Bernoulli diferansiyel denklemi

Matematikte Bernoulli diferansiyel denklemi, birinci mertebeden bir adi diferansiyel denklemin açık biçimi şöyledir:

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,}$, (Denklem I)

Yukarıdaki denklemde n≠1 ve n≠0 olursa bu denkleme Bernoulli diferansiyel denklemi denir. Bu ad, Jakob Bernoulliye ithaf olsun diye 1695 yılında konuldu. Bernoulli denklemleri özeldir. Çünkü tam çözümleri bilinir ve .

Çözüm

Yukarıdaki adi diferansiyel denklemde eşitliğin her iki tarafı ${\displaystyle y^{n}}$ ile bölünürse denklem aşağıdaki gibi olur:

${\displaystyle {\frac {y'}{y^{n}}}+{\frac {P(x)}{y^{n-1}}}=Q(x)}$, (Denklem II)

Burada aşağıdaki gibi bir değişken değiştirme yapılırsa;

${\displaystyle w={\frac {1}{y^{n-1}}}}$, (Denklem III) türevi;

${\displaystyle w'={\frac {(1-n)}{y^{n}}}y'}$, (Denklem IV)

(Denklem III) ve (Denklem IV), (Denklem II)'de yerine konulursa;

${\displaystyle {\frac {w'}{1-n}}+P(x)w=Q(x)}$, (Denklem V)

Bu adımda görüldüğü üzere denklem birinci mertebeden lineer diferansiyel denkleme dönüştü. Bundan sonra aşağıdaki kullanılarak denklem çözülebilir.

${\displaystyle W(x)=e^{(1-n)\int P(x)dx}}$. (Denklem VI)

Örnek

Aşağıdaki Bernoulli denklemi örneğimiz olsun.

${\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}}$, (Eşitlik I)

${\displaystyle y=0}$, bir çözümdür. Eşitlik ${\displaystyle y^{2}}$ ile bölünürse

${\displaystyle y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}}$, (Eşitlik II)

(Eşitlik II)'de aşağıdaki gibi bir değişken değişimi uygulanırsa;

${\displaystyle w={\frac {1}{y}}}$, (Eşitlik III) türevi;

${\displaystyle w'={\frac {-y'}{y^{2}}}}$. (Eşitlik IV)

(Eşitlik III) ve (Eşitlik IV), (Eşitlik II)'de yerine konulursa;

${\displaystyle w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}}$, (Eşitlik V)

Aşağıdaki integrasyon çarpanı kullanılırsa denklem çözülebilir;

${\displaystyle M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}dx}=e^{2\ln x}=x^{2}.}$ (Eşitlik VI)

Her iki tarafı ${\displaystyle M(x)}$ ile çarpalım,

${\displaystyle w'x^{2}+2xw=x^{4},\,}$ (Eşitlik VII)

Sol taraf ${\displaystyle wx^{2}}$'nin türevidir. Bu denklemde her iki tarafın integrali alınırsa;

${\displaystyle \int (wx^{2})'dx=\int x^{4}dx}$ (Eşitlik VIII)

${\displaystyle wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C}$ (Eşitlik IX)

${\displaystyle {\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C}$ (Eşitlik X)

${\displaystyle y}$'nin çözümü;

${\displaystyle y={\frac {5x^{2}}{x^{5}+C}}}$ (Eşitlik XI)

Yukarıda da belirtildiği gibi ${\displaystyle y=0}$ da bir çözümdür.

MATLAB kullanarak bunun doğruluğunu görebiliriz;

x = dsolve('Dy-2*y/x=-x^2*y^2','x') 

Yukarıdaki söz dizimi her iki çözümü verir;

0 x^2/(x^5/5 + C1) 

Ayrıca, ${\displaystyle y=0}$ hesaba katılmadan yapılan, çözümüWolfram Alpha'da görebilirsiniz.

Notlar

1. ^ . 8 Mart 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi.