Hurwitz zeta fonksiyonu

Matematik'te, Hurwitz zeta fonksiyonu, adını Adolf Hurwitz'ten almıştır, çoğunlukla denir. Formel tanımı için kompleks değişken s 'in Re(s)>1 ve q 'nun Re(q)>0 yardımıyla

${\displaystyle \zeta (s,q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(q+n)^{s}}}.}$

Bu serinin tanımı verilen s ve q değerleri için . Meromorf fonksiyon'a genişletilebilir. Bütün s≠1 değerleri için geçerlidir. Riemann zeta fonksiyonu için ζ(s,1)dir.

Analitik devamlılık

Hurwitz zeta fonksiyonu için genişletilirse meromorf fonksiyon olarak tanımlanır, bütün kompleks sayılar için s ile s ≠ 1. s = 1 bir basit kutup vardır. 1. Sabit terimlerle verilirse

${\displaystyle \lim _{s\to 1}\left[\zeta (s,q)-{\frac {1}{s-1}}\right]={\frac {-\Gamma '(q)}{\Gamma (q)}}=-\psi (q)}$

burada Γ Gama fonksiyonu'dur ve ψ digama fonksiyonu'dur.

Seri Gösterimi

q > −1 ve herhangi kompleks s ≠ 1 için bir yakınsak seri gösterimi tanımı 1930'da Helmut Hasse tarafından verildi.

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}.}$

Bu yakınsak seri s-düzleminde tam fonksiyon'un tekdüze 'sidir. Burada ${\displaystyle q^{1-s}}$ n inci iç toplamı olarak görülebilir; bu şöyledir,

${\displaystyle \Delta ^{n}q^{1-s}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}}$

Burada Δ 'dür. Böylece, yazmak istersek,

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\Delta ^{n}q^{1-s}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{s-1}}{\log(1+\Delta ) \over \Delta }q^{1-s}.}$

Integral Gösterimi

Bu fonksiyonun integral gösterimi 'nün terimleri içindedir

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-qt}}{1-e^{-t}}}dt}$

için ${\displaystyle \Re s>1}$ and ${\displaystyle \Re q>0.}$

Hurwitz formülü

Hurwitz formülü bu teoremdir:

${\displaystyle \zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\left[e^{-i\pi s/2}\beta (x;s)+e^{i\pi s/2}\beta (1-x;s)\right]}$

burada

${\displaystyle \beta (x;s)=2\Gamma (s+1)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi inx)}{(2\pi n)^{s}}}={\frac {2\Gamma (s+1)}{(2\pi )^{s}}}{\mbox{Li}}_{s}(e^{2\pi ix})}$

Bu gösterim ${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$ aralığı ve ${\displaystyle s>1}$ değerleri içindir, burada, ${\displaystyle {\mbox{Li}}_{s}(z)}$ 'dır.

Fonksiyonel denklem

Zetanın kompleks düzlemde sağ sol yarı düzlemde 'le ilişkili değerleri ${\displaystyle 1\leq m\leq n}$ tam sayıları için

${\displaystyle \zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\sum _{k=1}^{n}\cos \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {2\pi km}{n}}\right)\;\zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right)}$

bütün s değerleri için geçerlidir..

Taylor serisi

İkinci değişken bir zeta türevi ve bir 'dır:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q).}$

Böylece, Taylor serisi'nin formu vardır:

${\displaystyle \zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial x^{k}}}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x).}$

Kapalılık ilişkisi Stark-Keiper formülüdür:

${\displaystyle \zeta (s,N)=\sum _{k=0}^{\infty }\left[N+{\frac {s-1}{k+1}}\right]{s+k-1 \choose s-1}(-1)^{k}\zeta (s+k,N)}$

tam sayı değerleri için N değişke için s tir. Bakınız tam sayıların kuvvet serisi sonlu toplamı için benzer bir ilişki.

Fourier dönüşümü

Hurwitz zeta fonksiyonunun ayrık Fourier dönüşümü'nde skonulduğunda Legendre chi fonksiyonu olur.

Bernoulli polinomları ile ilişkisi

${\displaystyle \beta }$ fonksiyonunun genelleştirilmiş şekli 'dır:

${\displaystyle B_{n}(x)=-\Re \left[(-i)^{n}\beta (x;n)\right]}$

burada ${\displaystyle \Re z}$ z reel kısmı gösterir. Karşıt olarak,

${\displaystyle \zeta (-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}.}$

Özel olarak, ${\displaystyle n=0}$ değeri için

${\displaystyle \zeta (0,x)={\frac {1}{2}}-x.}$

Jacobi teta fonksiyonu ile ilişkisi

${\displaystyle \vartheta (z,\tau )}$ fonksiyonuna Jacobi denir, burada

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)\right]}$

${\displaystyle \Re s>0}$ ise ve z kompleks ise, ama bir tam sayı değilse.. z=n tam sayısı için,bu basitçe

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=2\ \pi ^{-(1-s)/2}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{-s/2}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s).}$

Burada ζ Riemann zeta fonksiyonu'dur. Buradaki ikinci formun 'in orijinali Riemann tarafından verilen Riemann zeta fonksiyonu olduğu unutulmamalıdır. z ayrık tabanlı bir tam sayı olmalıdır ve burada z nin ${\displaystyle t\rightarrow 0}$ için Jacobi teta fonksiyonunun Dirac delta fonksiyonu'na yakınsaması hesaplanamaz.

Dirichlet L-fonksiyonu ile ilişkisi

ile Hurwitz zeta fonksiyonu lineer kombinasyon olarak ifade edilebilir. aynı şekilde:ζ(s) eşitlik q=1, q=1/2 ve q=n/k ve bunun yanında k>2, (n,k)>1 ise 0<n<k ise .(2^s-1)ζ(s),ya gider Hurwitz zeta fonksiyonu, ile çakışır ve,sonuç olarak

${\displaystyle \zeta (s,n/k)=\sum _{\chi }{\overline {\chi }}(n)L(s,\chi ),}$

her zaman mod k 'dır. Ters yönde de bizim lineer kombinasyonumuz var

${\displaystyle L(s,\chi )={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{n=1}^{k}\chi (n)\;\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right).}$

Burada

${\displaystyle k^{s}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{k}\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right),}$

şöyle bir genelleştirme kullanılabilir

${\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}\zeta (s,a+p/q)=q^{s}\,\zeta (s,qa).}$

(Bu son formda q değeri bir doğal sayıdır ve 1-qa doğal sayı değildir.)

Sıfırlar

Eğer "q" = 1 ise Hurwitz zeta fonksiyonu kendini Riemann zeta'ya indirger, q = 1 / 2 durumunda ise basit bir fonksiyonun s karmaşık argümanı çarpımı ile Riemann zeta fonksiyonuna indirgenir (s için yukarıya bakınız), her durumda Riemann zeta fonksiyonunda sıfır ile çalışmak zordur. Özellikle, burada daha gerçel kısmı 1 veya daha büyük ve hiçbir sıfır olmayacaktır. Ancak,Hurwitz's zeta fonksiyonu için 0 <q <1 ve q ≠ 1 / 2, olduğunda ise o zaman 1<Re(s)<1+ε aralığında ε gerçeldir. . Bu ve tarafından [2] rasyonel ve cebirsel olmayan irrasyonel q ve tarafından [3]ise cebirsel irrasyonel q için ispat edildi.

Rasyonel değerler

The Hurwitz zeta function occurs in a number of striking identities at rational values (given by Djurdje Cvijović and Jacek Klinowski, reference below). In particular, values in terms of the ${\displaystyle E_{n}(x)}$:

${\displaystyle E_{2n-1}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n-1)!}{(2\pi q)^{2n}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta \left(2n,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\cos {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}}$

ve

${\displaystyle E_{2n}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n)!}{(2\pi q)^{2n+1}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta \left(2n+1,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\sin {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}}$

Bir de şu var:

${\displaystyle \zeta \left(s,{\frac {2p-1}{2q}}\right)=2(2q)^{s-1}\sum _{k=1}^{q}\left[C_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\cos \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)+S_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\sin \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)\right]}$

${\displaystyle 1\leq p\leq q}$değeri için. Burada, ${\displaystyle C_{\nu }(x)}$ ve ${\displaystyle S_{\nu }(x)}$ ifadesi anlamına gelir ${\displaystyle \chi _{\nu }}$ as

${\displaystyle C_{\nu }(x)=\operatorname {Re} \,\chi _{\nu }(e^{ix})}$

ve

${\displaystyle S_{\nu }(x)=\operatorname {Im} \,\chi _{\nu }(e^{ix}).}$

For integer values of ν, these may be expressed in terms of the . These relations may be derived by employing the functional equation together with Hurwitz's formula, given above.

Uygulamalar

Hurwitz zeta fonksiyonu'nun birçok disiplin içinde uygulamaları vardır . En yaygın, sayı teorisi'nde ortaya çıkar ve gelişmiş derinleşmiş teoridir.. Bunun yanında, fraktal'ler ve 'in derinlemesine araştırılmasında kullanılır.istatistik uygulamalarında ; ve 'nda..parçacık fiziği'nde; Julian Schwinger'in bir formülünün içindekidirac'ın bir oranı düzgün elektrik alanındaki çift üretimi için kesin sonuç verir.

Özel durumlar ve genellemeler

Hurwitz zeta fonksiyonunun genelleştirilmiş şekli poligama fonksiyonu'dur:

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(n-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z).\,}$

Hurwitz zeta'nın genelleştirilmiş şekli 'ıdır :

${\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}}$

ve böylece

${\displaystyle \zeta (s,q)=\Phi (1,s,q).\,}$

Hipergeometrik fonksiyon

${\displaystyle \zeta (s,a)=a^{-s}\cdot {}_{s+1}F_{s}(1,a_{1},a_{2},\ldots a_{s};a_{1}+1,a_{2}+1,\ldots a_{s}+1;1)\qquad \qquad a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{s}=a{\text{ und }}a\notin \mathbb {N} {\text{ und }}s\in \mathbb {N} ^{+}.}$

${\displaystyle \zeta (s,a)=G\,_{s+1,\,s+1}^{\,1,\,s+1}\left(-1\;\left|\;{\begin{matrix}0,1-a,\ldots ,1-a\\0,-a,\ldots ,-a\end{matrix}}\right)\right.\qquad \qquad s\in \mathbb {N} ^{+}.}$

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi

Notlar

1. ^ Helmut Hasse, Ein Summierungsverfahren fur die Riemannsche ζ-Reihe, (1930) Math. Z. 32 pp 458-464.
2. ^ Davenport, H. and Heilbronn, H. On the zeros of certain Dirichlet series J. London Math. Soc. 11 (1936), pp. 181-185
3. ^ Cassels, J. W. S. Footnote to a note of Davenport and Heilbronn J. London Math. Soc. 36 (1961), pp. 177-184
4. ^ Schwinger, J., On gauge invariance and vacuum polarization, Phys. Rev. 82 (1951), pp. 664-679.

Kaynakça

• Jonathan Sondow and Eric W. Weisstein, Hurwitz Zeta Function (MathWorld)
• See chapter 12 of
• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, , (1964) Dover Publications, New York. . (See Paragraph 6.4.102 Eylül 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde . for relationship to polygamma function.)
• Djurdje Cvijović and Jacek Klinowski, "Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments", Mathematics of Computation 68 (1999), 1623-1630.
• Victor S. Adamchik, Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments16 Mart 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde ., Journal of Computational and Applied Mathematics, 100 (1998), pp 201–206.
• Linas Vepstas,