Dirichlet beta fonksiyonu

Matematik'teki Dirichlet beta fonksiyonu (diğer bir deyişle Catalan beta fonksiyonu) özel fonksiyon'dur, aslında modifiye edilerek parantezlenmiş Riemann zeta fonksiyonu'nundan ibarettir. özel bir şekli 'udur.

Tanım

Dirichlet beta fonksiyonu'nun tanımı

${\displaystyle \beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}},}$

veya eşdeğeri,

${\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx.}$

Re(s) > 0 olduğu her durum için geçerlidir.

Alternatif olarak, aşağıdaki Hurwitz zeta fonksiyonu'nun kompleks değerleri için s-plan'da yapılan tanım

${\displaystyle \beta (s)=4^{-s}\left(\zeta \left(s,{1 \over 4}\right)-\zeta \left(s,{3 \over 4}\right)\right).}$

Diğer bir eşdeğer tanımlama, terimleri içerisindedir:

${\displaystyle \beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{{1} \over {2}}\right),}$

s 'nin bütün karmaşık değerleri için bu bir kez daha geçerlidir.

Fonksiyonal denklem

beta fonksiyonunun açılımı kompleks düzlem'in sol tarafında Re(s)<0 için,

${\displaystyle \beta (s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{s-1}\Gamma (1-s)\cos {\frac {\pi s}{2}}\,\beta (1-s)}$ olarak verilir.

Burada Γ(s) Gama fonksiyonu'dur.

Özel değerler

Bazı tanınmış özel değerler:

${\displaystyle \beta (0)={\frac {1}{2}},}$

${\displaystyle \beta (1)\;=\;\tan ^{-1}(1)\;=\;{\frac {\pi }{4}},}$

${\displaystyle \beta (2)\;=\;G,}$

burada G Catalan sabiti'dir. ve

${\displaystyle \beta (3)\;=\;{\frac {\pi ^{3}}{32}},}$

${\displaystyle \beta (4)\;=\;{\frac {1}{768}}(\psi _{3}({\frac {1}{4}})-8\pi ^{4}),}$

${\displaystyle \beta (5)\;=\;{\frac {5\pi ^{5}}{1536}},}$

${\displaystyle \beta (7)\;=\;{\frac {61\pi ^{7}}{184320}},}$

burada ${\displaystyle \psi _{3}(1/4)}$ poligama fonksiyonu'nun sayısal bir değeridir. her pozitif k tam sayısı için genelleştirirsek:

${\displaystyle \beta (2k+1)={{({-1})^{k}}{E_{2k}}{\pi ^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k!)},}$

Burada ${\displaystyle \!\ E_{n}}$ olarak gösterlien Euler sayısı'dır.. k ≥ 0,

için açılımlanmış şekli:

${\displaystyle \beta (-k)={{E_{k}} \over {2}}.}$

Dolayısıyla bağıntının bütün negatif integral değerleri için fonksiyon tuhaf bir şekilde gözden kaybolur.

Ayrıca bakınız

• Hurwitz zeta fonksiyonu

Kaynakça

• J. Spanier and K. B. Oldham, An Atlas of Functions, (1987) Hemisphere, New York.
• Eric W. Weisstein, Dirichlet Beta Function (MathWorld)