Derece (Topoloji)

Topolojide derece, aynı boyutlu topolojik çokkatlılar arasındaki sürekli için tanımlıdır. Çokkatlılar pürüzsüzse ve aradaki gönderim de pürüzsüzse gönderimin derecesi, ters görüntüsündeki nokta sayısıyla ilişkilidir.

Matematiksel Tanım

tanımı

X ve Y, n boyutlu pürüzsüz çokkatlılar olsun. X ve (), Y ise olsun. X'ten Y'ye bir f gönderimi ve y=f(x) olmak üzere X ve Y'de x ve y noktaları verilsin. x in f gönderiminin olması demek f nin x noktasındaki türevinin rankının n olması demektir. Bu durumda y noktasına f nin bir kritik değeri denir. Y'de kritik olmayan tüm değerlere olağan değer denir. y olağan bir değer olmak üzere y ye giden noktaların mod 2'de sayılmasıyla hesaplanan sayıya f nin mod 2 derecesi denir ve ${\displaystyle deg_{2}f}$ olarak gösterilir:

${\displaystyle deg_{2}f=\#f^{-1}(y).}$

Burada ${\displaystyle \#}$ işareti, kendisini izleyen ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ kümesinin eleman sayısını göstermektedir. Bu sayının sonlu olması, X'in tıkızlığı ve y'nin olağan değer olmasıyla garanti edilir.

X ve Y çokkatlıları aynı zamanda , her birine verilen birer yön aracılığıyla tam sayı değerli bir derece tanımlanabilir. Şöyle ki, f X'ten Y'ye pürüzsüz bir gönderim ve y, f nin Y'de olağan bir değeri olsun. y ye giden her x noktası için, f nin x teki türevini df(x) olarak gösterelim. df(x), X'in x teki ${\displaystyle T_{x}X}$ ten Y'nin y deki teğet vektör uzayı ${\displaystyle T_{y}Y}$ ye . Seçilmiş yönlerin belirttiği hesaplanmış df(x) in determinantı pozitifse x noktasını +1, negatifse -1 sayarak elde edilen sayıya f nin derecesi denir ve ${\displaystyle degf}$ olarak gösterilir:

${\displaystyle degf=\sum _{x\in f^{-1}(y)}{\mbox{isaret(det}}(Df(x))).}$