Yarı çevre

Geometride, bir çokgenin yarı çevresi (veya yarım çevre, İng: semiperimeter), çevre uzunluğunun yarısıdır. Çevreden doğrudan türetilebilmesine rağmen, yarı çevre üçgenler ve diğer şekiller için kullanılan formüllerde oldukça sık görülür ve ayrı/özel bir isim verilir. Yarı çevre, bir formülün parçası olarak ortaya çıktığında, genellikle s harfiyle gösterilir.

Motivasyon: üçgenler

Herhangi bir üçgende, üçgenin sınırı boyunca bir tepe noktasından çevrel çember tarafından dokunulan karşı kenardaki noktaya olan mesafe yarıçapa eşittir.

Yarı çevre, en çok üçgenler için kullanılır; kenar uzunlukları a, b, c olan bir üçgenin yarı çevre formülü aşağıdaki gibidir:

${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}.}$

Özellikler

Herhangi bir üçgende, herhangi bir tepe noktası ve karşı çevrel çemberin üçgene temas ettiği nokta, üçgenin çevresini iki eşit uzunluğa böler, böylece her biri yarıçapa eşit uzunlukta iki yol oluşturur. Eğer A, B, B', C' şekilde gösterildiği gibiyse, bir tepe noktasını karşıt dış daire teğetiyle birleştiren parçalar (AA', BB', CC', diyagramda kırmızı ile gösterilmiştir) olarak bilinir ve

${\displaystyle {\begin{aligned}s&=|AB|+|A'B|=|AB|+|AB'|=|AC|+|A'C|\\&=|AC|+|AC'|=|BC|+|B'C|=|BC|+|BC'|.\end{aligned}}}$

Üç ayırıcı, üçgenin .

Bir üçgenin , üçgenin çevresini ikiye bölen ve bir uç noktası üç kenardan birinin orta noktasında olan bir doğru parçasıdır. Dolayısıyla, herhangi bir bölücü gibi herhangi bir keski de üçgeni, her birinin uzunluğu yarım çevreye eşit olan iki izleğe böler. Üç keski, olan kesişir; Spieker merkezi, üçgenin kenarlarındaki tüm noktaların kütle merkezidir.

Üçgenin geçen bir çizgi ancak ve ancak alanı da ikiye bölerse çevreyi böler.

Bir üçgenin yarı çevresi, çevresine eşittir.

Üçgen eşitsizliği ile, bir üçgenin en uzun kenar uzunluğu yarıçapından daha azdır.

Yarı çevreyi içeren formüller

Üçgenler için

Herhangi bir üçgenin alanı A, ile yarıçapının çarpımıdır:

${\displaystyle A=rs.}$

Bir üçgenin alanı, Heron formülü kullanılarak yarıçapından ve a, b, c kenar uzunluklarından hesaplanabilir:

${\displaystyle A={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}.}$

Bir üçgenin R değeri yarıçap ve kenar uzunluklarından da hesaplanabilir:

${\displaystyle R={\frac {abc}{4{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}.}$

Bu formül sinüs yasasından türetilebilir.

iç teğet çemberin yarıçapı şudur;

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}.}$

Kotanjantlar yasası bir üçgenin köşelerindeki yarım açıların kotanjantlarını yarıçap, kenarlar ve iç yarıçap cinsinden verir.

a uzunluğundaki kenarın karşısındaki açının iç açıortayının uzunluğu

${\displaystyle t_{a}={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}.}$

Bir dik üçgende, hipotenüs üzerindeki yarıçapı, yarı çevreye eşittir. Yarı çevre, iç teğet çemberin yarıçapı ile çevrel çemberin yarıçapının iki katının toplamıdır. Dik üçgenin alanı ${\displaystyle (s-a)(s-b)}$ olup, burada a, b dik kenarlardır.

Dörtgenler için

Kenar uzunlukları a, b, c, d olan bir dörtgenin yarı çevresinin formülü şöyledir

${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}$

Yarı çevreyi içeren üçgen alan formüllerinden biri, bir iç teğet çembere sahip olan ve ( göre) karşılıklı kenar çiftlerinin uzunluklarının toplamı yarı çevreye eşit olan için de geçerlidir—yani alan, iç teğet çemberin yarıçapı ile yarı çevrenin çarpımıdır:

${\displaystyle K=rs.}$

Bir kirişler dörtgeninin alanı için Brahmagupta formülünün en basit şekli, üçgen alanı için Heron formülüne benzer bir biçime sahiptir:

${\displaystyle K={\sqrt {\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)}}.}$

Bretschneider formülü bunu tüm dörtgenler için genelleştirir:

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}},}$

burada α ve γ iki ters açıdır.

Bir çift merkezli dörtgenin dört kenarı, yarı çevre, (iç teğet çemberin yarıçapı ve çevrel çemberin yarıçapı) ile parametrize edilen bir dört çözümüdür.

Düzgün çokgenler

Bir alanı, yarı çevre ile çarpımıdır.

Çemberler

Bir çemberin yarı çevresi, aynı zamanda çevresinin yarısı olarak da adlandırılır ve r yarıçapı ile doğru orantılıdır:

${\displaystyle s=\pi \cdot r.\!}$

Orantılılık sabiti, π'dir.

Ayrıca bakınız

• Yarıçap
• (en:semidiameter)

Kaynakça

1. ^ Johnson, Roger A. (2007). Advanced Euclidean Geometry. Mineola, New York: Dover. s. 70. ISBN . 

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Semiperimeter (MathWorld)