Hacim integrali

Hacim integrali çok değişkenli kalkülüsteki çokkatlı integralin 3 boyutlu durumudur. Hacim integrali fizikte önemli bir yere sahiptir. Özellikle yoğunlukların hesabı için kullanılır.

Kartezyen koordinat sisteminde

Hacim integrali ${\displaystyle D\subset R^{3}}$ bölgesinde tanımlı ${\displaystyle f(x,y,z)}$ fonksiyonunun anlamına da gelir. Şu şekilde yazılır:

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(x,y,z)dxdydz}$

Bu integral silindirik koordinat sisteminde şöyle yazılır:

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(p,\varphi ,z)pdpd\varphi dz}$

Küresel koordinat sisteminde ise şöyle bir yazım mevcuttur:

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(r,\theta ,\varphi )r^{2}sin\theta drd\theta d\varphi }$

Örnek

${\displaystyle f(x,y,z)=1}$

${\displaystyle \iiint f(x,y,z).dx.dy.dz}$=${\displaystyle \iiint 1.dx.dy.dz}$=${\displaystyle \int _{0}^{1}dx\int _{0}^{1}dy\int _{0}^{1}dz}$=1

Fizikte

${\displaystyle m=\iiint \rho dV}$

Burada ${\displaystyle m}$ kütle,${\displaystyle \rho }$ kütle yoğunluğu (birimi=kg/m^3)

Aynı şekilde farklı büyüklüklerin yoğunluğu alınabilir.Örneğin,yük yoğunluğu gibi.