Dörtyüzlüsel ya da tetrahedral üçgen piramidal sayı üçgen tabanlı ve bir piramidi temsil eden n dörtyüzlüsel

Dörtyüzlüsel (ya da tetrahedral / üçgen piramidal) sayı, üçgen tabanlı ve bir piramidi temsil eden . n. dörtyüzlüsel sayı ilk n üçgensel sayının toplamına eşittir.

Ayrıt uzunluğu 5 birim olan piramit 35 küre içerir. Her katman ilk beş üçgensel sayıyı göstermektedir.

İlk on yedi dörtyüzlüsel sayı şunlardır:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, , , 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, …

n. dörtyüzlüsel sayı formülü 3. 3. faktöriyele bölümü biçiminde gösterilir.

T_{n}={n(n+1)(n+2) \over 6}={n^{\overline {3}} \over 3!}

Dörtyüzlüsel sayılar Pascal üçgeninde soldan ve sağdan dördüncü olarak konumlanmışlardır. Bu sayılar bu yüzden oluştururlar.

T_{n}={n+2 \choose 3}

Dörtyüzlüsel sayılar istiflenmiş küreler biçiminde modellenebilmektedir. Örneğin, beşinci dörtyüzlüsel sayının (T₅ = 35) 35 oluştuğu varsayılırsa bu topların 15'i en altta bulunan bilardo topu çerçevesinin içinde, 10'u hemen bunun üstünde, 6'sı bir üst düzeyde, 3'ü bunun hemen üstünde ve sonuncusu en üstte yer alacaktır.

1878'de yalnızca üç dörtyüzlüsel sayının tam kare olduğunu kanıtlamıştır. Bunlar

T₁ = 1² = 1

T₂ = 2² = 4

T₄₈ = 140² = 19600

sayılarıdır.

Aynı zamanda olan tek dörtyüzlüsel sayı 1'dir (Beukers, 1988). 1 ayrıca tam küp olan tek dörtyüzlüsel sayıdır.

Dörtyüzlüsel sayıların ilginç özelliklerinden bir diğeri bu sayıların bölmeye göre terslerinin sonsuz toplamının 3/2'ye eşit oluşudur. Bu toplam yardımıyla hesaplanabilmektedir.

\!\ \sum _{n=1}^{\infty }{6 \over {n(n+1)(n+2)}}={3 \over 2}

Taban uzunluğu 4 birim olan dörtyüzlü, dördüncü üçgensel sayı olan 3 boyutlu benzeri olarak görülebilir. Tetractys Pisagorcular tarafından kutsal kabul edilmiştir.

Dörtyüzlüsel sayıların son basamağı tek-çift-çift-çift kalıbını izlemektedir.

Dörtyüzlüsel sayılar T₅ = T₄ + T₃ + T₂ + T₁ eşitliğini de sağlamaktadır.

Hem üçgensel hem dörtyüzlüsel olan sayılar

Tr_{n}={n+1 \choose 2}={m+2 \choose 3}=Te_{m}

binom katsayısı eşitliğini sağlamaktadırlar.

Bu sayılar aşağıda sıralanmıştır.

Dörtyüzlü₁ = Üçgen₁ = 1

Dörtyüzlü₃ = Üçgen₄ = 10

Dörtyüzlü₈ = Üçgen₁₅ = 120

Dörtyüzlü₂₀ = Üçgen₅₅ = 1540

Dörtyüzlü₃₄ = Üçgen₁₁₉ = 7140

Kaynakça

Jim Delany, Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula28 Temmuz 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde ., The Wolfram Demonstrations Project