Brahmagupta üçgeni

Bu sayfanın herhangi bir bulunmuyor; bu yüzden standartlara uygunluk açısından kontrol edilmemiş olabilir.

Brahmagupta üçgeni, kenar uzunlukları ardışık pozitif tam sayılar ve alanı pozitif bir tam sayı olan bir üçgendir. Kenar uzunlukları 3, 4, 5 olan üçgen bir Brahmagupta üçgenidir ve kenar uzunlukları 13, 14, 15 olan üçgen de öyledir. Brahmagupta üçgeni, kenar uzunlukları ve alanı pozitif tam sayılar olan bir üçgen olan özel bir durumudur, ancak kenar uzunluklarının ardışık tamsayılar olması gerekmez. Brahmagupta üçgeni, bu listeyi hesaplama yöntemini açıklamadan bu tür ilk sekiz üçgenin bir listesini veren Hint astronom ve matematikçi Brahmagupta (MS 598 - 668) onuruna bu şekilde adlandırılır.

Brahmagupta üçgeni, 1996 yılında yayınlanan bir makalede kavramı tartışan Charles R. Fleenor'un onuruna Fleenor-Heron üçgeni olarak da adlandırılır. Brahmagupta üçgenlerinin bilindiği diğer isimlerden bazıları süper-Heron üçgeni ve neredeyse eşkenar Heron üçgenidir.

Tüm Brahmagupta üçgenlerini bulma problemi eski bir problemdir. Problemin kapalı formda bir çözümü 1880 yılında tarafından bulunmuştur.

Brahmagupta üçgenlerinin oluşturulması

Bir Brahmagupta üçgeninin kenar uzunlukları ${\displaystyle t-1}$, ${\displaystyle t}$ ve ${\displaystyle t+1}$ olsun, burada ${\displaystyle t}$ 1'den büyük bir tam sayıdır. Heron formülü kullanılarak, üçgenin ${\displaystyle A}$ alanının şu şekilde olduğu gösterilebilir:

${\displaystyle A={\big (}{\tfrac {t}{2}}{\big )}{\sqrt {3{\big [}{\big (}{\tfrac {t}{2}}{\big )}^{2}-1{\big ]}}}}$

${\displaystyle A}$ bir tam sayı olmak zorunda olduğundan, ${\displaystyle t}$ çift olmalıdır ve bu nedenle ${\displaystyle t=2x}$ olarak alınabilir, burada ${\displaystyle x}$ bir tam sayıdır. Böylece,

${\displaystyle A=x{\sqrt {3(x^{2}-1)}}}$

Çünkü ${\displaystyle {\sqrt {3(x^{2}-1)}}}$ bir tam sayı olmak zorundadır, bazı ${\displaystyle y}$ tam sayıları için ${\displaystyle x^{2}-1=3y^{2}}$ olmalıdır. Dolayısıyla, ${\displaystyle x}$ aşağıdaki Diophantine denklemini sağlamalıdır:

${\displaystyle x^{2}-3y^{2}=1}$.

Bu, ${\displaystyle N=3}$ olmak üzere ${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=1}$ olarak adlandırılan duruma bir örnektir. Pell denklemini çözme yöntemleri ${\displaystyle x}$ ve ${\displaystyle y}$ tam sayılarının değerlerini bulmak için uygulanabilir.

${\displaystyle x_{n}}$ ve ${\displaystyle y_{n}}$'nin ${\displaystyle x_{n}^{2}-3y_{n}^{2}=1}$ denklemini sağlayan tam sayılar olduğu bir Brahmagupta üçgeni.

Açıktır ki ${\displaystyle x=2}$, ${\displaystyle y=1}$, ${\displaystyle x^{2}-3y^{2}=1}$ denkleminin bir çözümüdür. Bunu bir başlangıç çözümü olarak alırsak ${\displaystyle x_{1}=2,y_{1}=1}$ denkleminin tüm çözümlerinin ${\displaystyle \{(x_{n},y_{n})\}}$ kümesi aşağıdaki yineleme bağıntıları kullanılarak oluşturulabilir

${\displaystyle x_{n+1}=2x_{n}+3y_{n},\quad y_{n+1}=x_{n}+2y_{n}{\text{ }}n=1,2,\ldots \ \ {\text{ için }}}$

veya aşağıdaki bağıntılarla

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n+1}&=4x_{n}-x_{n-1}{\text{ }}n=2,3,\ldots \ {\text{ için }}{\text{ }}x_{1}=2,x_{2}=7\ {\text{ olmak üzere}}\\y_{n+1}&=4y_{n}-y_{n-1}{\text{ }}n=2,3,\ldots \ {\text{ için }}{\text{ }}y_{1}=1,y_{2}=4\ {\text{ olmak üzere}}.\end{aligned}}}$

Aşağıdaki özellik kullanılarak da oluşturulabilirler:

${\displaystyle x_{n}+{\sqrt {3}}y_{n}=(x_{1}+{\sqrt {3}}y_{1})^{n}{\text{ }}n=1,2,\ldots \ {\text{ için}}}$

Aşağıda ${\displaystyle x_{n}}$ ve ${\displaystyle y_{n}}$'nin ilk sekiz değeri ve bunlara karşılık gelen Brahmagupta üçgenleri verilmiştir:

${\displaystyle n}$	1	2	3	4	5	6	7	8
${\displaystyle x_{n}}$	2	7	26	97	362	1351	5042	18817
${\displaystyle y_{n}}$	1	4	15	56	209	780	2911	10864
Brahmagupta üçgeni	3,4,5	13,14,15	51,52,53	193,194,195	723,724,725	2701,2702,2703	10083,10084,10085	37633,37634,337635

${\displaystyle \{x_{n}\}}$ dizisi, Çevrimiçi Tamsayı Dizileri Ansiklopedisi (OEIS: On-Line Encyclopedia of Integer Sequences)'te A001075 ve ${\displaystyle \{y_{n}\}}$ dizisi OEIS'te A001353 girdisidir.

Genelleştirilmiş Brahmagupta üçgenleri

Bir Brahmagupta üçgeninde kenar uzunlukları, ortak farkı 1 olan bir tam sayı aritmetik dizisi oluşturur. Genelleştirilmiş bir Brahmagupta üçgeni, kenar uzunluklarının pozitif tam sayıların aritmetik dizisini oluşturan bir Heron üçgenidir. Genelleştirilmiş Brahmagupta üçgenleri Brahmagupta üçgenlerinden kolayca oluşturulabilir. Eğer ${\displaystyle t-1,t,t+1}$ bir Brahmagupta üçgeninin kenar uzunlukları ise, herhangi bir pozitif ${\displaystyle k}$ tam sayısı için, ${\displaystyle k(t-1),kt,k(t+1)}$ tam sayıları genelleştirilmiş bir Brahmagupta üçgeninin ortak farkı ${\displaystyle k}$ olan bir aritmetik dizi oluşturan kenar uzunluklarıdır. Bu şekilde oluşturulmayan genelleştirilmiş Brahmagupta üçgenleri vardır. İlkel bir genelleştirilmiş Brahmagupta üçgeni, kenar uzunluklarının 1'den başka ortak çarpanı olmayan bir genelleştirilmiş Brahmagupta üçgenidir.

Bu tür üçgenlerin kenar uzunluklarını bulmak için, kenar uzunlukları ${\displaystyle t-d,t,t+d}$ olsun; burada ${\displaystyle b,d}$ ${\displaystyle 1\leq d\leq t}$ koşulunu sağlayan tam sayılardır. Heron formülünü kullanarak, üçgenin alanının ${\displaystyle A}$ olduğu gösterilebilir:

${\displaystyle A={\big (}{\tfrac {b}{4}}{\big )}{\sqrt {3(t^{2}-4d^{2})}}}$.

${\displaystyle A}$'nın bir tam sayı olması için ${\displaystyle t}$ çift olmalıdır ve bazı tam sayılar için ${\displaystyle t=2x}$ alınabilir. Bu şu anlama gelir:

${\displaystyle A=x{\sqrt {3(x^{2}-d^{2})}}}$.

Yine, ${\displaystyle A}$ bir tam sayı olmak zorunda olduğundan, ${\displaystyle x^{2}-d^{2}}$ bazı ${\displaystyle y}$ tam sayıları için ${\displaystyle 3y^{2}}$ biçiminde olmak zorundadır. Dolayısıyla, genelleştirilmiş Brahmagupta üçgenlerinin kenar uzunluklarını bulmak için aşağıdaki homojen ikinci dereceden Diophantine denkleminin çözümlerini bulmak gerekir:

${\displaystyle x^{2}-3y^{2}=d^{2}}$.

Bu denklemin tüm ilkel çözümlerinin şu şekilde verildiği gösterilebilir

${\displaystyle {\begin{aligned}d&=\vert m^{2}-3n^{2}\vert /g\\x&=(m^{2}+3n^{2})/g\\y&=2mn/g\end{aligned}}}$

burada ${\displaystyle m}$ ve ${\displaystyle n}$ pozitif asal tam sayılardır ve ${\displaystyle g={\text{EBOB}}(m^{2}-3n^{2},2mn,m^{2}+3n^{2})}$'dir.

Eğer ${\displaystyle m=n=1}$ alırsak ${\displaystyle (3,4,5)}$ Brahmagupta üçgenini elde ederiz. Eğer ${\displaystyle m=2,n=1}$ alırsak ${\displaystyle (13,14,15)}$ Brahmagupta üçgenini elde ederiz. Ancak ${\displaystyle m=1,n=2}$ alırsak, bir Brahmagupta üçgenine indirgenemeyen genelleştirilmiş ${\displaystyle (15,26,37)}$ Brahmagupta üçgenini elde ederiz.

Ayrıca bakınız

• (Brahmagupta dörtgeni)

Kaynakça

1. ^ ^{a b c} R. A. Beauregard and E. R. Suryanarayan (Ocak 1998). "The Brahmagupta Triangles" (PDF). The College Mathematics Journal. 29 (1). ss. 13-17. 6 Haziran 2024 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 6 Haziran 2024. 
2. ^ G. Jacob Martens. "Rational right triangles and the Congruent Number Problem". arxiv.org. Cornell University. 31 Mayıs 2024 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 6 Haziran 2024. 
3. ^ Herb Bailey and William Gosnell (Ekim 2012). "Heronian Triangles with Sides in Arithmetic Progression: An Inradius Perspective". Mathematics Magazine. 85 (4). ss. 290-294. doi:10.4169/math.mag.85.4.290. 
4. ^ Venkatachaliyengar, K. (1988). "The Development of Mathematics in Ancient India: The Role of Brahmagupta". Subbarayappa, B. V. (Ed.). Scientific Heritage of India: Proceedings of a National Seminar, September 19-21, 1986, Bangalore. The Mythic Society, Bangalore. ss. 36-48. 
5. ^ Charles R. Fleenor (1996). "Heronian Triangles with Consecutive Integer Sides". Journal of Recreational Mathematics. 28 (2). ss. 113-115. 
6. ^ N. J. A. Sloane. "A003500". Online Encyclopedia of Integer Sequences. The OEIS Foundation Inc. 25 Haziran 2024 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 6 Haziran 2024. 
7. ^ "Definition:Fleenor-Heronian Triangle". Proof-Wiki. 6 Haziran 2024 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 6 Haziran 2024. 
8. ^ Vo Dong To (2003). "Finding all Fleenor-Heronian triangles". Journal of Recreational Mathematics. 32 (4). ss. 298-301. 
9. ^ William H. Richardson. "Super-Heronian Triangles". www.wichita.edu. Wichita State University. 2 Kasım 2023 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 7 Haziran 2024. 
10. ^ Roger B Nelsen (2020). "Almost Equilateral Heronian Triangles". Mathematics Magazine. 93 (5). ss. 378-379. 
11. ^ H. W. Gould (1973). "A triangle with integral sides and area" (PDF). Fibonacci Quarterly. Cilt 11. ss. 27-39. 7 Haziran 2024 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 7 Haziran 2024. 
12. ^ ^{a b} James A. Macdougall (Ocak 2003). "Heron Triangles With Sides in Arithmetic Progression". Journal of Recreational Mathematics. Cilt 31. ss. 189-196.