Gergonne noktası

Adını Fransız matematikçi 'dan alan Gergonne noktası, bir üçgenin iç kısmındaki ayırt edici bir noktadır.

Tanım

G, Gergonne noktasıdır.

Bir ${\displaystyle ABC}$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi ${\displaystyle M}$, kenarlara dokunduğu noktalar ise ${\displaystyle X,Y,Z}$ olsun. Gergonne, bu temas noktaları ile üçgenin karşı köşesi arasındaki üç doğrunun bir noktada yani Gergonne noktasında kesiştiğini gösterdi. Ayrıca ${\displaystyle XYZ}$ üçgeninine de Gergonne üçgeni denir.

Bu üç doğrunun bir noktada kesiştiği gerçeği, ${\displaystyle {\overline {AZ}}={\overline {AY}}}$ vb. ve Ceva teoreminden kaynaklanır.

                     △ABC üçgeni                      İç teğet çember ( I noktası)                      △T_AT_BT_C Değme üçgeni                      △ABC ve △T_AT_BT_C'nin zıt köşeleri arasındaki doğrular (G_e Gergonne noktasında kesişir)

Gergonne üçgeni (${\displaystyle \triangle ABC}$'nin) üç kenarındaki çemberin üç temas noktası ile tanımlanır. ${\displaystyle A}$'nın karşısındaki temas noktası ${\displaystyle T_{A}}$ vb. olarak gösterilir.

Bu ${\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}$ Gergonne üçgeni, ${\displaystyle \triangle ABC}$'nin değme üçgeni veya temas üçgeni olarak da bilinir. Alanı şöyledir: $${\displaystyle K_{T}=K{\frac {2r^{2}s}{abc}}}$$

burada ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle r}$ ve ${\displaystyle s}$ orijinal üçgenin alanı, yarıçapı ve yarı çevre, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ve ${\displaystyle c}$ ise orijinal üçgenin kenar uzunluklarıdır. Bu alan alanı ile aynıdır.

Üç ${\displaystyle AT_{A}}$, ${\displaystyle BT_{B}}$ ve ${\displaystyle CT_{C}}$ doğrusu Gergonne noktası adı verilen ve ${\displaystyle G_{e}}$ (veya üçgen merkezi X₇) olarak gösterilen tek bir noktada kesişir. Gergonne noktası, kendi merkezinden delinmiş açık içinde yer alır ve buradaki herhangi bir nokta olabilir.

Bir üçgenin Gergonne noktası, Gergonne üçgeninin olması da dahil olmak üzere bir dizi özelliğe sahiptir.

Değme üçgenin köşeleri için şu şekilde verilir:^[]$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}T_{A}&=&0&:&\sec ^{2}{\frac {B}{2}}&:&\sec ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{B}&=&\sec ^{2}{\frac {A}{2}}&:&0&:&\sec ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{C}&=&\sec ^{2}{\frac {A}{2}}&:&\sec ^{2}{\frac {B}{2}}&:&0.\end{array}}}$$

Gergonne noktası için trilineer koordinatlar şu şekilde verilir^[]$${\displaystyle \sec ^{2}{\tfrac {A}{2}}:\sec ^{2}{\tfrac {B}{2}}:\sec ^{2}{\tfrac {C}{2}},}$$

ya da eşdeğer olarak Sinüs Yasası yardımıyla ,

$${\displaystyle {\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}.}$$

Özellikler

• Gergonne noktası, ve ile düz bir doğru üzerinde yer alır.
• Gergonne noktası ve , .

Notlar

1. ^ ing: extouch triangle

Kaynakça

1. ^ Eric W. Weisstein, Contact Triangle (MathWorld)
2. ^ Christopher J. Bradley and Geoff C. Smith, "The locations of triangle centers", 6 (2006), 57–70. http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html 4 Mart 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
3. ^ Dekov, Deko (2009). "Computer-generated Mathematics : The Gergonne Point" (PDF). Journal of Computer-generated Euclidean Geometry. Cilt 1. ss. 1–14. 5 Kasım 2010 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. 

Konuyla ilgili okumalar

• Peter Baptist: Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt. In: Sudhoffs Archiv, 71, 1987, 2, S. 230–233.
• Lorenz Halbeisen, , Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, , S. 78.

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Gergonne Point (MathWorld)
• Gergonne-Punkt – GeoGebra ile görselleştirme.