Black-Scholes eşitliği

Black Scholes Eşitliği, 1973 yılında Fischer Black ve Myron Scholes tarafından yazılan "the pricing of options and corporate liabilities" adlı makalede ilk defa bahsedilen tekniğidir. O zamana kadar yapılan en iyi modellemedir ve halen kullanılmaktadır.

Black Scholes Modeli, aslında rassal hareketler izleyen sıvı moleküllerini ortaya koyan 'ın hisse fiyatlarına ve finansal hareketlere uyarlanması sonucu ortaya çıkmıştır.

Robert C. Merton'un modelde çözülemeyen bir bölümü çözmesinden sonra, model, Black-Scholes-Merton Modeli olarak anılmaya başlamıştır.

Bu çalışmaları sayesinde, Merton ve Scholes, 1997de Ekonomi alanında Nobel Ödülü almışlardır. Black 1995 yılında öldüğünden dolayı ödülü alamamıştır.

Model

Black–Scholes Modelinin önemli ayrıntıları:

• Söz konusu hissenin fiyatının hareketleri (S_t) izlemektedir. Sabit bir sapma (${\displaystyle \mu }$) ve volatilite (${\displaystyle \sigma }$) olmak üzere;

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}\,}$

• Söz konusu hissede açığa satış (short sell) yapılması mümkündür.
• Arbitraj imkânı yoktur.
• Hisselerde el değiştirme süreklidir.
• veya vergi yoktur.
• Bütün yatırım araçları tam bölünebilmelidir. (Mesela, bir aracın 1/100 nü almak mümkün olmalı.)
• ile borç alınabilmelidir.
• Hisse temettü dağıtmamalıdır. (Bu kural sadece basit BS modeli için geçerlidir.)

Yukarıdaki şartların sağlanması halinde, (European call option) için, opsiyon kullanma fiyatı K ve hissenin şu andaki fiyatı S, (yani opsiyonun verdiği hak ile T zaman sonra, hisseyi K fiyatından alma imkânımız var), sabit faiz r ve sabit volatilite ${\displaystyle \sigma }$ olmak üzere;

${\displaystyle C(S,T)=S\Phi (d_{1})-Ke^{-rT}\Phi (d_{2})\,}$

Burada;

${\displaystyle d_{1}={\frac {\ln(S/K)+(r+\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}}$

${\displaystyle d_{2}={\frac {\ln(S/K)+(r-\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}}.}$

Bu formülde ${\displaystyle \Phi }$ .

Bir fiyatı (put-call parity) ile hesaplanabilir ve aşağıdaki şekilde düzenlenebilir;

${\displaystyle P(S,T)=Ke^{-rT}\Phi (-d_{2})-S\Phi (-d_{1}).\,}$

Kaynakça

• İngilizce wikipedia'daki BS Model maddesi 17 Aralık 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.