Bergman-Weil formülü

Matematiğin bir alt dalı olan çok değişkenli karmaşık analizde Bergman-Weil formülü, çok değişkenli holomorf fonksiyonların integral temsillerinden biridir. Bergman-Weil formülü aynı zamanda Cauchy integral formülünü birde fazla karmaşık boyuta genelleştirir. Stefan Bergman ve André Weil tarafından literatüre sokulmuştur.

İfadesi

${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} ^{n}}$de bir bölge, ${\displaystyle P}$ ise ${\displaystyle \Omega }$ üzerinde tanımlı holomorf ${\displaystyle f_{1},f_{2},\cdots f_{n}}$ fonksiyonları tarafından (${\displaystyle \Omega }$ içinde göreceli tıkız kalacak şekilde) tanımlanmış analtik çokyüzlü olsun. O halde, Hefer teoremi sayesinde ${\displaystyle \Omega \times \Omega }$ üzerinde holomorf olacak şekilde ${\displaystyle g_{jk}}$ fonksiyonları vardır öyle ki

${\displaystyle f_{j}(z)-f_{j}(w)=\sum _{k=1}^{n}(z_{k}-w_{k})g_{jk}(w,z)}$

tüm ${\displaystyle z,w\in \Omega }$ için yazılabilir.

${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ üstünde sürekli ve ${\displaystyle \Omega }$ içinde holomorf olan bir ${\displaystyle f}$ fonksiyonu olsun. O zaman,

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\sum \int {\frac {f(w)\det(g_{jk_{l}})}{\prod _{l=1}^{n}(f_{k_{l}}(w)-f_{k_{l}}(z))}}dw}$

olur. Burada, toplam ${\displaystyle k_{1}<\cdots <k_{n}}$ üzerinden, integral de n-boyutlu yüzeylerde (integral yönü uygun olacak şekilde) alınmaktadır. ${\displaystyle dw}$ ise ${\displaystyle dw_{1}\wedge \cdots dw_{n}}$ olarak tanıımlıdır. Bu integral temsilinde determinantı tanımlı kılmak için ek şartlar getirmek gerekebilir.

Notlar

1. ^ Bergmann (1936)
2. ^ Weil (1935)

Kaynaklar

• Bergmann, S. (1936), "Über eine Integraldarstellung von Funktionen zweier komplexer Veränderlichen", , New Series (Almanca), 1 (43) (6), ss. 851-862, JFM 62.1220.04, Zbl 0016.17001 .
• Weil, André (1935), "L'intégrale de Cauchy et les fonctions de plusieurs variables", , 111 (1), ss. 178-182, doi:10.1007/BF01472212, ISSN 0025-5831, JFM 61.0371.03, MR 1512987, Zbl 0011.12301 .

Dış bağlantılar

• Encyclopedia of Mathematics sitesinde Evgenii Mikhailovich Chirka tarafından yazılmış "Bergman-Weil temsili" sayfası