De Gua teoremi

Adını Fransız matematikçi 'den alan De Gua teoremi, Pisagor teoreminin üç boyutlu bir analojisidir.

${\displaystyle O}$ köşesinde bir dik açıya sahip dört yüzlü

Açıklama

Bir dört yüzlünün dik açılı bir köşesi varsa (bir küpün köşesi gibi), o zaman dik köşenin karşısındaki yüzün alanının karesi, diğer üç yüzün alanlarının karelerinin toplamına eşittir.

${\displaystyle A_{ABC}^{2}=A_{\color {blue}ABO}^{2}+A_{\color {green}ACO}^{2}+A_{\color {red}BCO}^{2}}$

Genellemeler

Pisagor teoremi ve de Gua teoremi dik köşe açılı (n = 2, 3) hakkındaki genel bir teoremin özel durumlardır. Bu da ve 'in daha genel bir teoreminin özel bir durumudur ve aşağıdaki gibi ifade edilebilir.

U, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$'nin (${\displaystyle k\leq n}$ olmak üzere) k-boyutlu afin alt uzayının bir alt kümesi olsun. Tam olarak k elemanlı herhangi bir ${\displaystyle I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}$ alt kümesi için, ${\displaystyle U_{I}}$ U'nun ${\displaystyle e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}}$ doğrusal açıklığı üzerine olsun, burada ${\displaystyle I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}}$ ve ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$için standart taban (doğal taban)dır. Sonra,

${\displaystyle {\mbox{vol}}_{k}^{2}(U)=\sum _{I}{\mbox{vol}}_{k}^{2}(U_{I}),}$

burada ${\displaystyle {\mbox{vol}}_{k}(U)}$ U'nun k-boyutlu hacmi ve toplam k elementli tüm ${\displaystyle I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}$ alt kümeler üzerindedir.

De Gua'nın teoremi ve dik köşe açılı n-simpliklere genellemesi (yukarıda), k = n-1 ve U’nun koordinat eksenlerinde köşeleri olan ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$'de bir (n−1)-simpleks olduğu özel duruma karşılık gelir. Örneğin, n = 3, k = 2 ve U ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$içinde A, B ve C köşeleri sırasıyla ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$ ve ${\displaystyle x_{3}}$ eksenlerinde yer alan ${\displaystyle \triangle ABC}$ üçgenidir. ${\displaystyle \{1,2,3\}}$'ün tam olarak 2 elemanlı alt kümeleri ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle \{2,3\}}$, ${\displaystyle \{1,3\}}$ ve ${\displaystyle \{1,2\}}$'dir. Tanım olarak, ${\displaystyle U_{\{2,3\}}}$ ${\displaystyle U=\triangle ABC}$'nin ${\displaystyle x_{2}x_{3}}$-düzleminde ortogonal izdüşümüdür, yani ${\displaystyle U_{\{2,3\}}}$ köşeleri O, B ve C olan ${\displaystyle \triangle OBC}$ üçgenidir, burada O '${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$'ün orjinidir. Benzer şekilde, ${\displaystyle U_{\{1,3\}}=\triangle AOC}$ ve ${\displaystyle U_{\{1,2\}}=\triangle ABO}$ olup, Conant-Beyer teoremi aşağıdaki gibi ifade edilir;

${\displaystyle {\mbox{vol}}_{2}^{2}(\triangle ABC)={\mbox{vol}}_{2}^{2}(\triangle OBC)+{\mbox{vol}}_{2}^{2}(\triangle AOC)+{\mbox{vol}}_{2}^{2}(\triangle ABO),}$

bu ise de Gua teoremidir.

De Gua teoreminin dik köşe açılı n-simplekslere genelleştirilmesi de özel bir durumu olarak elde edilebilir.

Tarihçe

(1713-1785), bu teoremi 1783'te yayınladı, ancak aynı zamanda teoremin biraz daha genel bir versiyonu başka bir Fransız matematikçi (1746-1818) tarafından da yayınlandı. Ancak teorem, (1580-1635) ve René Descartes (1596-1650) tarafından çok daha önce biliniyordu.

Teoremin İspatı

İspat 1

Bir köşesi dik açılı olan bir dört yüzlü verilsin. Dik açılı köşeye dokunan üç yüzün alanları ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3}}$ ve dik açılı köşenin karşısındaki "hipotenüs yüzü" alanı ${\displaystyle H}$ şeklinde etiketlensin, De Gua teoremi aşağıdaki eşitliği ifade etmektedir:

${\displaystyle H^{2}=(A_{1})^{2}+(A_{2})^{2}+(A_{3})^{2}}$.

Bu ispatta Heron formülünü kullanacağız. Heron formülü, bir üçgenin alanını kenar uzunlukları cinsinden verir. Kenarları ${\displaystyle a,b,c}$ ve yarı çevresi ${\displaystyle s={\frac {1}{2}}(a+b+c)}$ olan bir üçgenin alanı aşağıdaki şekilde bulunur:

${\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$.

De Gua teoremi bağlamında, dört yüzlünün altı bacağı, ${\displaystyle l_{1},l_{2},l_{3}}$ ve ${\displaystyle h_{1},h_{2},h_{3}}$ şeklinde etiketlensin. Burada ${\displaystyle l_{i}}$, dik açılı köşeden çıkan bacaklar ve ${\displaystyle h_{i}}$ ise hipotenüs yüzünün üç kenarıdır.

Dik açılı köşeye temas eden üç yüzün alanları sırasıyla;

${\displaystyle A_{3}={\frac {1}{2}}l_{1}\cdot l_{2},\quad A_{1}={\frac {1}{2}}l_{2}\cdot l_{3},\quad A_{2}={\frac {1}{2}}l_{3}\cdot l_{1}.}$'dir.

Heron formülünü kullanarak hipotenüs yüzünün alanı aşağıdaki şekilde hesaplanır:

${\displaystyle H={\frac {1}{4}}{\sqrt {(h_{1}+h_{2}+h_{3})(h_{1}+h_{2}-h_{3})(h_{2}+h_{3}-h_{1})(h_{3}+h_{1}-h_{2})}}}$.

Bunu bazı cebirsel işlemlerle aşağıdaki şekilde genişletebiliriz.

${\displaystyle H^{2}={\frac {1}{16}}\left(2h_{1}^{2}h_{3}^{2}+2h_{2}^{2}h_{3}^{2}+2h_{1}^{2}h_{2}^{2}-h_{1}^{4}-h_{2}^{4}-h_{3}^{4}\right)}$.

Şimdi, Pisagor teoremini kullanarak elde edebileceğimiz uzunluklar,

${\displaystyle h_{1}^{2}=l_{2}^{2}+l_{3}^{2},\quad h_{2}^{2}=l_{1}^{2}+l_{3}^{2},\quad h_{3}^{2}=l_{1}^{2}+l_{2}^{2}}$ olarak hesaplanır.

Ve böylece terimleri yerine koyup sadeleştirerek aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

${\displaystyle H^{2}={\frac {1}{4}}\left(l_{1}^{2}l_{2}^{2}+l_{3}^{2}l_{2}^{2}+l_{1}^{2}l_{3}^{2}\right)}$

ve teorem kanıtlanmış olur.

İspat 2

OA, OB, OC kenarlarının ilgili uzunlukları a, b, c olsun.

Dört yüzlü tarafından kesilen şeklin iç hacmi, abc/6 = c/3 ${\displaystyle A_{\color {blue}ABO}}$ = b/3${\displaystyle A_{\color {green}ACO}}$ = a/3 ${\displaystyle A_{\color {red}BCO}}$ aynı zamanda h, ABC yüzü ile ilişkili yüksekliği göstermek üzere h/3 ${\displaystyle A_{ABC}}$'ye eşittir.

${\displaystyle \scriptstyle {\overrightarrow {n}}=(bc)^{2}{\overrightarrow {OA}}+(ac)^{2}{\overrightarrow {OB}}+(ab)^{2}{\overrightarrow {OC}}}$ vektörü gibi ABC düzlemine normaldir, bu yükseklik ${\displaystyle \scriptstyle h={<{\overrightarrow {OA}}|{\overrightarrow {n}}> \over ||{\overrightarrow {n}}||}}$ ile gösterilir.

Dolayısıyla, hacimleri eşitleyerek: ${\displaystyle {\frac {abc}{6}}={\frac {1}{3}}{\frac {abc}{\sqrt {(bc)^{2}+(ac)^{2}+(ab)^{2}}}}A_{ABC}}$. Ve basitleştirerek ${\displaystyle 4A_{ABC}^{2}=(ab)^{2}+(bc)^{2}+(ac)^{2}}$'ye yani istenen formüle ulaşılır.

Notlar

1. ^ Donald R Conant (Mar 1974). "Generalized Pythagorean Theorem". The American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 81 (3): 262-265. doi:10.2307/2319528. 
2. ^ Howard Whitley Eves: Great Moments in Mathematics (before 1650).

Kaynakça

• Eric W. Weisstein, de Gua's theorem (MathWorld)
• Sergio A. Alvarez: Note on an n-dimensional Pythagorean theorem 2 Ekim 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., Carnegie Mellon University.
• De Gua's Theorem, Pythagorean theorem in 3-D 3 Nisan 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. - Graphical illustration and related properties of the tetrahedron.

Konuyla ilgili yayınlar

• Kheyfits, Alexander (2004). "The Theorem of Cosines for Pyramids". The College Mathematics Journal. Mathematical Association of America. 35 (5): 385-388.  Proof of de Gua's theorem and of generalizations to arbitrary tetrahedra and to pyramids.
• Lévy-Leblond, Jean-Marc (2020). "The Theorem of Cosines for Pyramids". The Mathematical Intelligencer. SpringerLink.  Application of de Gua's theorem for proving a special case of Heron's formula.
• Rasul A. Khan, (2013), The cosine rule in three dimensions and de Gua's theorem, The Mathematical Gazette, Volume 97, Issue 539, ss. 281-284, https://doi.org/10.1017/S0025557200005945, makale
• Charles Frohman, (2010), The Full Pythagorean Theorem, s. 3, Makale 26 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Magdalini Kokkaliari, (2013), The Pythagoras' Theorem: Is the Methuselah theorem still alive?, Makale