve b) eylemsiz bir çerçeveye göre aynı hız ile hareket ede birbirine bağlanmamış cisimlerin arasındaki mesafe. Dewan ve Beran tartışarak bu itirazları ortadan kaldırdılar:

•İki roket tamamen aynı yollarla inşa edildiği ve S’de aynı anda aynı ivme ile harekete başladıkları için S’deki tüm zamanlarda aynı hıza sahip olmalılar. Yani, S’de aynı mesafe kat ediyorlar, böylece karşılıklı mesafeleri bu çerçevede değişemiyor. Bunu dışında, eğer mesafe S’de daralsaydı, bu roketlerin bu çerçevede farklı hızları olacağı anlamına gelirdi ve de bu önceki yorum ve ivme ile çelişirdi. 

 •Onlar a) ve b) durumları arasında gerçekten bir fark olacağını da tartıştılar: a) çubuğun sabit olarak görülebilir olduğu sürece aynı kaldığı S0’da durgun uzunluğu I0 kavramına dayalı olağan durum olan uzunluk daralması. Bu koşullar altında, S’de çubuk daralır. Fakat bu durumda mesafe sabit olarak görülemez. b) S0’da eşit olmayan ivmeler nedeniyle mesafe arttığı için ve roketler birbirleriyle bilgi değişimi yapmak ve hızlarını bunları karşılamak amacıyla ayarlamak zorunda olacağı için – bütün bu karışıklıklar durum a)’da ortadan kalkmaz. 

Bell

Bell önerdiği gibi dikey bir düzenleme.

Bell’in modeli olan düşünce deneyinde üç uzay gemisi A, B ve C bilinen eylemsiz referans çerçevesinde başlangıçta durgunlar ve B ve C uzay gemileri A ile eşit uzaklıktalar. Sonra, A uzay gemisi ilk referans noktasında sabit kalırken bu gemi tarafında aynı anda olmak üzere B ve C uzay gemilerine dikey yönde (özdeş ivme profili ile önceden programlanmış) ivmelenmeye başlamalarına neden olan bir sinyal gönderilir. Bell’e göre, bu B ve C’nin (A’nın durgun çerçevesine göre) her an eşit hızlara sahip olacağı anlamına gelir ve böylece birinden diğerine sabit bir mesafede yer değişimi sürecektir. Şimdi, eğer kırılgan ip B ve C arasına bağlanırsa, uzunluk daralmasından dolayı artık yeterince uzun olmayacak ve böylece kırılacaktır. Bell “doğal daralmanın yapay önleminin dayanılmaz baskıyı önleyeceği” sonucuna vardı.

Bell paradoksu sunduğu zaman seçkin bir deneyciden çok şüphecilik ile karşılaştığını rapor etti. Tartışmayı çözmeye kalkışmak için, CERN’den resmi ve sistematik olmayan bir incelemenin görüşü alındı. Bell’ e göre hatalı olarak savunulan ipin kopmayacağı açık fikir birliği vardı. Bell eklemeye devam eder,

“Tabii ki, ilk olarak yanlış cevabı alan birçok insan daha fazla etki ile doğru cevabı alır. Genellikle onlar B veya C gözlemcilerinin nasıl gözüktüğü konusunda çalışma yapmak zorunda hissederler. Mesela, B’nin C’yi çok çok daha arkasında sürüklendiğini, böylece verilen bir parça ipin daha uzun mesafeye yayılamayacağını bulurlar. Bu sadece çalışma yapıldıktan sonradır ve muhtemelen sadece tedirginliğin kalan hissi ile bu insanlar sonunda A’nın hesaplamaları açısından tamamen önemsiz olan Fitzgerald daralmasını içeren sonuçları kabul ederler.”

Uzunluk daralmasının önemi

Genel olarak, bir cismin bütün parçaları eylemsiz bir çerçevede aynı yolla ivmelendikleri zaman rölativistik baskının ortaya çıktığı ve uzunluk daralmasının gerçek fiziksel sonuçları olduğu Dewan & Beran ve Bell tarafından sonuçlandırılmıştır. Örneğin, Bell cisimler ve cisimler arasındaki uzunluk daralmasının S çerçevesinde rölativistik elektromanyetizma kullanılarak açıklanabileceğini savundu. Bu çarpık elektromanyetik moleküller arası alanlar eğer engel olunursa cisimlerin daralması ve baskı hissetmesi için hareketine neden olur. Tersine, boşlukta cisimler arasında böyle kuvvetler yoktur. (Genel olarak, Richard Feynman sabit hızla hareket eden yükün potansiyelinin Lorentz dönüşümü ile nasıl sağlandığını gösterdi (Liénard–Wiechert potansiyeli tarafından temsil edildiğine göre). Tarihsel açıdan, Feynman  Hendrik Lorentz'in Lorentz dönüşümünde aslında aynı yola vardığını kastetti.

Ancak, Petkov (2009) ve Franklin (2009) bu paradoksu farklı yorumladılar. Onlar roketler arasındaki durgun uzunluğun artmasına neden olan roketlerin çerçevesindeki eşit olmayan ivmelenme nedeniyle telin kopacağına katılıyorlardı (bkz Minkowski diyagramı  analiz bölümü). Ancak, onlar S çerçevesinde roketlerin baskılarının uzunluk daralmasına neden olacağını reddettiler. Onların fikrine göre bunun nedeni uzunluk kısalmasının "fiziksel gerçekliğe" sahip olmamasıydı ama sadece Lorentz dönüşümünün sonucu, yani tek başına asla bir yerde baskıya neden olamayacak dört boyutlu uzayda bir rotasyon gibi. Yani S çerçevesini de içeren bütün referans çerçevelerinde birçok baskı ve telin kopması yalnızca rölativistik ivmenin etkisi olması gerekiyordu.

Tartışmalar ve yayınlar

Paul Nawrocki (1962), hala geçerli olan orijinal analizini bir cevapta gösterirken telin neden kırılması gerektiğini üç iddia ile vermiştir. Yıllar sonra ve Bell'in kitabından sonra, Matsuda ve Kinoshita bir Japon dergisindeki paradoksun yeniden keşif versiyonunun yayınlandığı makaleden sonra birçok eleştiri aldıklarını rapor etmiştir. Matsuda ve Kinoshita özel kâğıtlardan bahsetmemiştir ama yalnızca Japonca yazılan bu itirazları belirtmişlerdir.

Ancak, birçok yayında telde baskıların ortaya çıktığı bazı yeni formülasyonlar, değişiklikler ve farklı senaryolar ile kararlaştırılmıştır; mesela Evett & Wangsness (1960), Dewan (1963), Romain (1963), Evett (1972), Gershtein & Logunov (1998), Tartaglia & Ruggiero (2003), Cornwell (2005), Flores (2005), Semay (2006), Styer (2007), Freund (2008), Redzic (2008), Peregoudov (2009), Redžić (2009), Gu (2009), Petkov (2009), Franklin (2009), Miller (2010), Fernflores (2011), (2012) Kassner gibi. Benzer bir problem de açısal ivme ile ilgili olarak tartışılmıştır: Grøn (1979), MacGregor (1981), (1982, 2003) Grøn.

Analizi

Dönen disk 

Bell'in uzay gemisi paradoksu cisimler arasındaki durgun uzunluğun korunması ile ilgili değildir (Born katılığındaki gibi), ama cisimlerin hareket ettiği eylemsiz çerçeveye göre mesafenin korunması ile ilgilidir. Tarihsel olarak, Albert Einstein zaten dönüş çerçevesinde, dönen bir diskin çevresinin eylemsiz çerçevede dönenden daha büyük ölçüleceğini genel görelilik'in geliştirilme sürecinde fark etmişti. 1916'da Einstein açıkladı:

"Bir dairenin çevresinin ve çapının yarıçap ile karşılaştırıldığında oldukça küçük ölçüldüğünü ve iki sonucun bölümünü elde ettiğimizi varsayalım. Eğer bu deney Galile sistemi K' ile ilişkili olarak ölçülen çubuklarla hareketsiz, durgun yapılsaydı, bölüm π olurdu. K'ya göre durgunda ölçülen çubuklarla bölüm π'den büyük olacaktı. Eğer biz sabit K' sisteminden ölçülen tüm süreci göze alırsak ve yarıçap boyunca uygulananlar olmazken Lorentz daralmasına uğrayan çevreye başvuran ölçülen çubukları dikkate alırsak bu kolayca anlaşılır olur. Dolayısıyla Öklid geometrisi K için uygulanmaz."

Bu noktaya Einstein tarafından 1919'da kesin olarak değinilmiştir, verilen

${\displaystyle U=\gamma U_{0}}$,

${\displaystyle U}$ dönüş çerçevesinde çevre, ${\displaystyle U_{0}}$ laboratuvar çerçevesinde, ${\displaystyle \gamma }$ Lorentz faktörüdür ${\displaystyle 1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$. Bu nedenle, bir Born katılığı durumda bu dönüşün içindeki sabit bir durumdan bir disk getirmek için imkânsızdır. Bunun yerine,disk sabit dönüş durumuna girene kadar ivmelenen dönüşün bölümü boyunca baskılar ortaya çıkar.

İvmelenen gemiler

Benzer şekilde, Bell'in uzay gemisi paradoksunda gemiler arasındaki ilk durgun uzunluk ${\displaystyle L}$ ile yeni durgun uzunluk  (ivmelenmeden sonra S çerçevesinde eş hareketli uzunluk) ve yeni dinlenme  ${\displaystyle L'}$ arasındaki ilişki S' çerçevesinde ivmelenmeden sonra şu şekildedir: .

${\displaystyle L'=\gamma L}$.

Bu uzunluk artışı farklı şekillerde hesaplanabilir. Örneğin, eğer ivmelenme bitmişse gemiler son durgun S' çerçevesinde aynı konumu sabit olarak sürdürecekler, yani sadece S çerçevesinden S' çerçevesine dönüşen x koordinatları arasındaki mesafeyi ölçmek gerekli olacaktır. Eğer ${\displaystyle x_{A}}$ ve ${\displaystyle x_{B}=x_{A}+L}$ S çerçevesinde gemilerin pozisyonlarıysa, gemilerin durgun olan yeni S' çerçevesinde pozisyonları:

${\displaystyle {\begin{aligned}x'_{A}&=\gamma \left(x_{A}-vt\right)\\x'_{B}&=\gamma \left(x_{A}+L-vt\right)\\L'&=x'_{B}-x'_{A}\\&=\gamma L\end{aligned}}}$

Başka bir metot eşzamanlılık göreliliğinin önemini kanıtlaya Dewan (1963) tarafından gösterilmiştir. S' çerçevesinin görünümü olarak tanımlanan her iki gemi ivmelenme bittikten sonra durgun olacaklar. Eşzamanlılık göreliliği nedeniyle aynı zaman farkı ile A gemisinden önce B gemisinin ivmelenmesi ve durmasına rağmen Gemiler ${\displaystyle t_{A}=t_{B}}$ 'de S çerçevesinde aynı anda ivmeleniyor (ivmelenin sonsuz küçüklükte bir zamanda gerçekleştiğini varsayarsak):

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta t'&=t'_{B}-t'_{A}=\gamma \left(t_{B}-{\frac {vx_{B}}{c^{2}}}\right)-\gamma \left(t_{A}-{\frac {vx_{A}}{c^{2}}}\right)\\&={\frac {\gamma vL}{c^{2}}}\end{aligned}}}$

Ayrıca bakınız

• (Görecelilik)hiperbolik hareket
• Fiziksel paradoks
• Rindler koordinatları
• Supplee paradoksu
• İkiz paradoksu

Kaynakça

1. ^ ^{a b c d} Dewan, Edmond M.; Beran, Michael J. (20 Mart 1959). "Note on stress effects due to relativistic contraction". American Journal of Physics. 27 (7). American Association of Physics Teachers. ss. 517-518. Bibcode:1959AmJPh..27..517D. doi:10.1119/1.1996214. 
2. ^ Bell, John Stewart (1987). Speakable and unspeakable in quantum mechanics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN . 
3. ^ Feynman, R.P. (1970), "21–6. The potentials for a charge moving with constant velocity; the Lorentz formula", The Feynman Lectures on Physics, 2, Reading: Addison Wesley Longman, ISBN  
4. ^ ^{a b c d} Vesselin Petkov (2009): Accelerating spaceships paradox and physical meaning of length contraction, arXiv:0903.5128, published in: Veselin Petkov (2009). Relativity and the Nature of Spacetime. Springer. ISBN . 
5. ^ ^{a b c d e} Franklin, Jerrold (2010). "Lorentz contraction, Bell's spaceships, and rigid body motion in special relativity". European Journal of Physics. 31 (2). ss. 291-298. arXiv:0906.1919 $2. Bibcode:2010EJPh...31..291F. doi:10.1088/0143-0807/31/2/006. 
6. ^ Nawrocki, Paul J. (Ekim 1962). "Stress Effects due to Relativistic Contraction". American Journal of Physics. 30 (10). ss. 771-772. Bibcode:1962AmJPh..30..771N. doi:10.1119/1.1941785. 
7. ^ ^{a b c d} Dewan, Edmond M. (Mayıs 1963). "Stress Effects due to Lorentz Contraction". American Journal of Physics. 31 (5). ss. 383-386. Bibcode:1963AmJPh..31..383D. doi:10.1119/1.1969514. 
8. ^ Matsuda, Takuya; and Kinoshita, Atsuya (2004). "A Paradox of Two Space Ships in Special Relativity". AAPPS Bulletin. Cilt February. ss. ?. KB1 bakım: Birden fazla ad: yazar listesi ()
9. ^ Evett, Arthur A.; Wangsness, Roald K. (1960). "Note on the Separation of Relativistically Moving Rockets". American Journal of Physics. 28 (6). ss. 566-566. Bibcode:1960AmJPh..28..566E. doi:10.1119/1.1935893. KB1 bakım: Birden fazla ad: yazar listesi ()
10. ^ Romain, Jacques E. (1963). "A Geometrical Approach to Relativistic Paradoxes". American Journal of Physics. 31 (8). ss. 576-585. Bibcode:1963AmJPh..31..576R. doi:10.1119/1.1969686. 
11. ^ Evett, Arthur A. (1972). "A Relativistic Rocket Discussion Problem". American Journal of Physics. 40 (8). ss. 1170-1171. Bibcode:1972AmJPh..40.1170E. doi:10.1119/1.1986781. 
12. ^ Gershtein, S. S.; Logunov, A. A. (1998). "J. S. Bell's problem". Physics of Particles and Nuclei. 29 (5). ss. 463-468. Bibcode:1998PPN....29..463G. doi:10.1134/1.953086. KB1 bakım: Birden fazla ad: yazar listesi ()
13. ^ Tartaglia, A.; Ruggiero, M. L. (2003). "Lorentz contraction and accelerated systems". European Journal of Physics. 24 (2). ss. 215-220. arXiv:gr-qc/0301050 $2. doi:10.1088/0143-0807/24/2/361. KB1 bakım: Birden fazla ad: yazar listesi ()
14. ^ Cornwell, D. T. (2005). "Forces due to contraction on a cord spanning between two spaceships". EPL (Europhysics Letters). 71 (5). ss. 699-704. Bibcode:2005EL.....71..699C. doi:10.1209/epl/i2005-10143-x. 
15. ^ ^{a b} Flores, Francisco J. (2005). "Bell's spaceships: a useful relativistic paradox". Physics Education. 40 (6). ss. 500-503. Bibcode:2005PhyEd..40..500F. doi:10.1088/0031-9120/40/6/F03. 4 Mart 2016 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 22 Mayıs 2016. 
16. ^ Semay, Claude (2006). "Observer with a constant proper acceleration". European Journal of Physics. 27 (5). ss. 1157-1167. arXiv:physics/0601179 $2. Bibcode:2006EJPh...27.1157S. doi:10.1088/0143-0807/27/5/015. 
17. ^ Styer, Daniel F. (2007). "How do two moving clocks fall out of sync? A tale of trucks, threads, and twins". American Journal of Physics. 75 (9). ss. 805-814. Bibcode:2007AmJPh..75..805S. doi:10.1119/1.2733691. 
18. ^ Jürgen Freund (2008). "The Rocket-Rope Paradox (Bell's Paradox)". Special Relativity for Beginners: A Textbook for Undergraduates. World Scientific. ss. 109-116. ISBN . 
19. ^ Redžić, Dragan V. (2008). "Note on Dewan Beran Bell's spaceship problem". European Journal of Physics. 29 (3). ss. N11-N19. Bibcode:2008EJPh...29...11R. doi:10.1088/0143-0807/29/3/N02. 
20. ^ Peregoudov, D. V. (2009). "Comment on 'Note on Dewan-Beran-Bell's spaceship problem'". European Journal of Physics. 30 (1). ss. L3-L5. Bibcode:2009EJPh...30L...3P. doi:10.1088/0143-0807/30/1/L02. 
21. ^ Redžić, Dragan V. (2009). "Reply to 'Comment on "Note on Dewan-Beran-Bell's spaceship problem"'". European Journal of Physics. 30 (1). ss. L7-L9. Bibcode:2009EJPh...30L...7R. doi:10.1088/0143-0807/30/1/L03. 
22. ^ Gu, Ying-Qiu (2009). "Some Paradoxes in Special Relativity and the Resolutions". Advances in Applied Clifford Algebras. 21 (1). ss. 103-119. arXiv:0902.2032 $2. doi:10.1007/s00006-010-0244-6. 
23. ^ Miller, D. J. (2010). "A constructive approach to the special theory of relativity". American Journal of Physics. 78 (6). ss. 633-638. arXiv:0907.0902 $2. Bibcode:2010AmJPh..78..633M. doi:10.1119/1.3298908. 
24. ^ Fernflores, Francisco (2011). "Bell's Spaceships Problem and the Foundations of Special Relativity". International Studies in the Philosophy of Science. 25 (4). ss. 351-370. doi:10.1080/02698595.2011.623364. 4 Mart 2016 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 22 Mayıs 2016. 
25. ^ Kassner, Klaus (2011). "Spatial geometry of the rotating disk and its non-rotating counterpart". American Journal of Physics. 80 (9). ss. 772-781. arXiv:1109.2488 $2. Bibcode:2012AmJPh..80..772K. doi:10.1119/1.4730925. 
26. ^ Grøn, Ø. (1979). "Relativistic description of a rotating disk with angular acceleration". Foundations of Physics. 9 (5-6). ss. 353-369. Bibcode:1979FoPh....9..353G. doi:10.1007/BF00708527. 
27. ^ MacGregor, M. H. (1981). "Do Dewan-Beran relativistic stresses actually exist?". Lettere al Nuovo Cimento. 30 (14). ss. 417-420. doi:10.1007/BF02817127. 
28. ^ Grøn, Ø. (1982). "Energy considerations in connection with a relativistic rotating ring". American Journal of Physics. 50 (12). ss. 1144-1145. Bibcode:1982AmJPh..50.1144G. doi:10.1119/1.12918. 
29. ^ ^{a b c d} Øyvind Grøn (2004). "Space Geometry in a Rotating Reference Frame: A Historical Appraisal" (PDF). G. Rizzi and M. Ruggiero (Ed.). Relativity in Rotating Frames. Springer. ISBN . 
30. ^ Einstein, Albert (1916). "Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie" (PDF). Annalen der Physik. Cilt 49. ss. 769-782. Bibcode:1916AnP...354..769E. doi:10.1002/andp.19163540702. 24 Eylül 2015 tarihinde kaynağından (PDF). Erişim tarihi: 22 Mayıs 2016.